等差數(shù)列教學(xué)案例設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)5》（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)

列第一課時(shí)。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，并且起著承前啟后的作

用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步

學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的

兩種方法一一通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步進(jìn)一步和拓廣。同時(shí)等差

數(shù)列也為此后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二（1）班的學(xué)生，通過(guò)一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較

為豐富，他們的智力發(fā)展己到了形式運(yùn)演階段，具有了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力,

但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛(ài)好還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的

生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思

維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

三、設(shè)計(jì)思想

1.教法

⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行積極建構(gòu)；有助于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；

有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和積極性，發(fā)揮其發(fā)明性。

⑵分組討論法：有助于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

⑶講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

2.學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生一方面從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)立問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、

儲(chǔ)蓄問(wèn)題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：可以對(duì)各種能力的同學(xué)引導(dǎo)結(jié)識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。

用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中

心各抒己見(jiàn)，把思緒方法和需要解決的問(wèn)題弄清。

四、教學(xué)目的

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為

等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通

項(xiàng)公式，能在解題中靈活應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用；并在此過(guò)程中

培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)略函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的

方法遷移來(lái)研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、方法遷移能力；通過(guò)階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)

題和解決問(wèn)題的能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生積極探索、敢于發(fā)現(xiàn)的求知精神：使學(xué)

生結(jié)識(shí)事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀測(cè)、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過(guò)一定

的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。

難點(diǎn)：

①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。

②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。

關(guān)鍵：

等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。

六、教學(xué)過(guò)程

教學(xué)

情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在平常生活傾聽(tīng)課堂引入

中，人口增長(zhǎng)、教育貸款、存款利息

等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的

實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列

的知識(shí)來(lái)解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一

類特殊的數(shù)列。

由學(xué)生觀測(cè)分析并得出答案：觀測(cè)分析，發(fā)表各自的意見(jiàn)引向課題

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)

數(shù)，從。開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以

得到數(shù)列：0,5,

2023年，在澳大利亞悉尼舉行的

奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽

項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)立了7個(gè)級(jí)別。其

中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單

位：kg）：48,53,58,63O

水庫(kù)的

管理人

員為了

保證優(yōu)

質(zhì)魚類

有良好

的生活

環(huán)境，

用定期

放水清

理水庫(kù)

探索的雜

研究魚。假

如一個(gè)

水庫(kù)的

水位為

年初本年末本利和

18cm,

金（元）（元）

自然放

水天天

水位減

少

2.5m,

最低降

至5mo

那么從

開(kāi)始放

水算

起，到

可以進(jìn)

行清理

工作的

那天，

水庫(kù)天

天的水

位組成

數(shù)列

（單

位：

m）:

18,

15.5,

13,

10.5,

8,5.5

我國(guó)現(xiàn)

行儲(chǔ)蓄

制度規(guī)

定銀行

支付存

款利息

的方式

為單

利，即

不把利

息加入

本金計(jì)

算下一

期的利

息。按

照單利

計(jì)算本

利和的

公式

是：本

利和二

本金X

（1+利

率X寸

期）.

例如，

按活期

存入10

000元

錢，年

利率是

0.72%0

那么按

照單

利，5

年內(nèi)各

年末的

本利和

分別

是：

時(shí)間

第1年1000010072

第2年1000010144

第3年1000010216

第4年1000010288

第5年1000010360

各年末的本利和（單位：元）組成了

數(shù)列：10072,10144,10216,10

288,10360o

各年末的本利和（單位：元）組成了

數(shù)列：10072,10144,10216,10

288,10360o

各年末的本利和（單位：元）組成了

數(shù)列：10072,10144,10216,10

288,10360o

思考：同學(xué)們觀測(cè)一下上面的這四個(gè)觀測(cè)分析并得出答案：通過(guò)度析，

數(shù)列：引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)激發(fā)學(xué)生學(xué)

0,5,10,15,20,......①系，得到：習(xí)的探究知

48,53,58,63②對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起,識(shí)的愛(ài)好，

18,15.5,13,10.5,8,5.5③每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于引導(dǎo)揭示數(shù)

10072,10144,10216,10288,105；列的共性特

360④對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起,點(diǎn)。

看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于

看這些數(shù)列rr什么共同特點(diǎn)呢？5；

對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起,

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于

-2.5；

發(fā)現(xiàn)對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起,

規(guī)律每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于

72；

由學(xué)生歸納和概括出，以

上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一

項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)

常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩

項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。

由學(xué)生歸納和概括出，以上

四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)

與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常

數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)

差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。

由學(xué)生歸納和概括出，以上

四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)

與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常

數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)

差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。

［等差數(shù)列的概念］學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念，通過(guò)學(xué)生自

對(duì)于以上兒組數(shù)列我們稱它們?yōu)檎页鲫P(guān)鍵字。己閱讀課本，

等差數(shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分找出關(guān)鍵字，

析等差數(shù)列的特性，嘗試著給等差數(shù)提高學(xué)生的

列下個(gè)定義：閱讀水平和

等差數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從思維概括能

第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差力，學(xué)會(huì)抓

等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫重點(diǎn)。

做等差數(shù)列。

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差

通常用字母d表達(dá)。那么對(duì)于以上四

組等差數(shù)列，它們的公差依次是5,

5,-2.5,72o

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差

通常用字母d表達(dá)。那么對(duì)于以上四

組等差數(shù)列，它們的公差依次是5,5,

-2.5,720

提問(wèn)：假如在與中間插入一個(gè)數(shù)由學(xué)生回答：由于a,A,b組讓學(xué)生參與

A,使,A,成等差數(shù)列數(shù)列，那成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定到知識(shí)的形

總結(jié)么A應(yīng)滿足什么條件？義可以知道：A-a=b-A成過(guò)程中，

提高所以就有4=先叱獲得數(shù)學(xué)學(xué)

2習(xí)的成就感。

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列進(jìn)一步探究，得到更一般引領(lǐng)學(xué)習(xí)更

可以當(dāng)作最簡(jiǎn)樸的等差數(shù)列，這時(shí)，A化的結(jié)論進(jìn)一步的探

叫做a與b的等差中項(xiàng)。究，提高學(xué)

不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第生的學(xué)習(xí)水

2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除平。

外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差

中項(xiàng)。

如數(shù)列：1,3,5,719,11,13…中

5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差

中項(xiàng)。

9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等

差中項(xiàng)。

看來(lái)，

a2+a4=+%，％+。6=%+%

從而可得在一等差數(shù)列中，若

m+n=p+q

則4”+%=詢+4

總結(jié)［等差數(shù)列的通項(xiàng)公式］由學(xué)生通過(guò)度析寫出通項(xiàng)公學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)

提高對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用式：律，并加以

通項(xiàng)公式將它們表達(dá)出來(lái)呢？這是①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5,第2總結(jié)。

我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。項(xiàng)是10(=5+5),第3項(xiàng)是15

⑴、我們是通過(guò)研究數(shù)列的第D項(xiàng)(=5+5+5),第4項(xiàng)是20

與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通05+5+5+5),...由此可以

項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通是

項(xiàng)公式。②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48,

⑴、我們是通過(guò)研究數(shù)列｛%｝的第n第2項(xiàng)是53(=48+5),第3

項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的項(xiàng)是58(=48+5X2),第4項(xiàng)

通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)是63(=48+5X3),由此可以

公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

通項(xiàng)公式。是

③這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18,

第2項(xiàng)是15.5(=18-2.5),第

3項(xiàng)是13(二18-2.5義2),第4

項(xiàng)是10.5(=18-2.5X3),第

5項(xiàng)是8(=18-2.5X4),第6

項(xiàng)是5.5(=18-2.5X5)由此可

以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公

式是

④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072,

第2項(xiàng)是10144(=10172+72),

第3項(xiàng)是10216(=10072+72X

2),第4項(xiàng)是10288

(=10072+72X3),第5項(xiàng)是

10360(=10072+72X4),由此

可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)

公式是

④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072,

第2項(xiàng)是10144(=10172+72),

第3項(xiàng)是10216(=10072+72X

2),第4項(xiàng)是10288(=10072+72

X3),第5項(xiàng)是10360

(=10072+72X4),由此可以猜

想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

4=10072+72(〃-1)

⑵、那么，假如任意給了一個(gè)等差數(shù)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)

列的首項(xiàng)和公差d,它的通項(xiàng)公式義進(jìn)行歸納:行理性分析

是什么呢？與推導(dǎo)，從

而得出公式。

(〃-1)個(gè)等式.

所以%=4+d,

=%+d,

%=%+d,

思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)

a2=a}+J,進(jìn)一步的分

呢？=%+△=（6+4）+△=〃+2d,析。

%=%+d=（6+2d）+d=。+3d,

總結(jié)得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得思考，并發(fā)表各自的意見(jiàn)。讓學(xué)生有自

提言出：認(rèn)為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)主思考的時(shí)

列的通項(xiàng)公式為空。

4〃=卬+（77-1）1

也就是說(shuō)，只要我們知道了等差

數(shù)列的首項(xiàng)和公差d,那么這個(gè)等

差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表達(dá)出來(lái)了。

例1.⑴求等差數(shù)列8,5,2,…讓兩個(gè)學(xué)生分別對(duì)這兩小題加讓學(xué)生參與

的第20項(xiàng).以分析c課堂。

⑵-401是不是等差數(shù)列-5,-9,

-13,…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？

⑵-401是不是等差數(shù)列-5,-9,

T3,…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？

⑵-401是不是等差數(shù)列-5,-9,

T3,…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？

分析：解：⑴由=8,d=5-8=-3,

⑴規(guī)定出第20項(xiàng)，可以運(yùn)用通項(xiàng)公式n=20,得

求出來(lái)。首項(xiàng)知道了，還需要知道的⑵由=-5,d=-9-（-5）=-4,得

是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題

可以求出公差：意知，本題是要回答是否存在

⑵這個(gè)問(wèn)題可以當(dāng)作是上面那個(gè)問(wèn)題正整數(shù)n,使得-401=-4nT成

的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是立。

應(yīng)用數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該解這個(gè)關(guān)于n的方程，得

鞏固數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的

是，項(xiàng)數(shù)是否故意義。第100項(xiàng)。

⑵這個(gè)問(wèn)題可以當(dāng)作是上面那個(gè)問(wèn)題解這個(gè)關(guān)于n的方程，得

的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第

數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該100項(xiàng)。

數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是,

項(xiàng)數(shù)是否故意義。

例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)通過(guò)教師點(diǎn)

差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于評(píng)，提高學(xué)

、、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的生對(duì)關(guān)鍵問(wèn)

方程；此外，要懂得運(yùn)用通項(xiàng)公式來(lái)題的認(rèn)知水

判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)平。

判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的

項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，假如不是正整

數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。

隨堂練習(xí)：課本45頁(yè)“練習(xí)”第1題：完畢練習(xí)講練結(jié)合，

有利提高學(xué)

生的知識(shí)應(yīng)

用水平

例2.某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出學(xué)以致用，

元/km,起步價(jià)為10元，即最初的租車的行程大于或等于4km時(shí),將所學(xué)知識(shí)

4km(不含4千米)計(jì)費(fèi)10元。假如每增長(zhǎng)1km,乘客需要支付L2應(yīng)用到具體

某人乘坐該市的出租車去往14km處的元.所以，我們可以建立一個(gè)生活中去，

目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0,等差數(shù)列來(lái)計(jì)算車費(fèi).加深對(duì)概念

需要支付多少車費(fèi)？令=11.2,表達(dá)4km處的理解。

的車費(fèi),公差d=1.2°那么當(dāng)出

租車行至14km處時(shí)，n=l1,此

時(shí)需要支付車費(fèi)

答：需要支付車費(fèi)23.2元。

=11.2+(11—l)xl.2=23.2(元)

答：需要支付車費(fèi)23.2元。

例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)聆聽(tīng)教師點(diǎn)評(píng)通過(guò)教師點(diǎn)

際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)樸應(yīng)用，耍學(xué)會(huì)從實(shí)評(píng)，提高學(xué)

際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列模型，用等生對(duì)關(guān)鍵問(wèn)

差數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。題的認(rèn)知水

平。

隨堂練習(xí)：課本45頁(yè)“練習(xí)”第2題;完畢練習(xí)講練結(jié)合，

有利提高學(xué)

生的知識(shí)應(yīng)

用水平

例3己知數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中分析思考，然后分組討論，讓培養(yǎng)學(xué)生分

P、q為常數(shù)，且pWO,那么這個(gè)數(shù)列兩組學(xué)生代表發(fā)表自己的見(jiàn)析問(wèn)題的能

一定是等差數(shù)列嗎？解。力，在小組

討論中提高

組長(zhǎng)的組織

與歸納組內(nèi)

成員想法的

能力。

分析：鑒定是不是等差數(shù)列，可以解：取數(shù)列中的任意相鄰兩

運(yùn)用等差數(shù)列的定義，也就是看(n項(xiàng)(n>l),

>1)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)。求差得

=pn+q-(pn-p+q]=p

它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的數(shù).

所以｛%｝是等差數(shù)列。

課本左邊“旁注”：這個(gè)等差數(shù)列的這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)公差。由對(duì)所得結(jié)論

首項(xiàng)與公差分別是多少？此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式進(jìn)行更進(jìn)一

是形如的數(shù)列，一定是等差步一步的探

數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)P就是這個(gè)究，激發(fā)學(xué)

等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.生的學(xué)習(xí)愛(ài)

例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們好。

知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差

數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的

通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一

次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必然

是等差數(shù)列。

例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們

知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差

數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的

通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一

次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必然

是等差數(shù)列。

例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們

知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差

數(shù)列的方法：假如一個(gè)數(shù)列的

通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一

次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必然

是等差數(shù)列。

引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖研究完畢以下探學(xué)生動(dòng)手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小通過(guò)學(xué)生動(dòng)

究：組討論，發(fā)表見(jiàn)解。手作圖，并

⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為加以對(duì)比，

的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特讓學(xué)生體會(huì)

點(diǎn)？數(shù)列與函數(shù)

⑵在問(wèn)一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。

y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)

此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列與一次函數(shù)

y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。

分析：（Dn為正整數(shù)，當(dāng)n取1,2,

3,時(shí)，相應(yīng)的可以運(yùn)用通項(xiàng)

探索

公式求出。通過(guò)描點(diǎn)知道該圖象是均

研究

勻分布的一群孤立點(diǎn)；

⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后

發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)

列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)

范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是

可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是

一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集,

是產(chǎn)px+q定義在正整數(shù)集上相應(yīng)的點(diǎn)

的集合。

該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列

%=+q中的p的幾何意義去探究。

課堂本節(jié)重要內(nèi)容為：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小學(xué)生自己小

小結(jié)①等差數(shù)列定義：即(n22)組中，各自歸納自己對(duì)這堂課結(jié)，使學(xué)牛

②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n^l)的收獲，后由小組代表總結(jié)歸對(duì)自己所學(xué)

推導(dǎo)出公式：納。知識(shí)有更深

推導(dǎo)出公式：an=+(/?-m)d刻的結(jié)識(shí)。

1.已知是等差數(shù)列.作業(yè)是課堂

(1)是否成立？的延續(xù)，除

呢？為什么？了檢查學(xué)生

⑵是否成立？據(jù)此你能得出什么對(duì)本節(jié)課知

結(jié)論？識(shí)的理解限

是否成立？據(jù)此你又能得出度，還在于

評(píng)價(jià)什么結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)

設(shè)計(jì)2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證:本課知識(shí)的

進(jìn)一步探究，

讓學(xué)生在更

大的深度與

廣度之間進(jìn)

行思考。

七、教學(xué)反思

本節(jié)課通過(guò)生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生觀測(cè)，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)

求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，培養(yǎng)了學(xué)生觀測(cè)、分析、歸納、推理的能力。充足體現(xiàn)了學(xué)

生做數(shù)學(xué)的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列有了從感性到理性的結(jié)識(shí)過(guò)程，也使本節(jié)課的三維目的

真正落到實(shí)處。

園錐曲線定義的運(yùn)用教學(xué)案例設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本課選自《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)》（人教版）高二（上），第八章（圓

錐曲線方程復(fù)習(xí)課）

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，它是無(wú)數(shù)次實(shí)踐后的高度抽象.恰本地運(yùn)用

定義解題,許多時(shí)候能以簡(jiǎn)馭繁.因此，在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾

何性質(zhì)后，我認(rèn)為有必要再一次回到定義，熟悉“運(yùn)用圓錐曲線定義解題”這一重要的解題策

略.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我所任教班級(jí)的學(xué)生是初中開(kāi)始“課程改革”后的第一屆畢業(yè)生，他們?cè)诔踔腥甑膶W(xué)習(xí)

中，接受的是“新課改”的理念，學(xué)習(xí)的是“新課標(biāo)”下的課程、教材，由于2023高中“課

改”尚未全面推行，因此如今他們面對(duì)的高中教材還是舊教材。

與以往的學(xué)生比較，這屆學(xué)生的特點(diǎn)是：參與課堂教學(xué)活動(dòng)的積極性更強(qiáng)，思維靈敏，敢

于在課堂上發(fā)表與眾不同的見(jiàn)解，但計(jì)算能力較差，字母推理能力較弱，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表

達(dá)能力也略顯局限性。

三、設(shè)計(jì)思想

由于這部分知識(shí)較為抽象難以理解.假如離開(kāi)感性結(jié)識(shí)，容易使學(xué)生陷入困境,減少學(xué)習(xí)

熱情.在教學(xué)時(shí),我故意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用波利亞的一般解題方法解決習(xí)題，針對(duì)學(xué)生練習(xí)中

產(chǎn)生的問(wèn)題，進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)“雙主作用”的發(fā)揮.借助多媒體動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、

解決問(wèn)題,積極參與教學(xué),在輕松快樂(lè)的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取新知,提高教學(xué)效率.

四、教學(xué)目的

1.深刻理解并純熟掌握?qǐng)A錐曲線的定義，能靈活應(yīng)用定義解決問(wèn)題;純熟掌握焦點(diǎn)坐標(biāo)、

頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法；能結(jié)合平面幾何的基

本知識(shí)求解圓錐曲線的方程。

2.通過(guò)對(duì)練習(xí)，強(qiáng)化對(duì)圓錐曲線定義的理解，培養(yǎng)思維的深刻性、發(fā)明性、科學(xué)性和批

判性，提高空間想象力及分析、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷引申，精心設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)

生學(xué)習(xí)解題的一般方法及聯(lián)想、類比、猜測(cè)、證明等合情推理方法.

3.借助多媒體輔助教學(xué),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛(ài)好.在民主、開(kāi)放的課堂氛圍中，培養(yǎng)學(xué)生敢

想、敢說(shuō)、敢于探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的精神.

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)

1.對(duì)圓錐曲線定義的理解

2.運(yùn)用圓錐曲線的定義求“最值”

3.“定義法”求軌跡方程

教學(xué)難點(diǎn)：

巧用圓錐曲線定義解題

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【設(shè)計(jì)思緒】

由于這是一堂習(xí)題課，加上我所任教的班級(jí)是重點(diǎn)中學(xué)的理科班，學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),

學(xué)習(xí)積極性較高，領(lǐng)悟能力較好，所以在教學(xué)中，我擬采用師生共同參與的談話法：由教師提

出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)他們運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用合情推理來(lái)自行獲取新知

漢。通過(guò)個(gè)別回答，集體修正的方法讓我及時(shí)得到反饋信息。最后，我將根據(jù)學(xué)生回答問(wèn)題的

情況進(jìn)行小結(jié)，概括出問(wèn)題的對(duì)的答案，并指出學(xué)生解題方法的優(yōu)缺陷。

(-)開(kāi)門見(jiàn)山，提出問(wèn)題

一上課，我就直截了本地給出一一

例題1：(1)已知A(-2,0),B(2,0)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=2,則點(diǎn)M的軌跡是

()o

(A)

橢圓(B)雙曲線(C)線段(D)不存在

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是()0

(A)橢圓(B)雙曲線(C)拋物線(D)兩條相交直線

【設(shè)計(jì)意圖】

定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的

一個(gè)必備條件，而通過(guò)一個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生們對(duì)圓錐曲線的定義已有了一定的結(jié)識(shí)，

他們是否能真正掌握它們的本質(zhì)，是我本節(jié)課一方面要弄清楚的問(wèn)題。

為了加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運(yùn)用為主線,精心準(zhǔn)備了兩道

練習(xí)題。為杜絕一些錯(cuò)誤結(jié)識(shí)在學(xué)生大腦中滋生、萌芽，我準(zhǔn)備采用電腦多媒體輔助教學(xué)一

一先制作好若干“電腦小課件”，一旦有學(xué)生提犯錯(cuò)誤的解法，就向?qū)W生們展示。希望用形象

生動(dòng)的“電腦課件”使學(xué)生對(duì)問(wèn)題有對(duì)的的結(jié)識(shí)。此外，由于涉及的內(nèi)容較多，學(xué)生的訓(xùn)練

量也較大，所以考慮運(yùn)用實(shí)物投影器等媒體來(lái)輔助教學(xué)，一方面能填補(bǔ)在黑板上板演耗時(shí)多

的局限性，另一方面則可以讓學(xué)生一邊演示自己的“成果”，一邊進(jìn)行介紹說(shuō)明，有助于激

發(fā)更多的學(xué)生積極參與，真E成為學(xué)習(xí)的主體。

【學(xué)情預(yù)設(shè)】

估計(jì)多數(shù)學(xué)生可以不久回答出對(duì)的答案，但是部分學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的定義也許并未真

正理解，因此，在學(xué)生們回答后，我將規(guī)定學(xué)生接著說(shuō)出：若想答案是其他選項(xiàng)的話，條件

要怎么改？這對(duì)于已學(xué)完圓錐曲線這部分知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，并不是什么難事。，旦問(wèn)題(2)

就也許讓學(xué)生們費(fèi)一番周折

假如有學(xué)生提出：可以運(yùn)用變形來(lái)解決問(wèn)題，那么我就可以循著他的思緒，先對(duì)原等式做

變形：這樣，不久就能得出對(duì)的結(jié)果。如若不然，我將啟發(fā)他們從等式兩端的式子入手，考

慮通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為學(xué)生們熟知的兩個(gè)距離公式。

在對(duì)學(xué)生們的解答做出判斷后，我將把問(wèn)題引申為：該雙曲線的中心坐標(biāo)

是，實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為。以深化對(duì)

概念的理解。

(二)理解定義、解決問(wèn)題

例2(1)已知?jiǎng)訄AA過(guò)定圓B:的圓心，且與定圓C:相內(nèi)切，求aABC面積的最大

值。

(2)在(1)的條件下，給定點(diǎn)PQ2,2),求的最小值。

(3)在(2)的條件下求|B4|+|A*的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】

運(yùn)用圓錐曲線定義中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化歸為幾何中求最大(小)值的模式，

是解析兒何問(wèn)題中的一種常見(jiàn)題型，也是學(xué)生們比較容易混淆的一類問(wèn)題。例2的設(shè)立就是

為了方便學(xué)生的辨析。

【學(xué)情預(yù)設(shè)】

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生看上去都能順利解答本題，但真正能完整解答的也許并不

多…。事實(shí)上，解決本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確寫出點(diǎn)A的軌跡，有了練習(xí)題1的鋪墊，這個(gè)問(wèn)

題對(duì)學(xué)生們來(lái)講就顯得頗為簡(jiǎn)樸，因此面對(duì)例2(1)、(2),多數(shù)學(xué)生應(yīng)當(dāng)能準(zhǔn)確給出解答,

但是對(duì)于例2(3)這樣相對(duì)比較陌生的問(wèn)題，學(xué)生要么就卡殼了，要么也許得犯錯(cuò)誤的解答。

我準(zhǔn)備在學(xué)生們都解答完后，選擇幾份有“共性”錯(cuò)誤的練習(xí)，借助于實(shí)物投影儀與電腦，加

以點(diǎn)評(píng)。這時(shí)，也許會(huì)有學(xué)生說(shuō)應(yīng)當(dāng)是P、A.B三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值。那么，我應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)

生進(jìn)行的大膽構(gòu)想，同時(shí)不急于給出標(biāo)準(zhǔn)答案，而是打開(kāi)“幾何畫板”，運(yùn)用其可以準(zhǔn)確測(cè)