第八章一元回歸及簡單相關(guān)分析主要內(nèi)容：1、回歸與相關(guān)的根本概念2、一元線性回歸方程3、一元線性回歸的檢驗(yàn)4、一元非線性回歸5、相關(guān)一、教學(xué)目的：1、掌握回歸與相關(guān)的概念；2、掌握一元線性回歸方程的建立與檢驗(yàn)；3、掌握相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與檢驗(yàn)。二、教學(xué)重點(diǎn)：1、回歸與相關(guān)的概念；2、一元線性回歸方程的建立與檢驗(yàn)；3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與檢驗(yàn)；三、教學(xué)難點(diǎn)：1、一元線性回歸方程的建立與檢驗(yàn)；2、相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗(yàn)。

設(shè)有兩個隨機(jī)變量X和Y，對于任一隨機(jī)變量的每一個可能的值，另一個隨機(jī)變量都有一個確定的分布與之相對應(yīng)，稱這兩個隨機(jī)變量間存在相關(guān)(correlation)關(guān)系。

回歸分析是研究一個變量對另一個變量的單向依存關(guān)系，即研究一個變量隨另一個變量變化而變化。其中的后一個變量叫自變量，前一個變量叫應(yīng)變量或因變量?；貧w與相關(guān)的根本概念研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系和回歸關(guān)系，稱為簡單相關(guān)和簡單回歸，亦稱單相關(guān)和單回歸。它還可分為兩類：直線相關(guān)和直線回歸、曲線相關(guān)和曲線回歸

直線相關(guān)和直線回歸：在兩個變量中，當(dāng)一個變量數(shù)值增大時，而另一個變量數(shù)值隨著增大；或當(dāng)一個變量數(shù)值增大時，而另一個變量數(shù)值反而減少。這種增大或減少，在一定范圍內(nèi)常有一定的比例。如以成對觀察值散點(diǎn)的圖方法表示，可見各散點(diǎn)常落于一條直線之左右，散點(diǎn)圖呈直線的趨勢。回歸與相關(guān)的根本概念

曲線相關(guān)和曲線回歸：在兩變量中，一個變量的數(shù)值隨另一個變量增大而增加，但達(dá)一定限度后，隨著變量數(shù)值的增加，另一變量數(shù)值反而減少，這種情形稱為曲線相關(guān)和曲線回歸?；貧w與相關(guān)的根本概念當(dāng)研究變量的相關(guān)和回歸關(guān)系涉及到三個或三個以上的變量時候，稱為多元相關(guān)和多元回歸，亦稱復(fù)相關(guān)和復(fù)回歸。例如魚的增重率不僅跟品種有關(guān)，還跟飼料品種、飼料投喂量、溫度等因素有關(guān)?；貧w與相關(guān)的根本概念散點(diǎn)圖在做兩個隨機(jī)變量關(guān)系研究時，首先要收集數(shù)據(jù)。在收集到許多對數(shù)據(jù)之后，最好先作出一個散點(diǎn)圖，直觀地描述一下兩變量的關(guān)系。用自變量X為橫軸，因變量Y為縱軸，在XY平面內(nèi)標(biāo)出〔x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，就構(gòu)成一幅散點(diǎn)圖。一元線性回歸方程例：實(shí)驗(yàn)浸苗對海帶產(chǎn)量的影響，以“860〞海帶為材料，在夾苗放養(yǎng)前，選擇長勢根本相同的小海帶，用不同濃度的TRIA浸苗6小時，得實(shí)驗(yàn)結(jié)果：一元線性回歸方程以以下圖是用以上7對數(shù)據(jù)作出的散點(diǎn)圖。一元線性回歸方程

從以上的散點(diǎn)圖可以看出海帶產(chǎn)量與浸泡濃度之間近似呈線性關(guān)系，但這些點(diǎn)并不在一條直線上。假設(shè)我們增加每一NaCl濃度下的觀測次數(shù)，其散點(diǎn)圖如下：〔可見其平均值更趨近于一條直線〕一元線性回歸方程我們描繪散點(diǎn)的目的:〔1〕兩變量之間的關(guān)系是否密切，能否用X來估計Y；〔2〕兩變量之間的關(guān)系是呈線性或某種曲線；〔3〕是否存在某個點(diǎn)偏離過大；〔4〕是否存在其他規(guī)律。從以上的例子我們可以看出，實(shí)驗(yàn)重復(fù)越多，其線性關(guān)系越明顯，這在實(shí)際上是困難的。在點(diǎn)比較少的情況下，表示兩變量關(guān)系的直線可能有多條，哪一條最好呢？一元線性回歸方程一元正態(tài)回歸模型滿足上面式子的回歸模型，因其只指包含一個自變量X且具有正態(tài)性，所以稱為一元正態(tài)回歸模型。一元線性回歸方程參數(shù)α和β的估計一般情況下，只能得到一條估計的直線。用?估計μY.X，即對每一個固定的X的值x0，用?做Y的總體平均數(shù)μY.X＝0的估計值?！?〞的意思是“Y的估計值〞。上式稱為Y對X的回歸方程。根據(jù)回歸方程所畫出的直線稱為回歸線，b是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)。一元線性回歸方程平均數(shù)有一個特性，即在各種離差平方和中，以距平均數(shù)的離差平方和最小。我們把觀測值與回歸估計值之間的離差平方和最小時的回歸線作為最好的回歸線。其方法為最小二乘法。圖為最小二乘法示意圖。一元線性回歸方程應(yīng)用最小二乘法求回歸方程時并不涉及兩變量是否確有回歸關(guān)系，因此，求出回歸方程后須作統(tǒng)計檢驗(yàn)，稱回歸顯著性檢驗(yàn)。有t檢驗(yàn)法和F檢驗(yàn)法。一元回歸顯著性檢驗(yàn)一元回歸分析的意義1、預(yù)報：生物學(xué)中，研究兩變量間的關(guān)系，可以幫助我們揭示生物各性狀之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時，也可以由一個變量去預(yù)報另一個變量。2、減少實(shí)驗(yàn)誤差：將總校正平方和分解為因回歸引起的平方和和實(shí)驗(yàn)引起的誤差平方和，減小了后者，從而降低了實(shí)驗(yàn)誤差。一元回歸顯著性檢驗(yàn)處理一元非線性回歸的原那么生物學(xué)中兩變量間呈曲線關(guān)系的例子很多。例如生物生長中某時期的重量與時間的關(guān)系、細(xì)菌生長的數(shù)量與時間的關(guān)系等，都不是用簡單的直線關(guān)系所能表達(dá)的。這時應(yīng)選擇適當(dāng)類型的曲線，使之能更符合兩變量的實(shí)際關(guān)系。在確定了兩變量間所呈函數(shù)關(guān)系以后，需通過適當(dāng)變換，便可將曲線化為直線，再按直線回歸處理。一元非線性回歸能直線化的曲線1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)4.雙曲線函數(shù)5.S型曲線一元非線性回歸相關(guān)系數(shù)兩個變量之間的線性回歸是否顯著，可以通過檢驗(yàn)回歸系數(shù)b的顯著性和方差分析來確定。另一個衡量線性回歸好壞的標(biāo)志就是相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)是指由于回歸因素所引起的變差與總變差之比的平方根。由回歸因素所引起的變差，在總變差中的比率越大，回歸的成份就越大，這兩個變量間的相關(guān)越密切。相關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)如下：上式中的分子為X和Y的交叉乘積和，交叉乘積和除以自由度稱為X和Y的協(xié)方差。兩變量總體相關(guān)程度，用總體相關(guān)系數(shù)來衡量。上式中的分子稱為X和Y的協(xié)方差，因此，總體相關(guān)系數(shù)等于兩變量的協(xié)方差除以兩變量方差的幾何平均數(shù)。相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系：相關(guān)系數(shù)是正反回歸系數(shù)的幾何平均數(shù)。相關(guān)相關(guān)指數(shù)〔R2〕相關(guān)系數(shù)是線性回歸程度的標(biāo)志。我們用r