高等數(shù)學(xué)題庫七上及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線\(y=e^x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((0,+\infty)\)D.無4.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.1B.-1C.0D.25.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^3+C\)C.\(x^3+C\)D.\(\frac{1}{4}x^3+C\)6.已知\(y=\lnx\)，則\(y^\prime\)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)7.函數(shù)\(y=\cos2x\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)8.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)9.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=4x-3\)D.\(y=x\)10.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)的值為（）A.\(e\)B.1C.0D.\(\infty\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列積分中，計算正確的有（）A.\(\int1dx=x+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點(diǎn)有（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.無拐點(diǎn)6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）D.\(y=-x\)7.函數(shù)\(f(x)\)的駐點(diǎn)可能是（）A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn)C.拐點(diǎn)D.導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)8.下列等式成立的有（）A.\(d(\sinx)=\cosxdx\)B.\(d(e^x)=e^xdx\)C.\(d(x^2)=2xdx\)D.\(d(\lnx)=\frac{1}{x}dx\)9.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與（）有關(guān)。A.積分區(qū)間\([a,b]\)B.被積函數(shù)\(f(x)\)C.積分變量的符號D.函數(shù)\(f(x)\)的原函數(shù)10.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理條件，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得（）A.\(f^\prime(\xi)=0\)B.\(f(\xi)=0\)C.\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)D.\(f^\prime(\xi)\)不存在判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。（）3.若函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)，則一定可導(dǎo)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=2x\)。（）5.\(\int\sinxdx=\cosx+C\)。（）6.曲線\(y=x^2\)的凹區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）7.函數(shù)\(f(x)\)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）8.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+5\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：先求導(dǎo)\(f^\prime(x)=2x-4\)，令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=2\)。\(f(0)=5\)，\(f(2)=1\)，\(f(3)=2\)，所以最大值為\(5\)（\(x=0\)時），最小值為\(1\)（\(x=2\)時）。4.簡述函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)是連續(xù)的充分不必要條件。因?yàn)榭蓪?dǎo)定義中極限存在能推出函數(shù)值與極限值相等即連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)在某些點(diǎn)可能不可導(dǎo)，如\(y=|x|\)在\(x=0\)處。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的定義域、間斷點(diǎn)及間斷點(diǎn)類型。答案：定義域?yàn)閈(x^2-1\neq0\)，即\(x\neq\pm1\)。\(x=\pm1\)是間斷點(diǎn)，\(\lim\limits_{x\to\pm1}\frac{1}{x^2-1}=\infty\)，所以\(x=\pm1\)是無窮間斷點(diǎn)。2.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：先求函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)\(f^{\prime\prime}(x)\)。若在某區(qū)間\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凸的。拐點(diǎn)處\(f^{\prime\prime}(x)=0\)或\(f^{\prime\prime}(x)\)不存在。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，定積分是數(shù)值，由積分區(qū)間和被積函數(shù)確定。不定積分側(cè)重于求原函數(shù)，定積分常用于求面積、體積等實(shí)際問題。4.討論在實(shí)際問題中如何利用導(dǎo)數(shù)求最值。答案：先根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域。再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0找出駐點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際問題舍去不符合題意的點(diǎn)，比較駐點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，最大的即為最大值，最小的即為最小值。答案單項選擇題1.B