專題二幾何最值問(wèn)題類型1

由垂線段最短求最值模型1：“一動(dòng)一定”型（一個(gè)動(dòng)點(diǎn)＋一個(gè)定點(diǎn)）典例1（2023·亳州二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N.典例1圖（1）

∠MDN的度數(shù)是

90°

?.（2）

若AB＝6，AC＝8，連接MN，則當(dāng)線段MN最短時(shí)，求線段AM的長(zhǎng).90°[思路點(diǎn)撥]（1）

根據(jù)有三個(gè)直角的四邊形是矩形，可證得四邊形DMAN是矩形，因此∠MDN＝90°.（2）

連接AD，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，可知AD＝MN.當(dāng)線段MN最短時(shí)，線段AD也最短，因此當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短，此時(shí)MN最短.結(jié)合等面積法與相似三角形可求得此時(shí)線段AM的長(zhǎng).

典例1圖答案典例1圖跟蹤訓(xùn)練?

?

第1題

123456789101112131415161718192021222324模型2：“兩動(dòng)一定”型（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)＋一個(gè)定點(diǎn)）典例2（2023·池州貴池模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，則CM＋MN的最小值是（

D

）典例2圖DA.2B.2C.6D.3[思路點(diǎn)撥]作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB，EM，EN，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.先根據(jù)軸對(duì)稱將CM＋MN轉(zhuǎn)化為EM＋MN，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知EM＋MN≥EN≥EF，故CM＋MN的最小值為EF的長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)求出EF的長(zhǎng)即可.跟蹤訓(xùn)練?

?

A.2＋2B.＋3C.2＋2D.＋4第2題B類型2

利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求最值模型1：“一線兩定”型（一個(gè)動(dòng)點(diǎn)＋兩個(gè)定點(diǎn)）（1）

異側(cè)線段和的最小值問(wèn)題

典例3圖[思路點(diǎn)撥]連接CE，交AD于點(diǎn)F'.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F與點(diǎn)F'重合時(shí)，EF＋CF的值最小，即為CE的長(zhǎng).利用勾股定理即可求解.2

跟蹤訓(xùn)練?

?3.（2023·阜陽(yáng)太和一模）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，設(shè)它們的面積分別是S1，S2，S3，S4，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

D

）A.若S1＝S3，則點(diǎn)P在AB的垂直平分線上B.S2＋S4＝S1＋S3C.若AB＝4，BC＝3，則PA＋PB＋PC＋PD的最小值為10D.若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，則PA＝2.5第3題D（2）

同側(cè)線段和最小值問(wèn)題（將軍飲馬）

典例4圖[思路點(diǎn)撥]連接CP，CE，易證△ABP≌△CBP，得AP＝CP，當(dāng)E，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，CP＋PE取得最小值，為CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求解.

跟蹤訓(xùn)練?

?4.（2023·馬鞍山模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng).當(dāng)PA＋PD取得最小值時(shí)，△APD的邊AP上的高為（

B

）A.B.C.D.第4題B模型2：“一點(diǎn)兩線”型（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)＋一個(gè)定點(diǎn)）典例5如圖，∠AOB＝30°，M，N分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，連接OP，PM，PN，MN.若OP＝5，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為

5

?.

典例5圖[思路點(diǎn)撥]分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D，連接CD，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)取得最小值.結(jié)合軸對(duì)稱即可求出△PMN的周長(zhǎng)的最小值.5跟蹤訓(xùn)練?

?5.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)，使△DEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EDF的度數(shù)為

112°

?.第5題112°類型3

圓中的最值問(wèn)題（含“隱”圓）模型1：點(diǎn)和圓的最值問(wèn)題典例6（2023·安慶岳西模擬）如圖，E是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以BC為直徑的半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，求AE＋EF的最小值.[思路點(diǎn)撥]延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接OG，交CD于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，則AE＋EF的最小值即為GN的長(zhǎng)，根據(jù)GN＝OG－ON并結(jié)合勾股定理即可求解.

典例6圖答案跟蹤訓(xùn)練?

?

第6題

模型2：線和圓的最值問(wèn)題

典例7圖DA.B.C.2D.3

跟蹤訓(xùn)練?

?7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，☉P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，0），O（0，0），B（0，6）.若D是☉P上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí)，sin∠BOD的值是（

D

）A.B.3C.D.第7題D模型3：定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造輔助圓求最值

典例8圖

[思路點(diǎn)撥]連接AN，AM，以點(diǎn)A為圓心、AM長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)NA，與圓交于點(diǎn)M'，點(diǎn)M在以點(diǎn)A為圓心、AM長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則MN長(zhǎng)的最大值為M'N的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理分別算出AM，AN的長(zhǎng)，則MN長(zhǎng)的最大值為M'N＝AN＋AM'＝AN＋AM.跟蹤訓(xùn)練?

?

第8題1＋

模型4：定弦定角構(gòu)造輔助圓求最值典例9（2023·安慶迎江三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，則AH長(zhǎng)的最小值為（

D

）典例9圖DA.2B.4C.2－2D.2－2

跟蹤訓(xùn)練?

?9.（2023·合肥廬陽(yáng)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，連接AP，BP，O為AB的中點(diǎn)，將BO繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段BD，連接DP，則DP長(zhǎng)的最小值為（

A

）A.5－5B.C.3－3D.5－第9題A模型5：利用四點(diǎn)共圓求最值典例10（2023·滁州全椒模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，連接CD，使得∠ADC＝45°，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，則EF長(zhǎng)的最小值為（

C

）典例10圖CA.（＋）B.（＋）C.（3＋）D.（3＋）[思路點(diǎn)撥]連接DP，取DP的中點(diǎn)M，連接ME，MF，得P，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的圓上，∠EMF＝2∠ADC＝90°，當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)取得最小值，MF的長(zhǎng)也取得最小值，同時(shí)EF的長(zhǎng)也取得最小值.由此計(jì)算即可求解.跟蹤訓(xùn)練?

?10.如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，求AD長(zhǎng)的最大值.

第10題答案強(qiáng)化練習(xí)練習(xí)1線段最值問(wèn)題1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC長(zhǎng)的最小值是（

C

）A.4B.4.5C.4.8D.5第1題C12345678910111213142.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，P是直線MN上的任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值是（

B

）A.2B.3C.3.5D.4.5第2題B12345678910111213143.如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，P，Q分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值是（

B

）A.4B.C.5D.第3題B12345678910111213144.如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則FE＋EB的最小值是（

B

）A.B.C.D.第4題B12345678910111213145.如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC＋QD的最小值為（

D

）A.22B.24C.25D.26第5題D12345678910111213146.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN的度數(shù)是（

D

）A.50°B.70°C.90°D.100°第6題D12345678910111213147.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊AB上且BE＝1，P，Q分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合）.當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是（

B

）A.B.C.D.第7題B12345678910111213148.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為

15

?.第8題151234567891011121314

第9題

1234567891011121314

第10題

123456789101112131411.如圖，河的兩岸有A，B兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋MN（河的兩岸互相平行，MN垂直于河岸）.現(xiàn)測(cè)得A，B兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5m，4m，河寬MN為3m，且A，B兩點(diǎn)之間的水平距離為12m，則AM＋MN＋NB的最小值是

18

?m.第11題181234567891011121314

第12題4123456789101112131413.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于點(diǎn)C，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q.若∠ABC＝45°，CD＝3，BC＝7，則DP＋PQ的最小值為

5

?.第13題

123456789101112131414.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，D是邊AC的中點(diǎn)，E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段DF，連接AF，EF.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段AF長(zhǎng)的最小值.1234567891011121314

第14題答案第14題答案1234567891011121314練習(xí)2圓中的最值問(wèn)題（含“隱”圓）1.在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

D

）A.B.1C.－3D.－2D123456789101112132.如圖，☉O的圓心O與正方形的中心重合.若☉O的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)的距離的最小值為（

D

）A.B.2C.4＋2D.4－2第2題D123456789101112133.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC.若∠PBC＝∠PAB，則PC長(zhǎng)的最小值是（

C

）A.6B.－3C.2－4D.4－4第3題C123456789101112134.如圖，☉O的半徑為4，將劣弧沿弦AB翻折，恰好經(jīng)過(guò)圓心O，C為優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是（

A

）A.12B.12C.4D.8＋8第4題A123456789101112135.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在BP上，且滿足∠BCQ＝∠BPC，則線段CQ長(zhǎng)的最小值為（

C

）A.B.1C.－1D.2－1第5題C12345678910111213

A.B.C.D.第6題