專題13角的和與差及角平分線問(wèn)題的四種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、角的和與差多解問(wèn)題 3類型二、單條角平分線問(wèn)題 5類型三、雙條角平分線問(wèn)題 10類型四、多條角平分線問(wèn)題 13壓軸能力測(cè)評(píng)（16題） 17解題知識(shí)必備1.角的和與差如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．2.角平分線模型從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB3.雙角平分線模型共頂點(diǎn)的三條射線組成的三個(gè)角中（兩角共一邊），已知任意兩個(gè)角的平分線，求角平分線夾角。圖1圖21）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。4.角n等分線模型條件：如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線；結(jié)論：．證明：∵分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：。壓軸題型講練類型一、角的和與差多解問(wèn)題例題：（23-24七年級(jí)下·山東淄博·階段練習(xí)）平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的三條射線，構(gòu)成的角，則的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)下·云南玉溪·期末），，則的余角的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）從點(diǎn)O出發(fā)的三條射線、、，使得，且，則的度數(shù)為．類型二、單條角平分線問(wèn)題例題：（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，平分，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練1】（22-23七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，若，，，射線繞點(diǎn)O以每秒逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O以每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線．【變式訓(xùn)練2】（24-25七年級(jí)上·河北秦皇島·期中）如圖，點(diǎn)O在直線上，，，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；(3)是否平分？試說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練3】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，頂點(diǎn)O在直線上，，是的平分線．(1)當(dāng)點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)時(shí)，如圖1：①若，則；若，則；②若，則（用n表示）；(2)當(dāng)A，B在直線的異側(cè)時(shí)，如圖2：①猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，直接寫出的度數(shù)．類型三、雙條角平分線問(wèn)題例題：（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)（寫出求解過(guò)程）；(3)若將條件中“平分，平分．平分”改為“，”，且，求的度數(shù)（寫出求解過(guò)程）．【變式訓(xùn)練2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖①，是內(nèi)部的一條射線，、分別平分，．(1)若，，求；(2)與的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．(3)如圖②，如果是外部的一條射線，、分別平分，．那么（2）中與的大小關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．類型四、多條角平分線問(wèn)題例題：（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．

（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，的值為．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖①，射線在內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為，則稱射線為的“幸運(yùn)線”．如圖②，若，射線為的“幸運(yùn)線”，則的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知下圖中的均為直角．(1)如圖一，是的角平分線，是的角平分線；①若，求的大小；②若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖二，若內(nèi)部的射線OP、OQ把分成了三部分，且使得，我們稱OP、OQ為的“三等分線”．在圖三中，OD是的三等分線，OE是的三等分線，且，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．壓軸能力測(cè)評(píng)（16題）一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，直線、相交于點(diǎn)，射線平分，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，是平角，，分別是的平分線，則（）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)下·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試），平分，以為一邊作，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或4．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，C為直線上一點(diǎn)，平分，平分，平分．有下列結(jié)論：①與互余；②與互補(bǔ)；③與互補(bǔ)；④，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（22-23七年級(jí)上·浙江湖州·期末）定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或二、填空題6．（23-24七年級(jí)上·四川自貢·期末）如果，，那么的度數(shù)為．7．（23-24七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，若與是一對(duì)鄰補(bǔ)角，平分，在內(nèi)部，并且，，則的度數(shù)是．8．（23-24八年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，射線在直線的上方且，有一大小為的可繞其頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，其中射線、分別平分、，當(dāng)時(shí)，．9．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在內(nèi)部順次有一組射線，，，，滿足，，，，.若，則（用含，的代數(shù)式表示）.10．（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）【動(dòng)手操作】如圖，為直線上一點(diǎn)，作射線使．將一個(gè)直角三角板按圖1所示的方式擺放，直角頂點(diǎn)在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上．將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖2所示．當(dāng)所在直線恰好平分時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．三、解答題11．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）已知，，分別是的平分線，求的度數(shù)．12．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)，平分，．(1)求證：是的平分線；(2)若，求的度數(shù)．13．（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期末）如圖，已知O為直線上一點(diǎn)，是內(nèi)部一條射線且滿足與互補(bǔ)，，分別為，的角平分線．(1)與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，試求與的度數(shù)；(3)若，試求的度數(shù)．14．（22-23七年級(jí)上·遼寧鞍山·期末）如圖，，平分，平分．(1)如圖①，在的內(nèi)部，則_________；(2)如圖②，在的外部，且，能否求出的度數(shù)，若能，請(qǐng)寫出求解過(guò)程，若不能，說(shuō)明理由．15．（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）【知識(shí)背景】已知為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．【動(dòng)手操作】（1）如圖①所示，若三角尺的一邊與射線重合，則______；【類比操作】（2）如圖②所示，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的平分線，求和的度數(shù)；（3）將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置時(shí)，，求的度數(shù)．16．（23-24七年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在的內(nèi)部引一條射線，則圖中共有個(gè)角，分別是、和．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另