PAGEPAGE4牙膏包裝模型摘要：市場上的商品琳瑯滿目，有大大小小的包裝，對消費者而言，大包裝的商品往往比小包裝的商品要實惠，而對生產(chǎn)商而言，利用消費者這一心理，往往也能賺更多的利潤，以牙膏包裝模型為例，通過比例模型，探究牙膏重量和牙膏價格的關(guān)系，進(jìn)而幫助消費者和廠家作出更合理的決策。一．提出問題在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎？比如潔銀牙膏50裝的每支1.50元，120裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2：1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象。分析商品價格C與商品重量W的關(guān)系。價格由生產(chǎn)成本、包裝和其它成本等決定，這些成本中有的與重量W成正比，有的與表面積成正比，還有與W無關(guān)的因素。給出單位重量c價格與W的關(guān)系，畫出它們的簡圖，說明W越大c越小，但是隨著W的增加c減少的程度變小。解釋實際意義是什么？把實驗過程寫成一篇建模論文，盡量要圖文并茂。最后要結(jié)合實驗結(jié)論，對商家或顧客提出合理的建議和意見。二．問題分析對牙膏包裝和價格的關(guān)系、牙膏價格和牙膏重量的關(guān)系這兩個問題，我們從兩個方面進(jìn)行研究，一是牙膏價格和牙膏重量的關(guān)系，二是牙膏單位重量的價格與牙膏重量的關(guān)系，針對問題一，我們分別探究價格與生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本之間的關(guān)系，在這些成本中，生產(chǎn)成本與牙膏重量成正比；包裝成本主要包括內(nèi)、外包裝成本，它們分別與內(nèi)外包裝成本的表面積成正比，而牙膏重量與牙膏包裝的體積成正比，進(jìn)而可以總結(jié)出牙膏包裝的成本與重量的關(guān)系；而生產(chǎn)牙膏還需要涉及運輸費、電費、機(jī)器生產(chǎn)費等一系列費用，這些費稱之為其他成本，它與重量無關(guān)，可看做常量處理。綜合三方面的分析，建立牙膏價格與牙膏重量的數(shù)學(xué)模型。而對于問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，作比例處理很容易得出牙膏單位重量價格c與重量w的函數(shù)模型，利用幾何畫板作出其函數(shù)圖象，進(jìn)行圖象分析，得出更多的啟示，從而對商家與消費者提出合理有效的建議和意見。三．模型假設(shè)（一）、特殊符號說明：C——牙膏成本價格（單位：元）w——牙膏的重量（單位：克）——牙膏的生產(chǎn)成本（單位：元）——單位重量的牙膏生產(chǎn)成本（單位：元∕克）——牙膏的內(nèi)包裝成本（單位：元）——牙膏內(nèi)包裝的單位表面積的包裝成本（單位：元∕克）——牙膏外包裝包裝成本（單位：元）為一個常量Q。5.牙膏總成本價格C與牙膏生產(chǎn)成本、包裝生產(chǎn)成本、外包裝成本與其他成本Q關(guān)系為:C=+++Q⑾綜合1、2、3、4、5得牙膏價格C與牙膏重量w的關(guān)系：C=w+wk++Q⑿據(jù)市場調(diào)查，單位重量的牙膏成本價格=0.02（元/克），牙膏密度=1.15（克/立方厘米），牙膏內(nèi)包裝的單位表面積的包裝成本=0.006(元/克),牙膏外包裝的單位表面積的包裝成本=0.0002(元∕克),牙膏的其他成本Q=0.53（元）,牙膏內(nèi)包裝的高于底面半徑r的比值=10.5858,代入數(shù)據(jù)得：C=0.02w+0.0029w+0.53牙膏單位重量的價格c與牙膏重量w的關(guān)系：1.c-w的模型建立： 很顯然，由于，則有：c=+wk++⒀代入數(shù)據(jù)得：c=0.02+0.0029w+0.53w利用幾何畫板作出的函數(shù)圖象如下：2.C-w的圖象分析:觀察圖象，有如下特點:①圖象整體呈現(xiàn)下降的趨勢，隨著w的增加c越來越小，呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)。②觀察圖像下降的變化趨勢，很顯然，由很陡到緩慢，逐漸趨于平緩，即隨著w的增加，c減小的程度變小，我們可以進(jìn)一步對c求導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)為：⒁很顯然，其導(dǎo)函數(shù)在實際意思范圍內(nèi)為負(fù)值，即更加說明隨著w的增加，c在減小。另一方面，其導(dǎo)函數(shù)是一個減函數(shù)，從數(shù)學(xué)意義上講，原函數(shù)的斜率逐漸變小，說明隨著w的增加,c減小的程度逐漸變小。3.圖象中顯示出的實際意義:由圖象分析：隨著w的增加c減小的程度變小，即意味著若將重量等分為若干連續(xù)的重量區(qū)間，重量數(shù)值大的重量區(qū)間所對應(yīng)的牙膏單位重量的成本c的變化量要小，這樣就導(dǎo)致在實際購買的過程中，消費者購買大包裝的牙膏得到的優(yōu)惠多，并且對于產(chǎn)家而言，也達(dá)到了“薄利多銷”的目的。實際上，這樣的圖象趨勢就是反應(yīng)了市場上消費者的優(yōu)惠心里和產(chǎn)家“薄利多銷”的心里。五．模型檢驗為了提高所建模型的可行性，我們用市場價格每支為1.5元，50g裝的潔銀牙膏進(jìn)行模型檢驗，而根據(jù)我們建立的C-w函數(shù)模型C=w+wk++Q得：C=1.56元六．模型評價缺點：1.建立的C-w模型僅是牙膏的成本價格C與重量w的關(guān)系，必須要考慮到出售前牙膏對于自身成本價格的利潤，所以不能直接對牙膏的市場售價進(jìn)行估計。2.C-w模型中將牙膏外包裝抽象為底面為正方形的長方體包裝盒，是為了計算方便，實際上，市場上牙膏包裝形形色色，為了美觀好看，底面也有長方形的，所以在包裝成本計算上就會出現(xiàn)誤差。3.C-w模型中將牙膏的內(nèi)包裝抽象成圓柱體，主要是迎合市場上大多數(shù)牙膏的內(nèi)包裝造型，實際上，有的內(nèi)包裝可以抽象成圓臺，甚至是圓錐。優(yōu)點：該模型的建立通過模型檢測，可以大體上對消費者購買牙膏，以及具有類似現(xiàn)象的其他商品起到指導(dǎo)作用。對于產(chǎn)家而言，可以在牙膏包裝的造型上進(jìn)行合理改造，降低包裝成本，從而達(dá)到牙膏總成本的降低，