福建省福州市聯(lián)盟學(xué)校2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知，，為三個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．若數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，4．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，下面使得有兩組解的的值可以為（

）A．3 B． C．2 D．5．某人射擊5槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍中恰有2槍連中的概率為（

）A． B． C． D．6．已知軸截面為正方形的圓柱，為下底面直徑，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．7．我國(guó)許多地方都有風(fēng)格迥異的古塔.現(xiàn)在在某塔底共線三點(diǎn)，，處分別測(cè)得塔頂點(diǎn)的仰角為，，，且，設(shè)該塔高為，示意圖如圖.則該塔高（

）m.A．60 B．30 C． D．8．已知非零向量，，在同一平面，其中是單位向量.與的夾角為，，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．為純虛數(shù) B．C． D．10．連擲一枚均勻骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，記，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．事件“”的概率為 B．事件“m是奇數(shù)”與“”為互斥事件C．事件“”的概率為 D．事件“m為偶數(shù)”與“”互為獨(dú)立事件11．已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)E為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且A，B，C，D，E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則（

）A．四面體的表面積為B．四面體的體積為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面向量，，，若，則.13．已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則的值為.14．已知，，，是表面積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐的體積為，則線段長(zhǎng)度的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，其中是實(shí)數(shù).(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍.16．為了調(diào)查疫情期間數(shù)學(xué)網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織了高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測(cè)試.根據(jù)測(cè)試成績(jī)（總分100分），將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中的值；為了更全面地了解疫情對(duì)網(wǎng)課的影響，求該樣本的60百分位數(shù)；(2)試估計(jì)本次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.17．目前低碳的生活理念流行，越來(lái)越多的年輕人加入自行車(chē)騎游行列.某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元（不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人分別來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游（各租一車(chē)一次），設(shè)甲、乙不超過(guò)小時(shí)還車(chē)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)還車(chē)的概率分別為，；兩人租車(chē)時(shí)間互不影響且都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).(1)求甲、乙兩人租車(chē)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)，且不超過(guò)3小時(shí)的概率；(2)求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率；(3)求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為4元的概率.18．在中，角，所對(duì)的邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，內(nèi)角的角平分線交邊于，，求的長(zhǎng)；(3)若，邊上的中線，設(shè)點(diǎn)為的外接圓圓心，求的值.19．如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為平行四邊形，，且分別為線段的中點(diǎn).(1)證明：；(2)證明：平面平面；(3)若，當(dāng)與平面所成的角最大時(shí)，求四棱臺(tái)的體積.

參考答案1．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選A.2．【答案】D【分析】由空間中的線面位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：若，，則可能平行，可能相交，可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則可能平行，可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選D.3．【答案】D【分析】由數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是，方差，代入計(jì)算可得平均數(shù)，方差的值，開(kāi)方求出標(biāo)準(zhǔn)差，可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù),,…,的平均數(shù)是4，方差是4，即，，數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)，數(shù)據(jù),,…,的方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差是.故選D.4．【答案】B【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)正弦定理有，所以，要使有兩組解，則，且，即，即，即，所以選項(xiàng)所給四個(gè)數(shù)據(jù)中只有符合.故選B.5．【答案】B【分析】根據(jù)列舉法寫(xiě)出基本事件，利用古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由題意可知，射擊5槍?zhuān)?槍?zhuān)偟姆椒ò?0種，其中3槍中恰有2槍連中的情況有,,,,,，共6種，所以3槍中恰有2槍連中的概率為.故選B.6．【答案】C【分析】作出輔助線，找到或其補(bǔ)角為與所成的角，并求出各邊長(zhǎng)，得到⊥，又，故，故.【詳解】連接，過(guò)點(diǎn)作交底面圓于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈酌鎴A的直徑，所以，所以，所以四邊形為矩形，因?yàn)槭腔〉闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為正方形，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為與所成的角，設(shè)，則，易知，故由勾股定理得，，則，故，又，則，故，與所成的角為.故選C.7．【答案】A【分析】設(shè)，利用直角三角形的特殊角可表示長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理解計(jì)算即可.【詳解】如圖，設(shè)，在中，，所以，同理可得，，在中，由余弦定理得，同理可得，因?yàn)椋?，所以，即，解得，所以塔?故選A.8．【答案】D【分析】先確定向量所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【詳解】以向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則由與的夾角為得，得，，由得，所以點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，又，所以等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即為.故選D.【方法總結(jié)】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.9．【答案】BC【分析】設(shè)，由，得到，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)，由，得，解得，對(duì)于A：，當(dāng)時(shí)，不為純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C：由，得，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，兩者不等，所以，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【分析】對(duì)于AC，求出對(duì)應(yīng)的概率判斷；對(duì)于B，根據(jù)互斥的概率判斷；對(duì)于D，計(jì)算與是否相等來(lái)判斷.【詳解】連擲一枚均勻骰子兩次，共有種情況，事件“”只有一種情況，故概率為，故A錯(cuò)誤；事件“”只有一種情況，故概率為，故C錯(cuò)誤；事件“m是奇數(shù)”與“”不能同時(shí)發(fā)生，故他們?yōu)榛コ馐录蔅正確；事件“m為偶數(shù)”，則同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，設(shè)“m為偶數(shù)”為事件，“”為事件，事件中基本事件有，共種，事件中基本事件有，共種，事件與同時(shí)發(fā)生的基本事件有共種，所以，所以，即事件“m為偶數(shù)”與“”不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選ACD.11．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，求得的值，結(jié)合四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，可判定A正確；根據(jù)錐體的體積公式，求得四面體的體積，可得判定B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，確定軌跡的形狀，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式，求得軌跡的長(zhǎng)度或范圍，可判定C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)樗拿骟w的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，所以，則四面體的表面積為，故A正確；對(duì)于B：將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰的三條棱長(zhǎng)分別為，則，解得，由，所以異面直線和的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，在等腰和中，可得，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以四面體的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由四面體的外接球和補(bǔ)成的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，設(shè)四面體的外接球的半徑為，可得，所以，由，可得點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，因?yàn)?，所以的軌跡圓不在點(diǎn)與球心之間，而在球心遠(yuǎn)離點(diǎn)的一側(cè)，則，解得，所以軌跡的長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D：由題意得，所以，所以的外接圓的半徑為，所以球心到所在平面的距離為，設(shè)三棱錐的高為，由三棱錐的體積為時(shí)，可得，解得，又由，所以點(diǎn)的軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個(gè)截面圓，其中一個(gè)圓為外接球的大圓，其軌跡長(zhǎng)度為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡為外接球上平行于平面兩個(gè)截面圓，所以軌跡的長(zhǎng)度大于，故D錯(cuò)誤.故選AC.【方法總結(jié)】對(duì)于立體幾何體中截面的軌跡問(wèn)題的求解策略：1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問(wèn)題；2、解答方法：一般是根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.12．【答案】4【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，所以，又因?yàn)?，且，所以，解?13．【答案】【分析】思路一：把代入方程中，再利用復(fù)數(shù)相等求出、，即可得解.思路二：依題意根據(jù)虛根成對(duì)原理可得也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出、，即可得解.【詳解】方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因?yàn)槭顷P(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，所以也是該方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理得，解得，所以.故答案為：.【思路導(dǎo)引】將方程的根帶入到方程中，方程仍然成立，即可計(jì)算出的值；根據(jù)虛根成對(duì)的原理得到方程的另一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出結(jié)果.14．【答案】【分析】根據(jù)題意分別作出圖形，根據(jù)題中幾何關(guān)系分別求出外接圓的半徑為及面積，設(shè)出點(diǎn)到平面的距離，從而求出點(diǎn)所在截面圓的半徑，從而再利用幾何知識(shí)可求解.【詳解】由球的表面積為，可得球的半徑.，，，，，，則外接圓的半徑為.設(shè)到平面的距離為，則，解得，則點(diǎn)與平面在球心的異側(cè).設(shè)球心到平面的距離為，則，設(shè)在球的截面圓所在的平面為，故球心到平面的距離為2，則截面圓的半徑為.設(shè)在平面上的投影為，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)最長(zhǎng)，則，故長(zhǎng)度的最大值為..

【方法總結(jié)】解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通用方法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的意義計(jì)算即可；（2）由共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】（1），因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，則，所以；（2），因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，故a的取值范圍為.16．【答案】(1)，60百分位數(shù)為(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖區(qū)間頻率和為求參數(shù)；設(shè)該樣本的60百分位數(shù)為，由題意可得，即可求得該樣本的60百分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均分即可.【詳解】（1）由，解得；設(shè)該樣本的60百分位數(shù)為，因?yàn)椋?，，?duì)應(yīng)的頻率分別為，所以60百分位數(shù)在這組數(shù)據(jù)內(nèi)，由題意可得，解得，所以該樣本的60百分位數(shù)為；（2）數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均值為分.17．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（3）甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為元可能的情況是甲、乙的租車(chē)費(fèi)用分別為：①元、元，②元、元，③元、元，再根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）甲租車(chē)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)，且不超過(guò)3小時(shí)的概率為，乙租車(chē)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)，且不超過(guò)3小時(shí)的概率為；（2）甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同可分為租車(chē)費(fèi)用都為元、元、元三種情況，甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用都為元的概率為，甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用都為元的概率為，甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用都為元的概率為，所以甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率為；（3）甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為元可能的情況是甲、乙的租車(chē)費(fèi)用分別為：①元、元，②元、元，③元、元，所以甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為元的概率為.18．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再求出，即可得解；（2）根據(jù)，再結(jié)合基本不等式即可得解；（3）由題意，兩邊平方，結(jié)合余弦定理可求出，再根據(jù)數(shù)量積與幾何意義即可得解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，由，因此，則，由，得，解得，又，所以；（2）由，得，而，則，又，因?yàn)閮?nèi)角的角平分線交邊于，所以，所以，所以；（3）在中，由余弦定理，得，由邊上的中線，又因?yàn)?，兩邊平方得，則，即，解得，令邊的中點(diǎn)分別為，由點(diǎn)為的外接圓圓心，得，，，，所以.【方法總結(jié)】在解三角