小學奧數(shù)知識點及公式總匯

小學奧數(shù)公式寶典25

小學奧數(shù)必須掌握的30個知識點38

速算公式60

小學奧數(shù)知識點及公式總匯

1.和差倍問題2

2.年齡問題的三個基本特征：

3.歸一問題的基本特點：

4.植樹問題

5.雞兔同籠問題

6.盈虧問題3

7.牛吃草問題

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

9.平均數(shù)

10.抽屜原理4

11.定義新運算

12.數(shù)列求和

13.二進制及其應用5

14.加法乘法原理和幾何計數(shù)

15.質數(shù)與合數(shù)6

16.約數(shù)與倍數(shù)

17.數(shù)的整除7

18.余數(shù)及其應用

19.余數(shù)、同余與周期

20.分數(shù)與百分數(shù)的應用8

21.分數(shù)大小的比較9

22.分數(shù)拆分

23.完全平方數(shù)

24.比和比例10

25.綜合行程

26.工程問題

27.邏輯推理11

28.幾何面積

29.立體圖形

30.時鐘問題一快慢表問題12

31.時鐘問題一鐘面追及

32.濃度與配比

33.經濟問題13

33.經濟問題

34.簡單方程

35.不定方程

36.循環(huán)小數(shù)14

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系

①（和一差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差:較大數(shù)

和+（倍數(shù)）小數(shù)差（倍數(shù)小數(shù)

和一較小數(shù)二較大數(shù)+1=+-D=

公式小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

②（和+差）+2-較大數(shù)

和一小數(shù)二大數(shù)小數(shù)+差二大數(shù)

較大數(shù)一差二較小數(shù)

和一段大數(shù)二較小數(shù)

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹問題

在宜線或者不封

在直線或者不封閉的曲在直線或者不封閉的曲封閉曲線

基本類型閉的曲線上植樹，

線上植樹，兩端都植樹線上植樹，兩端都不植樹上植樹

只有一端植樹

棵數(shù)=段數(shù)+1棵數(shù)二段數(shù)一1棵數(shù)二段數(shù)

基本公式

棵距X段數(shù)=總長棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)二總長

關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;

基本思路：①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）土（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種

結果，由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或對象的總量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據(jù)這個關系求出

參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足：基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

②當兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）。兩次每份數(shù)的差

③當兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）?兩次每份數(shù)的差

基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出

造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時間x長時間牛頭數(shù)?較短時間x短時間牛頭數(shù)）-（長時間.短時間）：

總草量;較長時間x長時間牛頭數(shù)?較長時間x生長量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經過的時間叫周期.

關鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量;總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量?平均數(shù)

②平均數(shù)二基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者

中間數(shù)為基準數(shù)：以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差：再求出所有差的和：再求出這些

差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關系見基本公式②

10.抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0@4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物

體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

?k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：[XI表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

11.定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本

運算過程、規(guī)律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不?定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，?般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：al,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就

可求出第四個：求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=al+（n—1）d；通項=首項+（項數(shù)一l）x公差：

數(shù)列和公式：sn,=（al+an）xn+2；數(shù)列和=（首項+末項）x項數(shù)+2；

頂數(shù)公式：n=（an+頂數(shù)二（末項-首項）+公差+1;

公差公式：（1=（an—al））+（n—1）；公差二（末項-首項）+（項數(shù)-1）；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.二進制及其應用

十進制：用。?9十個數(shù)字表示，逢10進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示

20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2x102+3x10+4。

=Anx10n-l+An-lxl0n-2+An-2x10n-3+An-3x10n-4+An-4x10n-5+An-6x10n-7+......+A3x102+A2x101+

AlxlOO

注意：N0=l；N1=N（其中N是任意自然數(shù)）

二進制：用0?1兩個數(shù)字表示，逢2進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）=Anx2n-1+An-1x2n-2+An-2x2n-3+An-3x2n-4+An-4x2n-5+An-6x2n-7

+.......+A3X22+A2X21+A1x2U

注意：An不是。就是io

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下

而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一

直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方法中有

m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：ml+m2….…+mn

種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1步用哪一

種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-l步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成

這件任務共有：mlXm2xmn種不同的方法°

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3-…+（點數(shù)—1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一D;

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=卜1+2、2+3*3+...+行數(shù)'列數(shù)

15.質數(shù)與合數(shù)

質數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質因數(shù)：如果某個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質數(shù)叫做這個數(shù)的質因數(shù)。

分解質因數(shù)：把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。通常用短除法分解質因數(shù)。

任何一個合數(shù)分解質因數(shù)的結果是唯一的。

分解質因數(shù)的標準表示形式:N=,其中al.a2.a3……an都是合數(shù)N的質因數(shù)，且al〈a2〈a3V……<ano

求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(rl+l)x(r2+l)x(r3+l)x……x(m+l)

互質數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約

數(shù)。

最大公約數(shù)的性質：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質數(shù)。

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：I、2、3、6：

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數(shù)基本方法：

I、分解質因數(shù)法：先分解質因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉相除法：每?次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍

數(shù)。

12的倍數(shù)有:12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]-36；

最小公倍數(shù)的性質：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被

b整除或b能整除a,記作b|a,

2、常用符號：整除符號“「，不能整除符號因為符號“???”，所以的符號“???”；

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18,余數(shù)及其應用

基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q........i■，且O〈r〈b,那么r叫做a除以b的余數(shù),

q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同,則c|a-b或c|b-a,>

③a與b的和除以c的余數(shù)等ra除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

②己知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b(mod

m),讀作a同余于b模m。

二、同余的性質：

①自身性：a三a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b三c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c三b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(inodm),則axe三bxd(modm)；

⑥乘方性:若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性:若a=b(modni),整數(shù)c,則axe三bxc(modmxc)；

三、關于乘方的預備知識：

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，丫表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，

則M三Y-X或Msll-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：

如果p是質數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則叩-im(modp)。

20.分數(shù)與百分數(shù)的應用

基本概念與性質：

分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分數(shù)的性質：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。

分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題送行解答。最常見的是轉換成比例和轉換

成倍數(shù)關系；把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常

見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成

立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有個量是不變的，不論其他量如何變化，而這

個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其

中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總吊和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分數(shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。

③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用

同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉化比較方法：把所有分數(shù)轉化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結果得數(shù)和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

22.分數(shù)拆分

將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

在括號內填入不同的自然數(shù)，便等式成立

11

12~O

-1---1-1___1+---

12-（）+（）（）

第一題你要拆1/12（也就是1；A）先列出12的約（因）數(shù)：1、2、3、4、6、12

隨便選兩個約數(shù)分為ala2這里我選3、4

公式：l/A=A-i-alx（a1+a2）/1+A-?a2x（al+a2）/I

套入公式：l/12=12《3x（3+4）/1+12；4x（3+4）/I

最后等于：1/12=1/28+1/21

第二題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。

答案是：1/21+1/84+1/42

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X?Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把兒個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

基本公式：路程二速度x時間；路程;時間=速度；路程:速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和x相遇時間;相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（與出其他公式）

流水問題：順水行程二（船速+水速）x順水時間

逆水行程=（船速?水速）x逆點時間

順水速度:船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度+逆水速度）+2

水速二（順水速度?逆水速度）:2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速

度差）中任意兩個量，求第三個量。

26.工程問題

基本公式：①工作總量=工作效率x工作時間

②工作效率=工作總量:工作時間

③工作時間-工作總量+工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數(shù)為工咋總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上

述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設

條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶

數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助

分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象

與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關

系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認

識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據(jù)計

算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況

推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

28.幾何面積

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、

分解、變形、重置等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的

面積規(guī)律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形

的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29.立體圖形

名稱圖形特征表面積體積

8個頂點；6個面；相對的面相等：12條棱；V=abh

長方體S=2(ab+ah+bh)

相對的棱相等；=Sh

8個頂點；6個面；所有面相等；12條棱；

正方體S=6a2V=a3

所有棱相等；

上下兩底是平行且相等的圓；側面展開后是S=S側+2S底

圓柱體V=Sh

長方形；S側二Ch

下底是圓；只有一個頂點；1：母線，頂點到S=SffliJ+S底

圓錐體V=Sh

底圓周上任意一點的距離；SWJ=rl

球體圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。SMr2V=r?

3（）.時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系；

31.時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；

而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走I/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉360/60度，即6°,時針每分鐘轉360/12*60

度，即1/2度v

32.濃度與配比

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他節(jié)濃度的

變化成反比。

溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重審=溶質重審+溶劑重量；

溶質重量二溶液重量X濃度；

濃度=（溶質/溶液）x100%

溶劑二溶液x（1-濃度）

理論部分小練習：試推出溶質、溶液、溶劑三者的其它公式。

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他切濃度的

變化成反比。

33.經濟問題

利潤的百分數(shù)二（賣價-成本）：成本x100%；

賣價=成本x（1+利潤的百分數(shù)）；

成本=賣價：（1+利潤的百分數(shù)）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本x（1+期望利潤的百分數(shù)）：

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息、=本金x利率X期數(shù)；

含稅價格=不含稅價格x（1+增值稅稅率）；

34.簡單方程

代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。

列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來。

列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。

等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，等式小變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)（除0）,

等式不變。

移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的?邊移到另一邊；

移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。

加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是號，則添、去括號，括號里面的運算

符號都不變；如果括號前面是“一”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改變；括號里面的數(shù)

前沒有“+”或“一”的，都按有“+”處理。

移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規(guī)則，力口、去括號規(guī)則。

乘法分配率：a（b+c）=ab+ac

解方程步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤求解；

方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。

解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。

消元的方法：①加減消元；②代入消元。

35.不定方程

一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做

二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次

方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知識點：列方程、數(shù)的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定

答案；

技巧總結：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時考慮用范

圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；

36.循環(huán)小數(shù)

一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分數(shù)的規(guī)則

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9,9的

個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部

分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0,

0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

二、分數(shù)轉化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

①一個最簡分數(shù)，如果分母中既含有質因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)化

成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個最簡分數(shù)，如果分母中只含有2和5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)

小數(shù)。

和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍己知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系

①（和一差）?2二較小數(shù)

較小數(shù)十差二較大數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)差+（倍數(shù)T”小數(shù)

和一較小數(shù)二較大數(shù)

公式小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

和一小數(shù)二大數(shù)小數(shù)+差二大數(shù)

較大數(shù)一差二較小數(shù)

和一較大數(shù)二較小數(shù)

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等

詞語來表示。

關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

植樹問題

在直線或者不封

在直線或者不封在直線或者不封閉

閉的曲線上植封閉曲線

基本類型閉的曲線上植樹，的曲線上植樹，只有

樹，兩端都不植上植樹

兩端都植樹一端植樹

樹

棵數(shù)二段數(shù)一1

棵數(shù)二段數(shù)+1棵數(shù)二段數(shù)

基本公式棵距X段數(shù)二總

棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)二總長

長

關鍵問題確定所J屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系

雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題乂稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;

基本思路：

①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{整，消去出現(xiàn)的差V

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）土（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，

又產生一種結果，由于

5組.標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或對象

的總量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據(jù)這

個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基木公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）：兩次每份數(shù)的差

②當兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

牛吃草問題

基本思路；假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草

量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時間義長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）+（長時間-短時間）；

總草量二較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象；事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經過的時間叫周期。

關鍵問題：確定循環(huán)周期C

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，見年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量二平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù):總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)二基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和4■總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的

數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所有差

的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均

數(shù)，具體關系見基本公式②

抽屜原理

抽屜原則一：如果把(n+l)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2

個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種

情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或

多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.3211=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行

運算。

定義新運算

基木概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基木(混合)運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉化為加減乘除的運算，然

后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)

列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用山表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用即表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：ai,冊,€1,4$%,通項公式中涉及四個量，如昊己知其

中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第

四個。

基本公式：通項公式：an=ai+(n—1)d；

通項=首項+(項數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：Sn,=(a1+an)Xn+2；

數(shù)列和=(首項+末項)X項數(shù)：2；

項數(shù)公式：n=(an+ai)4-d+l；

項數(shù);(末項.首項)+公差+1；

—

公差公式：d=(anai))-T-(n—1)；

公差二(末項一首項)土(項數(shù)-1)；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有g種不同方法，在第二

類方法中有1W種不同方法……，在第n類方法中有叫種不同方法，那么完

成這件任務共有：rm+m2+mn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有n種方法，不管第1

步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，

第n步總有叫種方法，那么完成這件任務共有：nXm2.……Xm。種不同的

方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點數(shù)—1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)二長的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

質數(shù)與合數(shù)

質數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質因數(shù)：如果某個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質數(shù)叫做這個數(shù)的質因數(shù)。

分解質因數(shù)；把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質因數(shù)。通常用短除法分

解質因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質因數(shù)的結果是唯一的。

互質數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。

約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：兒個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這兒個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)

的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質數(shù)。

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)%所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)

乘以m0

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6；

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質因數(shù)法：先分解質因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最

大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)

的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質因數(shù)的方法

數(shù)的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a0

2、常用符號：整除符號“|"，不能整除符號"因為符號“???”，所以的符號“???”;

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7,能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

余數(shù)及其應用

基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a-q...r,且（Kr〈b,那么r叫做a

除以b