8.1.1平面直角坐標(biāo)系

通過(guò)平面內(nèi)兩條具有公共原點(diǎn)并且互相垂直的數(shù)軸就可建立平面直角坐標(biāo)系.公共原點(diǎn)叫做坐標(biāo)系的原點(diǎn)（簡(jiǎn)稱原點(diǎn)），一條水平方向的數(shù)軸叫做x軸，另一條豎直方向的數(shù)軸叫做y軸，這樣建立的直角坐標(biāo)系的平面叫做直角坐標(biāo)平面，簡(jiǎn)稱坐標(biāo)平面.坐標(biāo)平面內(nèi)所有點(diǎn)與所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）也有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.8.1直線與方程

設(shè)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作x軸的垂線和y軸的垂線，垂足分別為A、B點(diǎn)，設(shè)x軸上的A點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x，y軸上的B點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)y，由x和y就組成一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）.這樣，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的P點(diǎn)，就有唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與之對(duì)應(yīng)，并且有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫做P的坐標(biāo).ABPxy

反過(guò)來(lái)，設(shè)（x′，y′）是任意給定的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，實(shí)數(shù)x′對(duì)應(yīng)x軸上的點(diǎn)A′，實(shí)數(shù)y′對(duì)應(yīng)y軸上的點(diǎn)B′，經(jīng)過(guò)A′點(diǎn)作y軸的平行線，經(jīng)過(guò)B′點(diǎn)作x軸的平行線，兩條平行線交于P′點(diǎn).這樣，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x′，y′），就有坐標(biāo)平面內(nèi)唯一的P′與之對(duì)應(yīng).A′B′P′xy

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y

）時(shí)，我們可以直接寫成P（x，y

）.

在以后學(xué)習(xí)中，我們會(huì)經(jīng)常使用兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式：（1）兩點(diǎn)間距離公式.

已知點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），則PQ兩點(diǎn)間的距離為

（2）中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

已知點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），則線段PQ的終點(diǎn)P0（x0，y0）的坐標(biāo)公式為8.1.2一次函數(shù)圖象與直線方程

一般地，一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）移項(xiàng)后也可化為關(guān)于x、y的二元一次方程kx－y＋b＝0的形式.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程kx-y+b=0與直線l之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）以滿足kx－y＋b＝0的每一組解x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上；（2）直線l上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程kx－y＋b＝0.

因此，在平面直角坐標(biāo)系中，把方程kx－y＋b＝0叫做直線l的方程，直線l叫做這個(gè)方程的圖象.

由上述對(duì)應(yīng)關(guān)系可知：已知直線l的方程，求直線l上的點(diǎn)，既可以令x等于某一實(shí)數(shù)代入方程，求出對(duì)應(yīng)的y值，從而得到直線l上一點(diǎn)的坐標(biāo)；也可以令y等于某一實(shí)數(shù)代入方程，求出對(duì)應(yīng)的x值，得到直線l上一點(diǎn)的坐標(biāo).

8.1.3直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，如果x軸的正半軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)和直線l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為α，那么α叫做直線l的傾斜角.xyOxyOxyOααα

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

因此，直線l的傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°（或0≤α<π）.

2.直線的斜率當(dāng)直線l的傾斜角α≠90°時(shí)，α的正切值叫做直線l的斜率，直線的斜率通常用k表示，即k＝tanα（α≠90°）.

當(dāng)α=90°時(shí)，tanα不存在，所以我們說(shuō)傾斜角為90°的直線的斜率不存在，此時(shí)直線與x軸垂直.

對(duì)于直線傾斜角α的取值范圍和直線斜率k的取值，有如下關(guān)系：（1）當(dāng)α＝0°時(shí)k＝0；（2）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)k＞0；（3）當(dāng)α=90°時(shí)k不存在；（4）當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)k＜0.

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）兩點(diǎn)直線的斜率公式為

若x1＝x2，則直線垂直于x軸，此時(shí)斜率不存在，傾斜角為90°.

8.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

y－y0＝k（x－x0）是由直線l上的一個(gè)定點(diǎn)P0（x0，y0）和直線的斜率k確定的，所以通常把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程.8.2直線的方程

8.2.2直線的斜截式方程

y＝kx+b

是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的，所以通常把它叫做直線的斜截式方程.8.2.3直線的一般式方程

直線的點(diǎn)斜式方程、斜截式方程，經(jīng)過(guò)變形、整理，都可以化為形如Ax＋By＋C＝0（其中A、B不同時(shí)為零）的形式，即關(guān)于x、y的一次方程的形式；反過(guò)來(lái)，我們可以說(shuō)，關(guān)于x、y的一次方程的圖象都是直線.

因此，我們把方程Ax＋By＋C＝0（其中A、B不同時(shí)為零）叫做直線的一般式方程.8.3.1兩條相交直線的交點(diǎn)

設(shè)兩條直線方程分別是

l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

若l1與l2相交，只需聯(lián)立方程組

A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0

以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求的l1與l2的交點(diǎn).8.3平面內(nèi)兩條不重合直線的位置關(guān)系8.3.2兩條不重合直線互相平行的條件

兩條不重合并且斜率存在的直線互相平行的充要條件是斜率相等，即l1∥l2

k1＝k2

（k1、k2存在）.

顯然當(dāng)兩條直線斜率都不存在時(shí)，兩條直線也是互相平行的.

故兩條不重合直線互相平行的充要條件是斜率相等或斜率都不存在，即l1∥l2

k1＝k2或斜率都不存在.

8.3.3兩條相交直線互相垂直的條件

兩條直線互相垂直的充要條件是它們的斜率乘積等于-1或一條直線的斜率為零而另一條直線的斜率不存在.

即l1⊥l2

k1k2=-1或一條直線的斜率為零而另一條直線的斜率不存在.

8.3.4點(diǎn)到直線的距離

1.點(diǎn)到直線的距離

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，可得點(diǎn)P0（x0，y0）到直線l：Ax＋By＋C=0(A、B不同時(shí)為零)的距離公式2.兩條平行直線間的距離

一般地，已知兩條平行直線l1:Ax＋By＋C1=0,l2:Ax＋By＋C2=0,則這兩條平行直線間的距離公式為8.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.

這就是以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程，這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

當(dāng)a=b=0時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2.

這是以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.8.4圓

8.4.2圓的一般方程

把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開，得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,得x2+y2+Dx+Ey+F=0.

我們把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫做圓的一般方程.8.4.3直線與圓的位置關(guān)系

相交相切相離直線與圓的位置關(guān)系交點(diǎn)的個(gè)數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)方程組解的情況有兩組不同的實(shí)數(shù)解有唯一一組實(shí)數(shù)解沒(méi)有實(shí)數(shù)解ABC

另外，直線與圓的位置關(guān)系也可以通過(guò)比較圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小來(lái)判定：當(dāng)d<r時(shí),直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí),直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí),直線與圓相離.

8.5.1直線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)的計(jì)算機(jī)，每月生產(chǎn)的固定成本為3000000元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為2000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為4000元，問(wèn)該公司每月至少生產(chǎn)多少臺(tái)計(jì)算機(jī)才能不虧損？8.5直線與圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用

解：該公司生產(chǎn)計(jì)算機(jī)的總成本y與產(chǎn)量x之間的關(guān)系叫成本函數(shù)，成本函數(shù)為y=3000000+2000x；該公司的總產(chǎn)值與產(chǎn)量之間的關(guān)系叫產(chǎn)值函數(shù),產(chǎn)值函數(shù)為y=4000x.

成本函數(shù)和產(chǎn)值函數(shù)的圖象都是直線，這兩條直線的交點(diǎn)就是盈虧轉(zhuǎn)折點(diǎn).

聯(lián)立方程組y=3000000+2000xy=4000x,解得x=1500y=6000000.1500Ox（臺(tái)）y（百萬(wàn)元）246成本函數(shù)直線產(chǎn)值函數(shù)直線盈虧轉(zhuǎn)折點(diǎn)

8.5.2圓方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一個(gè)圓拱形隧道，圓拱跨度P1P2=12米，拱高OA=4米，一輛車寬2.5米、高3.6米，如只允許車輛在中心線一側(cè)行駛，該車輛能否通過(guò)該隧道？xyOAPMP1P2

解：建立平面直角坐標(biāo)系,有P1(-6，0)、P2(6，0)、A(0，4),且圓拱形隧道截面圓的圓心在y軸上.

設(shè)圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=r2,有解得b=-2.5,r=6.5.所以圓的方程為x2+(y+2.5)2=6.52.02+(4-b)2=r262+(0-b)2=r2,

設(shè)|OP|為車寬，有P的坐標(biāo)為(2.5，0),作PM⊥x軸，交圓于M點(diǎn)，又設(shè)M的坐標(biāo)為(2.5,y0),因?yàn)镸在圓上,所以2.52+(y0+2.5)2=6.52,解得y0=3.5或y0=-8.5(舍去),即