期末模擬卷01（范圍：選擇性必修一全冊）（解析版）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1．設(shè)，若直線l經(jīng)過點?，則直線l的斜率是___________.【答案】1【分析】利用直線的斜率公式求解.【詳解】解：因為直線l經(jīng)過點?，所以直線l的斜率是，故答案為：12．已知向量，，它們分別在平面和上繞坐標原點旋轉(zhuǎn)得到向量?，其中，若，則___________.【答案】【分析】依題意可得，，根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式得到?，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】解：因為，將在平面上繞坐標原點旋轉(zhuǎn)得到，同理可得所以，所以，又，所以；故答案為：3．向量，向量，若，則實數(shù)________．【答案】2【分析】利用向量垂直列方程即可求得.【詳解】因為向量，，且，所以，解得：t=2.故答案為：24．設(shè)、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，化簡得，進而得到，結(jié)合橢圓的焦點弦的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當垂直于軸時，取得最小值，此時取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為：.5．已知直線與雙曲線無交點，則該雙曲線離心率的最大值為_________.【答案】【分析】根據(jù)給定雙曲線方程，求出漸近線方程，再借助已知確定b的范圍即可計算作答.【詳解】雙曲線的漸近線為：，因直線與雙曲線無交點，于是得，而雙曲線實半軸長為1，則該雙曲線離心率，所以該雙曲線離心率的最大值為.故答案為：6．已知??，且動點滿足，則取得最小值時，點的坐標是___________.【答案】【分析】設(shè)，由得點軌跡為；由可知當三點共線且在線段上時取得最小值，聯(lián)立圓的方程和直線方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，整理可得：；，當三點共線且在線段上時，取得最小值，又直線方程為：，即，由得：或，又在線段上，.故答案為：.7．已知MN是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為1、1、，則的取值范圍為________.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因為MN是長方體外接球的一條直徑，長方體的棱長分別為1、1、所以，如圖，設(shè)，則因為當時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi)，又當時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi).即所求的范圍是.故答案為：8．過點且與圓相切的直線的方程是______．【答案】或【分析】當直線斜率不存在時，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當直線斜率存在時，設(shè)斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當直線l的斜率不存在時，因為過點，所以直線，此時圓心到直線的距離為1=r，此時直線與圓相切，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，所以，即，因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或9．已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則______．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式即可求得.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：10．2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程．若第1個圖形中的三角形的邊長為2，則第4個圖形的周長為______．【答案】【分析】由圖形之間的邊長的關(guān)系，得到周長是等比數(shù)列，再按照等比數(shù)列通項公式可得解.【詳解】記第個圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長為，則有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；分析可知，即；，即，當?shù)?個圖形中的三角形的邊長為2，時，即，，所以，則第4個圖形的周長為.故答案為：.11．若，則_______．【答案】【分析】類比推理到下一項即可.【詳解】，，所以，故答案為：.12．給定曲線族，為參數(shù)，則這些曲線在直線上所截得的弦長的最大值是_____【答案】【分析】聯(lián)立求得交點的橫坐標，利用弦長公式得到弦長，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到不等關(guān)系，求出，從而求出弦長最大值.【詳解】聯(lián)立方程，解得：或，所以弦長，由得：，由輔助角公式，平方整理得，，解得：，所以，即弦長的最大值是故答案為：二、單選題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】B【分析】根據(jù)直線平行與斜率之間的關(guān)系，逐個選項進行判斷即可.【詳解】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則必有直線與平行，故必要性成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的必要非充分條件.故選：B14．在數(shù)列中，設(shè)其前n項和為，若，，，則等于（

）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式的特點，可得奇數(shù)項和偶數(shù)項的特點，根據(jù)分組求和即可求解．【詳解】由可知：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以奇數(shù)項成常數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為2故故選：B15．如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球與相切與點，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得焦距.【詳解】設(shè)球與相切與點，作出軸截面如下圖所示，由題意知：，，，，又，，，又，，橢圓的焦距為.故選：C.16．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答．【詳解】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系可得為等比數(shù)列，求通項公式即可；（2）根據(jù)錯位相減法求解即可.(1)當時，，解得．當時，，整理得，所以是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，故．(2)由（1）可知，，則，，則．故．18．如圖所示，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑，，點C為底面圓周O上的動點．記三棱錐的體積為V．(1)證明：平面平面；(2)求V的最大值；(3)當V取最大值時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用圓的性質(zhì)得，再由圓柱的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直、面面垂直的判斷推理作答.（2）利用三棱錐的體積公式推理、計算作答.（3）由（2）的結(jié)論，可得C為弧AB的中點，再建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.(1)依題意，三棱柱內(nèi)接于圓柱，是圓O的直徑，點C是底面圓周上異于點A，B的點，則，而，，平面，則平面，又平面，所以平面平面．(2)三棱錐底面為△ABC，高，三棱錐體積V最大，當且僅當?shù)酌婷娣e最大，即邊上的高最大，點C到直線AB距離最大，此時OC⊥AB，，所以體積V的最大值為.(3)由（2）知，C為弧AB的中點，射線兩兩垂直，以O(shè)為原點，分別以，，為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線面角的正弦．19．在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.(1)求對角線所在直線方程；(2)已知直線過點，與直線的夾角為，求直線的方程.（以上所求方程都以直線的一般式方程作答）【答案】(1)(2)或【分析】（1）由的中點在直線上，結(jié)合垂直關(guān)系得出對角線所在直線方程；（2）由點在直線上，得出直線的傾斜角為或，再由點斜式寫出方程.(1)由題意可知，的中點在直線上，對角線所在直線方程為，即(2)點在直線上，設(shè)直線的傾斜角為，直線與直線的夾角為則直線的傾斜角為或，當直線的傾斜角為時，，即故直線的方程為：當直線的傾斜角為時，，則直線的方程為，即20．已知為等差數(shù)列，前n項和為，，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，，，求；(3)設(shè)，其中.求的前2n項和.【答案】(1)，；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）運用累和法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法進行求解即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，或舍去，所以；，，解得：，即，所以有，；(2)因為，所以當時，有，顯然當時也適合，即；(3)由（1）（2）可知：，，.當，時，，當，時，，，.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用裂項相消法是解題的關(guān)鍵.21．在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點(1)求橢圓的方程(2)已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由；(3)若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值.【答案】(1)(2)存在定點，使得(3)【分析】（1）根據(jù)左頂點坐標、離心率和橢圓之間關(guān)系可直接求得結(jié)果；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可求得點坐標，利用中點坐標公式可得點坐標；由方程可求得點坐標；設(shè)存在定點，利用可得，由數(shù)量積的坐標運算可整理得到，令可求得定點坐標；（3）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可求得點橫坐標；根據(jù)平行關(guān)系可確定，整理可得，利用基本不等式可求得最小值.(1)為橢圓的左頂點，，又，，，橢