預(yù)習(xí)案14超幾何分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解超幾何分布.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1．定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).【典型例題】一、超幾何分布的辨析一、單選題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X二、多選題3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有(

)A．拋擲三枚骰子，向上面的點(diǎn)數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)XB．有一批種子的發(fā)芽率為70％，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)XC．盒子中有3個(gè)紅球、4個(gè)黃球、5個(gè)藍(lán)球，任取3個(gè)球，不是紅球的個(gè)數(shù)XD．某班級(jí)有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生的人數(shù)X4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有（

）A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)C．一名學(xué)生騎自行車(chē)上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量XD．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X三、填空題5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號(hào))①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；②從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)；③一名學(xué)生騎自行車(chē)上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈數(shù)為隨機(jī)變量X.四、解答題6．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）分別指出下列隨機(jī)變量服從什么分布：(1)即將出生的100個(gè)新生嬰兒中，男嬰的個(gè)數(shù)X；(2)已知某幼兒園有125個(gè)孩子，其中男孩有62個(gè)，從這些孩子中隨機(jī)抽取10個(gè)，設(shè)抽到男孩的個(gè)數(shù)為X．7．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由．（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；（4）某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；（5）現(xiàn)有100臺(tái)MP3播放器未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的MP3播放器的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布．五、概念填空8．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）超幾何分布就是一種概率分布模型．()（2）一個(gè)袋子里裝有4個(gè)白球，5個(gè)黑球和6個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，則取出的黑球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．()二、超幾何分布的概率一、單選題1．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組共12人，其中有5名是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從該小組中任選5人參加競(jìng)賽，用ξ表示這5人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則下列概率中等于C75CA．Pξ=1 B．Pξ≤1 C．Pξ≥12．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)10件同類(lèi)型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則PX=1=（A．15 B．25 C．8153．（2022春·陜西延安·高二?？茧A段練習(xí)）從含有7件次品的20件產(chǎn)品中，任意的抽取4件，X表示抽取的次品個(gè)數(shù)，則C73?A．PX=3 B．C．PX>3 D．4．（2022春·河北保定·高二高陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）某黨支部有10名黨員，7男3女，為迎接建黨100周年，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則PX<2=（A．715 B．815 C．14155．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這些零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是（

）.A．C161C42C203 二、填空題6．（2022春·上海浦東新·高二?？计谀┰谙渥又杏?0個(gè)小球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球.從這10個(gè)球中任取3個(gè)，記X表示白球的個(gè)數(shù)，則PX=2三、解答題7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）學(xué)校要從5名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用X表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）X012P_________8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球的，除顏色外其它均一樣，從中任取3個(gè)球，求至少含有1個(gè)紅球的概率.9．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）球車(chē)中裝有12個(gè)排球，其中9個(gè)是新的，3個(gè)是舊的．從球車(chē)中任取3個(gè)來(lái)用，用完后裝回球車(chē)中（新球用完后變?yōu)榕f球），此時(shí)球車(chē)中舊球的個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，求ξ的分布列．10．（2022春·廣東廣州·高二廣州市第十六中學(xué)?？计谥校?名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)ξ表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求ξ的分布列．四、概念填空11．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)小組有6個(gè)人，任選2名代表，則甲當(dāng)選的概率為_(kāi)_________．12．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以710A．都不是一等品

B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品

D．至多有1件一等品三、超幾何分布與二項(xiàng)分布間的關(guān)系一、多選題1．（2022秋·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)校考期中）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．取出的白球個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布B．取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C．取出2個(gè)白球的概率為1D．取出球總得分最大的概率為1二、解答題2．（2007·四川·高考真題）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家對(duì)一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按規(guī)定拾取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否驗(yàn)收這批產(chǎn)品：(1)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格產(chǎn)品的概率；(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件產(chǎn)品合格時(shí)才接收這些產(chǎn)品，否則拒收，分別求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產(chǎn)品的概率．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某藥廠研制了治療一種疾病的新藥，該藥的治愈率為85%.現(xiàn)用此藥給10位病人治療，記被治愈的人數(shù)為X(1)若X=6，從這10人中隨機(jī)選3人進(jìn)行用藥體驗(yàn)訪談，求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，概率PX=k4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校要招聘志愿者，參加應(yīng)聘的學(xué)生要從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)其中的3個(gè)才能通過(guò)初試．已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為34(1)試通過(guò)概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰(shuí)通過(guò)初試的可能性更大；(2)若答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答得0分，記乙的得分為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．5．（2022春·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）袋中有6個(gè)白球?3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取2次，每次取1個(gè)球.(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列和期望.6．（2022春·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期末）某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品．從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個(gè)數(shù)．(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)14【過(guò)關(guān)作業(yè)】一、單選題1．（2005·遼寧·高考真題）設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為（

）A．C804?C106C100102．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布；②取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布；③取出2個(gè)白球的概率為114④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為1A．①② B．②④ C．③④ D．①③④3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤(pán)每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X，則P(X≥1)=（

）A．57 B．47 C．274．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X=1)=25 B．隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量X服從幾何分布 D．E5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為X，則EX=（A．2 B．1 C．43 D．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X～H(10,M,1000)（2≤M≤992且M∈N?），H(2;10,M,1000)最大時(shí)，E(X)=（A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01二、多選題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）2021年10月16日，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國(guó)人民關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視、報(bào)紙了解有關(guān)新聞，某組織隨機(jī)選取10人調(diào)查民眾了解這一新聞的方式，其中喜歡用電視、手機(jī)、報(bào)紙了解這一新聞的分別有3人、6人、1人，現(xiàn)隨機(jī)選出2人，則（

）A．有1人喜歡用電視的方式的概率是7B．有2人喜歡用電視的方式的概率是4C．至多有1人喜歡用電視的方式的概率是14D．至少有1人喜歡用手機(jī)的方式的概率是88．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高一江西省樂(lè)平中學(xué)校考期末）中秋節(jié)又稱(chēng)祭月節(jié)?仲秋節(jié)?拜月節(jié)?團(tuán)圓節(jié)等，是中國(guó)民間的傳統(tǒng)節(jié)日?中秋節(jié)自古便有祭月?賞月?吃月餅等民俗，流傳至今，經(jīng)久不息.在一個(gè)食盒中裝有大小一樣的五仁月餅6個(gè)，鮮肉月餅4個(gè)，小明同學(xué)從中一次性任取4個(gè)月餅，設(shè)取出的4個(gè)月餅中鮮肉月餅的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X=2)=37 B．隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布. D．P(1<X<4)=三、填空題9．（2022秋·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有2件正品和3件次品，從中任取3件，至少有2件次品的概率為_(kāi)______．10．（2022春·福建漳州·高二校聯(lián)考期末）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ+2)=11．（2022春·云南紅河·高二彌勒市一中校考階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，設(shè)X為取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，則X的均值為_(kāi)___________．12．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知超幾何分布滿(mǎn)足X~H8,5,3，則P四、解答題13．（2021春·天津薊州·高二?？计谀樘岣咛旖蚴械恼w旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來(lái)自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游4名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨