高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽市2023-2024學年高二下學期期末數(shù)學試題說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，集合，則集合.故選：D.2.平面向量，，若，則實數(shù)（）A. B.9 C. D.7【答案】B【解析】由，可知，即，故選：B3.已知二項式的展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)a的值為（）A. B.4 C. D.2【答案】C【解析】因為二項式的展開式中的系數(shù)是，所以，解得.故選：C.4.為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計測試成績不小于90的學生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，所以測試成績不小于90的學生所占的百分比為.故選：A.5.已知定義域為的奇函數(shù)滿足，，則（）A. B.5 C. D.2024【答案】A【解析】由得，，又因為為上奇函數(shù)且，所以，故選：A．6.高溫可以使病毒中蛋白質(zhì)失去活性，從而達到殺死病毒的效果，某科研團隊打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學模型，通過實驗得到部分數(shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預測當溫度為14℃時，病毒數(shù)量為（）參考公式：，A.12 B.10 C.9 D.11【答案】C【解析】y關(guān)于x的線性回歸方程為，直線過樣本中心點由表格數(shù)據(jù)得，，，，故根據(jù)最小二乘原理知，所以，即線性回歸方程為；將代入方程，得，即可預測病毒數(shù)量為.故選：C7.體積為4的長方體中，則該長方體的最小外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設又因為體積為4，得出,長方體的外接球直徑為則長方體的最小外接球表面積為.故選：B.8.2160的不同正因數(shù)個數(shù)為（）A.42 B.40 C.36 D.30【答案】B【解析】，所以2160的不同正因數(shù)個數(shù)為：.共40個.故選：B.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.設i為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則（）A.的虛部為1 B.C.在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限 D.【答案】AC【解析】對于A，，它的虛部為1，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC.10.雙曲線C：的左右頂點分別為A、B，P、Q兩點在C上，且關(guān)于x軸對稱（）A.以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為B.雙曲線C的離心率為C.直線與的斜率之積為D.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2【答案】BCD【解析】對于A，C的焦點和頂點分別為，從而以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為，故A錯誤；對于B，雙曲線C的離心率為，故B正確；對于C，顯然異于，不妨設，注意到都在雙曲線上面，且，所以直線與的斜率之積為，故C正確；對于D，雙曲線C：的一個焦點、一條漸近線可以分別是，，而點到直線的距離是，故D正確.故選：BCD.11.甲、乙、丙三名鉗工加工同一型號的零件，根據(jù)以往數(shù)據(jù)得知甲加工的次品率為6%，乙、丙加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%、30%、45%，從中任取一個零件進行檢查，下列選項正確的有（）A.該零件出自于甲加工的概率為0.25B.該零件是次品的概率為0.0525C.若該零件是次品，則出自于乙加工的概率為D.若該零件是次品，需要對三名鉗工進行罰款，則甲、乙、丙的罰款額之比為2：2：3【答案】ABD【解析】對于A中，因為甲加工的零件數(shù)占總數(shù)的，所以該零件出自于甲加工的概率為，所以A正確；對于B中，該零件時次品的概率為，所以B正確；對于C中，若零件是次品，則出自于乙加工的概率為，所以C不正確；對于D中，若該零件是次品，則出自于甲加工的概率為，出自于丙加工的概率為，所以甲乙丙的罰款額之比為，所以D正確.故選：ABD.12.直線：與：的交點為P，記點P的軌跡為，動點Q在曲線：上，下列選項正確的有（）A.若點，則B.是面積為的圓C.過Q作的切線，則切線長的最小值為D.有且僅有一個點Q，使得在Q處的切線被截得的線段長為2【答案】AD【解析】對于A，若點，則，注意到，所以，所以，故A正確；對于B，直線：與：依次過定點，注意到，所以直線，所以是以為圓心，以為半徑的一個圓，所以是面積為的圓，故B錯誤；對于C，設，則切線長為，令，則，令，則，所以f'x注意到，所以當時，f'x<0，當時，f所以在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以當點坐標為12,1時，切線長的最小值為，故C錯誤；對于D，由B可知是以為圓心，以為半徑的一個圓，若在Q處的切線被截得的線段長為2，則在切線上，而在Q處的切線為：，所以，因為，所以，解得，所以存在唯一的點，使得在Q處的切線被截得的線段長為2，故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案直接填在答題卡上）13.已知函數(shù)的零點為和1，則__________．【答案】4【解析】因為,所以.所以所以.故答案為：4.14.口袋中裝有兩個紅球和三個白球，從中任取兩個球，用X表示取出的兩個球中白球的個數(shù)，則X的數(shù)學期望______.【答案】【解析】從袋中1次隨機摸出2個球，記白球的個數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2；則，，，隨機變量X的概率分布為；X012P所以數(shù)學期望.故答案為：.15.已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】取橢圓的左焦點，連結(jié)，

由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是.故答案為：.16.，，都有，則實數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【解析】不妨，由題意分式轉(zhuǎn)化為，則，即，故函數(shù)單調(diào)遞增，又因為，解得，，單調(diào)遞增，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）17.現(xiàn)代科技日新月異，電子產(chǎn)品更是更新?lián)Q代迅速，某手機開發(fā)公司推出一款新手機，為了解某地區(qū)消費者對新手機的滿意度，從中隨機調(diào)查了150名消費者，得到如下數(shù)據(jù)：滿意不滿意男6040女4010（1）能否有97.5%的把握認為消費者對新手機的滿意度與性別有關(guān)；（2）若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機選取3人，用表示不滿意的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024（，其中）解：（1）所以有97.5%的把握認為消費者對新手機的滿意度與性別有關(guān)．（2）由表中數(shù)據(jù)可知，被調(diào)查者中“不滿意”的頻率為．所以，，，，，其分布列為0123所以.18.如圖，在直三棱柱中，，，M、N分別是BC、的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題意以A為坐標原點建立如圖空間直角坐標系：則，，，所以，，，所以，，即，，又平面，所以平面.（2）由（1）知平面的法向量可取，平面的法向量可取為，設平面與平面夾角為，則.19.已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且．（1）求內(nèi)角C；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）在中由正弦定理及已知條件得：即由余弦定理得：又，所以．（2）由于為銳角三角形，所以，即，所以，即取值范圍為．20.數(shù)列的前n項和為，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）令，數(shù)列的前n項和為.求證：.解：（1）因為①，所以當時，②，①②得：，即(*)，又當時，，即，所以，由(*)可得，，則數(shù)列為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；（2）由（1）知，故，因，，故得.21.已知拋物線C：的焦點F到頂點的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，，求直線l在x軸上的截距的取值范圍.解：（1）由題意得：，所以，從而拋物線C的方程為：.（2）由（1）知F0,1，且必然存在斜率，故可設：，Ax1,y1由得：，，則，由得：，從而，令，由于，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.22.已知在中，，，，記的面積為S．（1）請利用所學過的相