PAGEPAGE1第十九講數(shù)學文化與核心素養(yǎng)1.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V≈136l2h.它事實上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈7264lA.227 B.258 C.1572.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式:設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=14c2a2-cA.3 B.2 C.3 D.63.3世紀中期,數(shù)學家劉徽發(fā)覺當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限靠近圓的面積,并因此創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”,劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”設(shè)計的一個程序框圖,則輸出的n為(參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12 B.24 C.36 D.484.(2024貴州貴陽模擬)我國明朝數(shù)學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道著名世界的題目:“一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭.小僧三人分一個,大小和尚各幾丁?”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法,執(zhí)行程序框圖,則輸出的n的值為()A.20 B.25C.30 D.355.(2024重慶六校聯(lián)考)《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有勾八步,股一十五步,問勾中容圓徑幾何.”其大意:“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A.3π10 B.3π20 C.1-3π6.(2024云南昆明調(diào)研)如圖所示的程序框圖來源于中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》,其中定義[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的a=()A.9 B.16 C.23 D.307.(2024吉林長春監(jiān)測)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何?芻甍:底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1),那么該芻甍的體積為()A.4 B.5 C.6 D.128.北宋數(shù)學家沈括的主要成就之一為隙積術(shù),即用來計算諸如累棋、層壇的物體體積的方法.設(shè)隙積共n層,上底由a×b個物體組成,以下各層的長、寬依次增加一個物體,最下層(即下底)由c×d個物體組成,沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為s=n6[(2a+c)b+(2c+a)d]+n6(c-a),其中a是上底長,b是上底寬,c是下底長,d是下底寬,n為層數(shù).已知由若干個相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示,則該隙積中A.83 B.84 C.85 D.869.(2024福建福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的《孫子算經(jīng)》.圖中的Mod(N,m)≡n表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n,例如Mod(10,3)≡1.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的i等于()A.23 B.38 C.44 D.5810.祖暅是南北朝時代的宏大科學家,他在5世紀末提出體積計算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的隨意平面所截,假如截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球,則滿意祖暅原理的兩個幾何體為()A.①② B.①③ C.②④ D.①④11.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表,它的出現(xiàn)標記著中國古代數(shù)學形成了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計算問題,術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面積計算公式為:弧田面積=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形,公式中的“弦”指的是弧田弦的長,“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圓為圓O,若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為7A.125 B.325 C.112.中國傳統(tǒng)文化中許多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑、白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義:圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”.給出下列命題:①對于隨意一個圓O,其“太極函數(shù)”有多數(shù)個;②函數(shù)f(x)=ln(x2+x2③正弦函數(shù)y=sinx可以同時是多數(shù)個圓的“太極函數(shù)”;④函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形.其中正確的命題為()A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④13.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是.

14.(2024四川成都模擬)“更相減損術(shù)”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的算法案例,其對應(yīng)的程序框圖如圖所示.若輸入的x,y,k的值分別為4,6,1,則輸出的k的值為.

15.《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的體積為.

答案精解精析1.A依題意,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則V=13πr2h≈7264l2h=7264(2πr)22.A依據(jù)正弦定理及a2sinC=4sinA,得ac=4.再結(jié)合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,則S=14c2a23.B依據(jù)程序框圖執(zhí)行,n=6,S=3sin60°=332,不滿意條件S≥3.10,執(zhí)行循環(huán);n=12,S=6sin30°=3,不滿意條件S≥3.10,執(zhí)行循環(huán);n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,4.B解法一:執(zhí)行程序框圖,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+79解法二:由題意,得m+5.D如圖,直角三角形的斜邊長為82+152=17,設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r,則8-r+15-r=17,解得r=3,∴內(nèi)切圓的面積為πr2=9π,∴豆子落在內(nèi)切圓外的概率P=1-6.C執(zhí)行程序框圖,k=1,a=9,9-3·93≠2;k=2,a=16,16-3·163=1≠2;k=3,a=23,23-3·233=2,23-5·237.B如圖所示,由三視圖可還原得到幾何體ABCDEF,過E,F分別作垂直于底面的截面EGH和FMN,可將原幾何體切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱錐E-ADHG和四棱錐F-MBCN,易知直三棱柱的體積為12×3×1×2=3,兩個四棱錐的體積相同,都為18.C由三視圖知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=n6[(2a+c)b+(2c+a)d]+n9.AMod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i=21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,結(jié)束循環(huán).故輸出的i=23.故選A.10.D設(shè)截面與下底面的距離為h,則①中截面內(nèi)的圓半徑為h,則截面圓環(huán)的面積為π(R2-h2);②中截面圓的半徑為R-h,則截面圓的面積為π(R-h)2;③中截面圓的半徑為R-h2,則截面圓的面積為πR-h22;④中截面圓的半徑為R2-11.D如圖,AB=6,設(shè)CD=x(x>0),則12(6x+x2)=72,解得x=1.設(shè)OA=y,則(y-1)2+9=y由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×512.A過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分,故對于隨意一個圓O,其“太極函數(shù)”有多數(shù)個,故①正確;函數(shù)f(x)=ln(x2+x2故其不行能為圓的“太極函數(shù)”,故②錯誤;將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx圖象的對稱中心上,則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“太極函數(shù)”,從而正弦函數(shù)y=sinx可以同時是多數(shù)個圓的“太極函數(shù)”,故③正確;函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,則y=f(x)是“太極函數(shù)”,但函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”時,圖象不肯定是中心對稱圖形,如圖,故④錯誤,故選A.13.答案π解析設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,其中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為π2,所以在正方形內(nèi)隨機取一點,