第六章圓周運(yùn)動(dòng)專題三豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型及臨界問(wèn)題第2頁(yè)拓展一專題

講座1.

模型概述無(wú)支撐物（如球與繩連接，沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車(chē)”等）的豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，

稱為“輕繩模型”.2.

模型特點(diǎn)比較項(xiàng)目特點(diǎn)情境圖示

彈力特征（最高點(diǎn)）彈力可能向下，也可能等于零比較項(xiàng)目特點(diǎn)受力示意圖

力學(xué)方程臨界特征物體能否過(guò)最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)研習(xí)

經(jīng)典[典例1]

（2024·浙江溫州期末）激光高速特技車(chē)（以下簡(jiǎn)稱小車(chē)）依靠強(qiáng)磁電機(jī)提

供動(dòng)力，能以很大的速度在空心球體中運(yùn)動(dòng).如圖甲所示，某同學(xué)將魚(yú)缸固定在示數(shù)

已調(diào)零的臺(tái)秤上，打開(kāi)小車(chē)開(kāi)關(guān)，使小車(chē)在豎直面內(nèi)做半徑為r＝0.064

m的勻速圓周

運(yùn)動(dòng).已知魚(yú)缸的質(zhì)量M＝0.90

kg，小車(chē)的質(zhì)量m＝0.01

kg，重力加速度g＝10

m/s2，

不考慮空氣阻力等影響，運(yùn)動(dòng)模型如圖乙所示.（1）求小車(chē)恰能過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小v1和此時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)F1；[答案]

0.8

m/s

9.0

N

（1）求小車(chē)恰能過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小v1和此時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)F1；[答案]

0.8

m/s

9.0

N

解得v1＝0.8

m/s此時(shí)小車(chē)與魚(yú)缸間彈力為0，則臺(tái)秤的示數(shù)F1＝Mg＝9.0

N.

（2）若小車(chē)在最高點(diǎn)A時(shí)，臺(tái)秤的示數(shù)為F2＝5.5

N，求此時(shí)小車(chē)速度大小v2.[答案]

4.8

m/s

[訓(xùn)練1]

某公園里的過(guò)山車(chē)駛過(guò)軌道的最高點(diǎn)時(shí)，乘客在座椅里面頭朝下，身體顛

倒，若軌道半徑為R，要使體重為mg的乘客經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座椅的壓力等于自身

的重力，則過(guò)山車(chē)在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為（

C

）A.0

C第9頁(yè)拓展二專題

講座1.

模型概述有支撐物（如球與桿連接，小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等）的豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為“輕

桿模型”.2.

模型特點(diǎn)比較項(xiàng)目特點(diǎn)情境圖示

彈力特征（最高點(diǎn)）彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖

比較項(xiàng)目特點(diǎn)力學(xué)方程臨界特征v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg（兩力方向相反）FN表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界點(diǎn)研習(xí)

經(jīng)典[典例2]

如圖所示，小球A的質(zhì)量為m＝0.5

kg.固定在長(zhǎng)為L(zhǎng)＝0.2

m的輕細(xì)直桿一端，并隨桿一起繞桿的另一端O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).如果小球經(jīng)過(guò)最高位置時(shí)，桿對(duì)球的作用力為拉力，拉力大小等于球的重力（取g＝10

m/s2）.求：（1）球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小；[答案]

2

m/s

（2）當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度為4

m/s，桿對(duì)球的作用力的大??；[答案]

45

N

（3）如果把其中輕細(xì)桿變成等長(zhǎng)的輕繩，小球剛好能通過(guò)最高點(diǎn)的速度為多大.

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析思路（1）定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過(guò)最高點(diǎn)的臨界條

件不同.

（3）研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)情況.[訓(xùn)練2]

（2024·四川成都第七中學(xué)月考）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一

端固定一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng).小球運(yùn)

動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其F－v2圖

像如圖乙所示.不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

D

）DC.

v2＝c時(shí)，桿對(duì)小球的彈力方向向下D.

v2＝2b時(shí)，桿對(duì)小球彈力大小為2mg

第18頁(yè)拓展三專題

講座1.

涉及常見(jiàn)三種力（1）與繩的彈力有關(guān)的臨界條件：繩彈力恰好為0或不被拉斷的最大值.（2）與支持面彈力有關(guān)的臨界條件：支持力恰好為0.（3）因靜摩擦力而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題：靜摩擦力達(dá)到最大值.2.

常用解題方法（1）極限法把物理問(wèn)題（或過(guò)程）推向極端，從而使臨界現(xiàn)象顯露，達(dá)到盡快求解的目的.（2）假設(shè)法有些物理過(guò)程轉(zhuǎn)化沒(méi)有明顯出現(xiàn)臨界問(wèn)題的線索，但在變化過(guò)程中可能出現(xiàn)臨界問(wèn)

題.因此分析時(shí)先假設(shè)出臨界狀態(tài)，然后再分析判定.（3）數(shù)學(xué)方法將物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式，根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式，求得臨界條件，具體步驟如下：①對(duì)物體進(jìn)行受力分析.②找到其中可以變化的力以及它的臨界值.③求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值.④用向心力公式求出運(yùn)動(dòng)學(xué)量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值.研習(xí)

經(jīng)典[典例3]

（多選）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平

圓盤(pán)上，a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤(pán)的最大靜摩擦力為

木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)

動(dòng)，用ω表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是（

AC

）ACA.b一定比a先開(kāi)始滑動(dòng)B.a、b所受的摩擦力始終相等

[訓(xùn)練3]如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線

與軸線之間的夾角θ＝45°，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩（質(zhì)量不計(jì)），一端固定在圓錐體的頂

點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（物體可看成質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐

體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng).求：

答案：

2mg

第26頁(yè)課堂強(qiáng)研習(xí)合作學(xué)習(xí)精研重難課后提素養(yǎng)1.

（2021·浙江6月選考）質(zhì)量為m的小明坐在秋千上擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的照片如圖所

示，對(duì)該時(shí)刻，下列說(shuō)法正確的是（

A

）A.

秋千對(duì)小明的作用力小于mgB.

秋千對(duì)小明的作用力大于mgC.

小明的速度為零，所受合力為零D.

小明的加速度為零，所受合力為零A12345解析：秋千擺到最高點(diǎn)，受力分析如圖所示切向：mat＝mgsin

θ，徑向：速度為0，向心力為0，則有T＝mgcos

θ＜mg，在

最高點(diǎn)速度為0，向心力為0，但切向加速度不為0，所受合力不為零，故B、C、

D錯(cuò)，A正確.123452.

（2024·江蘇南京協(xié)同體七校期中聯(lián)考）長(zhǎng)度為0.5

m的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有一質(zhì)量

為2

kg的小球，以O(shè)點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球通過(guò)最高

點(diǎn)時(shí)的速度為1

m/s，取重力加速度g＝10

m/s2，則此時(shí)輕桿OA將（

）A.

受到16

N的壓力B.

受到24

N的壓力C.

受到24

N的拉力D.

受到16

N的拉力A

123453.

（多選）（2024·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）球A和球B可在光滑桿上無(wú)摩擦滑

動(dòng)，兩球用一根細(xì)繩連接，如圖所示，球A的質(zhì)量是球B的2倍，當(dāng)桿以角速度ω勻速

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩球剛好保持與桿無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則（

BC

）A.

球A受到的向心力大于球B受到的向心力B.

球A轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑是球B轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的一半C.

當(dāng)球A質(zhì)量增大時(shí)，球A將向外運(yùn)動(dòng)D.

當(dāng)ω增大時(shí)，球B向外運(yùn)動(dòng)BC12345解析：由于桿光滑，兩球之間的細(xì)繩的拉力提供向心力，繩上各點(diǎn)的拉力大小相等，

所以球A受到的向心力等于球B受到的向心力，A錯(cuò)誤；根據(jù)F＝mω2r，A、B兩球的角

速度相等，mA＝2mB，得rB＝2rA，B正確；當(dāng)A球質(zhì)量增大時(shí)，需要的向心力變大，則

球A將做離心運(yùn)動(dòng)，向外運(yùn)動(dòng)，C正確；當(dāng)ω增大時(shí)，兩球的向心力增大相同數(shù)值，兩

球相對(duì)于桿均不動(dòng)，D錯(cuò)誤.123454.

（多選）（2024·山東臨沂期中）如圖所示，乘坐游樂(lè)園的過(guò)山車(chē)時(shí)，質(zhì)量為m的

人隨車(chē)在豎直平面內(nèi)沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是（

BC

）A.

人在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)座椅的壓力小于mgB.

人在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)的向心加速度大小不相等C.

人在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座椅仍可能產(chǎn)生壓力，且壓力不一定小于mgD.

車(chē)在最高點(diǎn)時(shí)人處于倒坐狀態(tài)，若沒(méi)有保險(xiǎn)帶，人一定會(huì)掉下去BC12345

123455.

如圖所示，內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線豎直，頂角為2θ＝60°，底面半徑為R，在底

面圓心O處系一個(gè)輕質(zhì)細(xì)線，長(zhǎng)也為R，細(xì)線的另一端連一個(gè)小球，小球可視為質(zhì)

點(diǎn)，