高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省呂梁市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由特稱命題的否定為全稱命題，故原命題的否定為.故選：A.3.一個(gè)扇形的圓心的為，弧長為，則其面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，則由弧長公式得，解得，所以扇形的面積是.故選：D.4.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別為，2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得，所以.故選：B.5.已知，則大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，即，，?故選：C.6.已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】原式，因?yàn)?，則，所以上式.故選：A.7.已知且，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】題目所給的兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榍遥詾樵龊瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)的零點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，又因?yàn)?，由函?shù)零點(diǎn)存在定理知，存在，使得.當(dāng)時(shí)，由得，解得且.綜上，要使函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則零點(diǎn)為，所以，得.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列運(yùn)算正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)椋裕?，得（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），故A正確；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），故C錯(cuò)誤；由得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），故D正確.故選：AD.11.已知，則（）A.的定義域?yàn)锽.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】要使有意義，則且有意義，所以且，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B正確；，故C正埆；設(shè)，且，則，因?yàn)?，且，所以，得，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.13.已知函數(shù)，若，且，則__________.【答案】【解析】令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，由可得，去絕對值化簡得，故，所以.14.午夜零時(shí)時(shí)針和分針重合，則午夜零時(shí)后，時(shí)針和分針第1次重合所需時(shí)間為__________小時(shí)，第3次重合時(shí)時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)的角度為__________.【答案】【解析】設(shè)從午夜零時(shí)起，分針走了小時(shí)后與時(shí)針重合，分針的角速度為，時(shí)針的角速度為，則，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)的角度為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知角是第三象限角，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的值.解：（1）由得，則，所以.又因?yàn)榻鞘堑谌笙藿?，則，，所以，所以.（2）由（1）可得解得，所以.（3），所以.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式.解：（1）要使函數(shù)有意義，則且，即，所以函數(shù)定義域?yàn)?（2）是減函數(shù).證明如下：設(shè)，且，則.因?yàn)?，所以，所?所以，即.所以是減函數(shù).（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，要有意義，則，即，要有意義，則.因?yàn)槭菧p函數(shù)，由，得，即，解得或.綜上得或.所以不等式的解集為或.17.山西某村為富硒土壤，且氣候適宜，非常適合種植櫻桃.近年來，為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，實(shí)現(xiàn)共同富裕，當(dāng)?shù)攸h委帶領(lǐng)村民積極發(fā)展規(guī)?；N植，完善深加工產(chǎn)業(yè)鏈，成立深加工合作社，建立橿桃批發(fā)市場.該地櫻桃一般從5月1日開始上市，6月20日基本結(jié)束.通過市場調(diào)查，得到櫻桃的投入成本（單位：元/千克）與上市時(shí)間（單位：天數(shù)）的數(shù)據(jù)如下表：（上市時(shí)間滿足）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請從下列四個(gè)函數(shù)模型中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型反映櫻桃投入成本與上市時(shí)間的關(guān)系（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；①，②，③，④.（2）利用你選取的函數(shù)模型，求投入成本最低時(shí)櫻桃的上市時(shí)間及最低投入成本.解：（1）由表中所提供的數(shù)據(jù)可知，反映櫻桃的投入成本與上市時(shí)間的關(guān)系的函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，故用函數(shù)中的任意一個(gè)來反映時(shí)都應(yīng)有，此時(shí)上面三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用函數(shù)模型.將表中提供的三組數(shù)據(jù)分別代入，得解得所以反映櫻桃投入成本與上市時(shí)間的關(guān)系的函數(shù)為：.（2）由（1）知，所以當(dāng)（天）時(shí)，樓桃的投入成本最低，最低投入成本為2元/千克.18.已知函數(shù)只滿足以下四個(gè)條件中的三個(gè)：①的最小正周期為；②函數(shù)圖象的兩條對稱軸之間的最小距離為；③；④.（1）請找出這三個(gè)條件并說明理由，求出函數(shù)的解析式；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由②，得函數(shù)的最小正周期為，所以①②相互矛盾，若選①③④，則，由，得，又，解得，這時(shí)，得，故選②③④，由②，得，由得，由，解得.這時(shí)，滿足.由，得，所以.（2）由，解得.又，所以或.所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由（2），得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，要使函數(shù)在上的值域?yàn)?，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.在研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常利用函數(shù)圖象的平移思想，把一些復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù).例如函數(shù)且的圖象可以看作把奇函數(shù)且的圖象向右或向左平移個(gè)單位長度得到的，這樣我們可以得到函數(shù)且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.現(xiàn)有函數(shù).（1）根據(jù)上面的結(jié)論，求函數(shù)的對稱中心；（2）若，證明函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)；（3）當(dāng)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱時(shí)，若存在，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋鶕?jù)題中的結(jié)論，可得函數(shù)中，故函數(shù)的對稱中心為，所以函數(shù)的對稱中心為.（2）若，則，由得，所以的定義域?yàn)?又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，又由題設(shè)可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，且有.對于函數(shù)的圖象，可以看作是將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度得到的，知為奇函數(shù)且在上