安徽省滁州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集為，集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．13．已知正項等比數(shù)列單調(diào)遞增，，則（

）A．12 B．16 C．24 D．324．一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)（primenumber），質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)，如等都是素數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做孿生素數(shù)，如：3和5，5和.如果我們在不超過31的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)是孿生素數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．在中，，點在邊上，且，則長為（

）A． B．1 C． D．6．若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，各項系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)是（

）A．32 B．64 C．80 D．1607．如圖，正方體的棱長為1，點為棱的中點，空間中一點滿足，則點的軌跡截正方體表面所得圖形的周長為（

）A． B． C． D．8．雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為，右支上一點滿足，直線平分，過點作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標(biāo)原點，則的面積為（

）A． B． C．10 D．二、多選題9．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的實部為1 B．的虛部為C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足，且.若時，，則（

）A．的最小正周期B．的圖象關(guān)于對稱C．D．函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為11．如圖，四棱錐中，面面，且，是棱的中點，，則（

）A．平面B．平面C．和平面所成角的正弦值為D．四面體外接球的表面積為三、填空題12．若本市2024年高二某次數(shù)學(xué)測試的成績（單位：分）近似服從正態(tài)分布.從本市中任選1名高二學(xué)生，則這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績在分之間的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，.13．過拋物線上一點作切線與軸交于點，直線被圓截得的弦長為，則點的坐標(biāo)為.14．已知函數(shù)滿足，且恰有一個極值點，則的取值范圍為.四、解答題15．已知公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為.若，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.16．在如圖所示的幾何體中，四邊形是邊長為的正方形，四邊形為菱形，，平面平面.(1)求三棱錐的體積；(2)求平面和平面夾角的余弦值.17．2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021一2035年）》，《規(guī)劃》提出，到2035年，純電動汽車成為新銷售車輛的主流，公共領(lǐng)域用車全面電動化，燃料電池汽車實現(xiàn)商業(yè)化應(yīng)用，高度自動駕駛汽車實現(xiàn)規(guī)?；瘧?yīng)用，有效促進(jìn)節(jié)能減排水平和社會運(yùn)行效率的提升.某市車企為了解消費(fèi)者群體中購買不同汽車種類與性別的情況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了近期購車的90位車主，得到如下列聯(lián)表：（單位：人）性別購車種類合計新能源汽車燃油汽車男204060女201030合計405090(1)試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷購車種類與性別是否有關(guān)；(2)以上述統(tǒng)計結(jié)果的頻率估計概率，設(shè)事件“購車為新能源汽車”，“購車車主為男性”.①計算；②從該市近期購車男性中隨機(jī)抽取2人?女性中隨機(jī)抽取1人，設(shè)這三人中購買新能源汽車的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若在定義域上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知橢圓的短軸長為2，且右焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，，其中為坐標(biāo)原點.①求與的關(guān)系式；②為線段中點，射線與橢圓相交于點，記四邊形的面積與的面積之比為，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．B【詳解】，解得：，所以，所以，所以.故選：B2．C【詳解】因為向量，，所以，所以，所以，故選：C3．B【詳解】因為正項等比數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，所以，故選B.4．D【詳解】不超過31的素數(shù)有：，共個數(shù)，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有種情況，其中孿生素數(shù)有，3和5，5和，和，和，和，共有種情況，由古典概型的概率公式計算可得概率為.故選：D5．A【詳解】∵∴由余弦定理可得：即，∴或（舍去）∴，∴由余弦定理可得：，∴故選：A6．C【詳解】因為的二項式系數(shù)之和為32，則，解得，所以二項式為，因為展開式各項系數(shù)和為243，令，代入可得，解得，所以二項式為，則該二項式展開式的通項為，，令，解得，則展開式中的系數(shù)為.故選：C.7．D【詳解】空間中一點滿足，即面，如圖，取，的中點為、，連接，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，在正方形中，因為、分別為所在棱的中點，故，故四邊形為平行四邊形，故，，所以四邊形為平行四邊形，同理可證得：為平行四邊形，故，因為，面，面，所以面，因為，面，面，所以面，又因為，所以，面面，當(dāng)面時，則面，所以點的軌跡截正方體表面所得圖形即為平行四邊形，由勾股定理計算可得，故截面的周長為，故選：D8．C【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，令直線交的延長線交于，直線交于，則，由平分，且，得，則，，顯然分別為線段的中點，而是的中點，于是，，即，，所以的面積.故選：C9．AC【詳解】設(shè)，因為，所以，因為，所以，所以，所以，，所以，所以z的實部為1，虛部為，故A正確，B錯誤；因為，所以若，則，若，則故C正確，D錯誤．故選：AC．10．ABD【詳解】因為，所以是奇函數(shù)；因為，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，則，因而，所以的最小正周期，故A正確；由，則的一個對稱中心為，故B正確；，故C錯誤；當(dāng)時，單調(diào)遞增且值域為，因為的圖象關(guān)于對稱，所以在單調(diào)遞減且值域為，又因為是奇函數(shù)，所以在的圖象關(guān)于對稱且值域為，所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，且所有零點之和為，故D正確.故選：ABD.11．ACD【詳解】如圖，作，因為面面，面面，所以面，且作，因為，，所以，是的中點，，，對于A，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，因為是棱的中點，所以，所以，，，設(shè)面的法向量，所以，令，解得，所以，可得，故平面成立，故A正確，對于B，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，解得，得到，故不平行于，所以平面不成立，故B錯誤，對于C，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，解得，故，設(shè)和平面所成角為，且，所以，故C正確，對于D，設(shè)四面體外接球的方程為，將四點代入球的方程，可得，，利用加減消元法得到，解得，再利用加減消元法得到，解得，現(xiàn)在將，代入方程組，得到，此時解得，故原方程解得，故球的方程為，設(shè)球的表面積為，則，故D正確.故選：ACD12．/【詳解】因為，即，，所以，即這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績在分之間的概率約為.故答案為：13．【詳解】因為，即，所以，設(shè)點，則切線斜率為，所以切線方程為，即令，解得所以點坐標(biāo)為，因為直線被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離為所以，即，解得（負(fù)值已舍），所以點坐標(biāo)為.故答案為：.14．【詳解】滿足，即，即，且恰好有一個極值點，有唯一解.且在解的兩邊導(dǎo)數(shù)值正負(fù)相反（?）.即有唯一解.令，則，解得.遞增，遞減，所以時，函數(shù)取極大值，極大值為.畫出草圖.則或.當(dāng)時，，，解得，遞增，遞減，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為.由于（?），則舍去.經(jīng)檢驗滿足題意.則.令，，解得.遞增，遞減，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為畫出圖像，則值域為，即取值范圍為.故答案為：.15．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的首項為，公差為，，即.①又成等比數(shù)列，即，所以.化簡得：.②聯(lián)立①②，可得，故.（2），即..，.16．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，如圖1，連接.因為四邊形為菱形且，所以為等邊三角形，則.四邊形是邊長為的正方形，所以.又面，故面，面.又，則，.（2）因為平面平面，且面面面，在正方形中，，所以面.面，則，又由（1）知.如圖2，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建泣空間直角坐標(biāo)系.可得.設(shè)面BAF的法向量為，，，令設(shè)兩的法向量為，，令.故.所以，平面和平面夾角的余弦值為.17．(1)有關(guān)(2)①，；②分布列見解析，【詳解】（1）依題意可得，.零假設(shè)為：購車種類與性別無關(guān)聯(lián).依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到：.所以，根據(jù)小概率得獨立性檢驗，我們判斷購物種類與性別有關(guān)，此判斷犯錯誤概率不大于0.005.（2）①由條件概率公式結(jié)合表中數(shù)據(jù)得，②設(shè)事件C：在購車群體中，男性購買新能源汽車.則.設(shè)事件：在購車群體中，女性購買新能源汽車.則.依題意，的可能取值為：.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.18．(1)0(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，恒成立，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，的最大值是0；（2），.當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增.，不滿足題意.當(dāng)時，.在上恒成立，在上單調(diào)遞增.，不滿足題意.當(dāng)時，令.（i）若時，，令，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，矛盾，不滿足題意.（ii）若時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減.，滿足題意.綜上所述，的取值范圍為滿足題意.19．(1