/河南省駐馬店市2023?2024學(xué)年高二下冊(cè)7月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A．0 B． C．π D．不存在2．函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（

）A．1 B．0 C．1 D．23．設(shè)，則（

）A．1 B．2 C．63 D．644．某學(xué)校甲乙兩個(gè)班級(jí)人數(shù)之比為，在一次測(cè)試中甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，現(xiàn)從這兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一名學(xué)生，則該學(xué)生優(yōu)秀的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形，取各邊的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新三角形，依次做下去得到一系列三角形.則前個(gè)三角形的外接圓面積之和為（

）

A． B．C． D．6．已知M，N分別是正四面體中棱AD，BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足則DP與AB夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，為半徑的圓與雙曲線E的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線E的離心率為（

）A． B． C． D．38．若函數(shù)為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間遞增B．的遞減區(qū)間是C．為函數(shù)極大值D．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為410．已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．11．點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).分別在兩點(diǎn)作的切線與，記，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為直角三角形B．C．D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列滿足，，則通項(xiàng)公式為.13．二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是兩類常見(jiàn)的分布模型，在實(shí)際運(yùn)算中二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布近似運(yùn)算.即：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，可以用服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情況下當(dāng)時(shí)，就有很好的近似效果.該方法也稱為棣莫佛-拉普拉斯極限定理.如果隨機(jī)拋一枚硬幣次，設(shè)正面向上的概率為，則“正面向上的次數(shù)大于50、小于60”的概率近似為.(結(jié)果保留三位小數(shù).)參考數(shù)據(jù)：若，則，，.14．如圖在四棱柱中，，并且直線的夾角為，距離為3，則多面體的體積為.

四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，記經(jīng)過(guò)，次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.16．如圖在三棱柱中，(1)證明:；(2)求二面角的平面角的正弦值.17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若為的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知橢圓點(diǎn)P為E上落在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為Q，點(diǎn)A在E上滿足.記直線PQ，AQ，AP的斜率分別為，，.且滿足.(1)證明:(2)求橢圓E的離心率；(3)若，求面積的最大值.19．將n2個(gè)實(shí)數(shù)排成n行n列的數(shù)陣形式……(1)當(dāng)時(shí)，若每一行每一列都構(gòu)成等差數(shù)列，且，求該數(shù)陣中所有數(shù)的和；(2)已知，且每一行構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列，每一列構(gòu)成2為公差的等差數(shù)列，求這個(gè)數(shù)的和；(3)若且每一列均為公差為d的等差數(shù)列，每一行均為等比數(shù)列.已知，設(shè)求的值.

答案1．【正確答案】B【分析】由給定直線的位置求出傾斜角即得.【詳解】直線垂直于x軸，所以直線的傾斜角是.故選B.2．【正確答案】C【分析】直接求導(dǎo)代入即可.【詳解】設(shè)，則，則，則函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為1.故選C.3．【正確答案】D【分析】令即可得到答案.【詳解】令得.故選D.4．【正確答案】A【分析】分析題意，利用古典概型公式求解即可.【詳解】設(shè)甲班級(jí)的人數(shù)為，乙班級(jí)的人數(shù)為，因?yàn)榧装嗟膬?yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，所以甲班優(yōu)秀的人數(shù)為，乙班優(yōu)秀人數(shù)為，所以優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為，所以學(xué)生優(yōu)秀的概率為，所以A正確.故選A.5．【正確答案】B【分析】依據(jù)題意把外接圓半徑和面積表示為等比數(shù)列，再對(duì)其求和即可.【詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得R=3設(shè)第個(gè)三角形的外接圓半徑為，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)第個(gè)三角形的外接圓面積為，而，而所求即為的前項(xiàng)和，易得，故，而，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，故B正確.故選B.6．【正確答案】A【分析】設(shè)，表達(dá)出，進(jìn)而求出，進(jìn)而得到，，從而利用夾角余弦公式求出DP與AB夾角的余弦值.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，所以，又，所以，所以，所以DP與AB夾角的余弦值為.故選A.7．【正確答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離、圓的弦長(zhǎng)公式及勾股定理建立關(guān)系求得，即可求出離心率.【詳解】令點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，由對(duì)稱性不妨取直線，取中點(diǎn)，連接，則，，而，由，得，在中，，則，解得，所以雙曲線E的離心率.故選A.8．【正確答案】B【分析】由題意可知，在內(nèi)恒成立，利用參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；【詳解】函數(shù)求導(dǎo)得,由題意可知，在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，故，令，令，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；則函數(shù)在有最大值為，所以.故選B.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A、B正確；函數(shù)在處都取得極大值，在處都取得極小值，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，所以D正確；由于在及鄰近區(qū)域值得，因此在處沒(méi)有極值，所以C錯(cuò)誤.故選ABD.10．【正確答案】BD【分析】利用概率的運(yùn)算性質(zhì)，即可得出判斷.【詳解】對(duì)于A，由于題目中不確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，則，則，故B正確；對(duì)于C，由于題目中不確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故D正確.故選BD.11．【正確答案】ABD【分析】將拋物線的一部分視為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，寫出切線方程，并聯(lián)立得到切點(diǎn)，再證明垂直判斷A，針對(duì)斜率情況進(jìn)行討論，證明垂直判斷B，利用基本不等式判斷C，在特殊情況下求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，檢驗(yàn)等式判斷D即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1令，聯(lián)立，則因此，當(dāng)時(shí)，拋物線方程為，，，則在處的切線方程為，同理在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，，因此M坐標(biāo)為，，因此，所以是直角三角形，故A正確，對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，所以，此時(shí)，，代入拋物線中得到，解得，由對(duì)稱性得到，所以，根據(jù)對(duì)稱性可得，此時(shí)是的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一的原理可知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可得，因此，故B正確，對(duì)于C項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D項(xiàng)，此時(shí)，解得，此時(shí)直線的斜率不存在，所以，，，則，，所以，故D正確.故選ABD.【思路導(dǎo)引】本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是將拋物線的一部分視為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，然后合理聯(lián)立方程聯(lián)立求出切點(diǎn)，得到所要求的垂直關(guān)系即可．12．【正確答案】.【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解出公差由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，解得，所以.故答案為.13．【正確答案】.【分析】先計(jì)算出二項(xiàng)分布的均值和方差，符合給定定義后求出正態(tài)分布的基本量，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由題意得隨機(jī)拋一枚硬幣次，設(shè)正面向上的概率為，同時(shí)設(shè)正面向上的次數(shù)為，則，所以，，此時(shí)符合，故有，且，，設(shè)所求概率為，因?yàn)椋杂烧龖B(tài)分布對(duì)稱性得.故答案為.14．【正確答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用棱柱、棱錐的體積公式，結(jié)合割補(bǔ)法求出體積.【詳解】在四棱柱中，連接，由，得四邊形是平行四邊形，，因此的夾角為，四邊形的面積，而平面，平面，則平面，因此四棱柱的高為直線與平面的距離，等于異面直線的距離3，于是四棱柱的體積，而，所以多面體的體積為.故答案為.

【思路導(dǎo)引】求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指睿D(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.15．【正確答案】(1)，；(2)分布列見(jiàn)解析，期望為.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)即可計(jì)算相關(guān)概率值；（2）首先分析出的所有可能取值為，再按步驟寫出分布列，計(jì)算期望即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所能到達(dá)的位置必滿足且為偶數(shù)，若“”則表示四次移動(dòng)中向右1次，向左3次，因此..（2）當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所能到達(dá)的位置必滿足且為奇數(shù)，因此隨機(jī)變量的所有可能取值為，因此隨機(jī)變量的分布列為，，，，，，因此隨機(jī)變量的分布列為35所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定性質(zhì)，結(jié)合正三角形的性質(zhì)推理即得.（2）作于，求出，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，由，得都是正三角形，則，因此，又平面平面，且，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，作于，而平面，則平面，設(shè)，則有，，，，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則平面，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，由，得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的平面角的正弦值.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.17．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記，則原命題等價(jià)于為的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，對(duì)求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出的極值，即可求解的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，由，解得，由，解得，因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）記，x∈0,+∞，則原問(wèn)題等價(jià)于為的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．因，則恒成立，記，x∈0,+∞，?1則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?1=0，則當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，此情況可得為的極小值點(diǎn)，與題意矛盾；當(dāng)時(shí)，若，即當(dāng)時(shí)，則存在，使得在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，由，從而可得，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，此情況可得為的極小值點(diǎn)，與題意矛盾；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，因此恒有，也即恒成立，因此不是的極值點(diǎn)，與題意矛盾；若，即時(shí)，則存在，使得在上恒成立，在上單調(diào)遞減，也即在上單調(diào)遞減，由，從而可得，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，此情況可得為的極大值點(diǎn)，符合題意．綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為．【方法總結(jié)】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線PQ，AQ，AP的斜率，，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，聯(lián)立即可得證；（2）由，以及即可求出，然后計(jì)算離心率即可；（3）設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理表示出三角形面積，再由換元法及基本不等式可求解.【詳解】（1）證明：設(shè)點(diǎn),，則，點(diǎn),在橢圓上，故滿足橢圓的方程，所以，，，，所以.（2）因?yàn)?，，所以，又，所以，即，所以，所以離心率為.（3）若，則由（2）可知，橢圓的方程為，根據(jù)題意則直線的斜率不等于0.設(shè)直線的方程為，則,聯(lián)立，解得，從而可得，也即，代入中得，即，再聯(lián)立得，該方程有兩個(gè)不同實(shí)根，由韋達(dá)定理可得，又因?yàn)?，，，因此令?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立從而可得，因此當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)可得的最大值為.因此當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值為.19．【正確答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)得，再根據(jù)每一列成等差數(shù)列即可得到答案；（2）證明數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出答案；（3）根據(jù)每一行都為等比數(shù)列得，從而得