行程問題

根本行程問題平均速度火車過橋流水行船接送問題電梯行程

數(shù)論問題

奇偶分析數(shù)的整除約數(shù)倍數(shù)進位制余數(shù)問題完全平方數(shù)

1何問題

小學(xué)幾何五大模型勾股定理與弦圖巧求周長立體圖形的體積

計數(shù)問題

加法原理乘法原理容斥原理排列組合枚舉法歸納法

應(yīng)用題

雞兔同籠問題年齡問題盈虧問題牛吃草問題工程問題濃度問題

H■算問題

分數(shù)列項與整數(shù)列項繁分數(shù)的計算數(shù)學(xué)計算公式換元法找規(guī)律

其他

數(shù)陣圖與數(shù)字謎操作與策略抽屜原理邏輯推理不定方程染色問題

小學(xué)六年級奧數(shù)根底知識——數(shù)論一

一質(zhì)數(shù)和合數(shù)

(1)一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素數(shù))。

一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

(2)自然數(shù)除。和1外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。

任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式3

要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

(3)最小的質(zhì)數(shù)是2,2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；

最小的合數(shù)是4。

(4)質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù)。

互質(zhì)

是指兩個數(shù)，是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)(3和5),可能是

一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)(3和4),可能是兩個合數(shù)(4和9)或1與另一個自然數(shù)。

(5)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

(6)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、

29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、8

9、97.

注意：兩個質(zhì)數(shù)中差為1的只有3-2；除2外，任何兩個質(zhì)數(shù)的差都是偶數(shù)。

二整除性

(1)概念

一般地，如a、b、c為整數(shù)，b#0,且「b=c,即整數(shù)a除以整除b(b不等于⑴，除得的商c正好

是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0),我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a).記作bla.

否則，稱為a不能被b整除，1或b不能整除aJ。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，

b就叫做a的約數(shù)。

（2）性質(zhì)

性質(zhì)1：（整除的加減性）婦果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

即：如果cIa,cIb,那么cI（a±b）o

例如：如果2I10,2I6,那么2I（10+6）,并且2I（10—6）,也就是說，被除數(shù)加上或減去一

些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。

性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.

即：如果beIa,那么bIa?cIa。

性質(zhì)3：（整除的互質(zhì)可積性）如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：

如果bla,cla,且（b,c）=1,那么bela。

例如：如果2I28,7I28,且（2,7）=1,那么（2x7）I28。

注意：（b,c）=1這個條件，如果沒這個條件，結(jié)法就不一定能成立。

譬如:4I28,14I28,4x14=56不能整除24。

性質(zhì)4：（整除的傳遞性）如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即：如果cIb,bIa?那么cIa。

例如：如果3I9,9I27,那么3I27o

（3）數(shù)的整除特征

①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).

②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。做題時常常把這里當作突破口。

③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。

判斷能被3（或9）整除的數(shù)還可以用“棄3（或9）法”：

例如：8351746能被9整除么？

解：8+1=9,3+6=9,5+4=9,在數(shù)字中只剩7,7不是9的倍數(shù)，所以835

1746不能被9整除。

④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被81或125）整除。

⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。?/p>

是11的倍數(shù)。

⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三，立數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差

（以大減?。┠鼙?（11或13）整除，依此反復(fù)檢驗。

例如：判斷3546725能否被13整除?

解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，

因為821—2=819,又13I819,所以13I2821,進而13I3546725。

小學(xué)奧數(shù)數(shù)論綜合練習題

涉及知識點多、解題過程比擬復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及根本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題.

1.如果把任意n個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少？

【分析與解】我們知道如果有5個連

續(xù)的自然數(shù)，因為其內(nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，那么它們乘積的個位數(shù)字只能是0。

所以n小于5.

一：當n為4時，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)（個位數(shù)字為0或5）,顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那

么它們乘積的個位數(shù)字為0;

如果不含有5的倍數(shù)，那么這4個連續(xù)的個位數(shù)字只能是1,2,3,4或6,7,8,9；它

們的積的個位數(shù)字都是4；

所以，當n為4時，任意4個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩科可能.

一：當n為3時，有1X2X3的個位數(shù)字為6,2X3X4的個位數(shù)字為4,3X4X5的個位

數(shù)字為0,……,不滿足.

三：當n為2時，有1X2,2X3,3X4,4X5的個位數(shù)字分別為2,6,4,0,顯然不滿

足.

至于n取1顯然不滿足了.

所以滿足條件的n是4.

2.如果四個兩位質(zhì)數(shù)a,b,c,d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么，

(Da+b的最小可能值是多少？

(2)a+b的最大可能值是多少？

【分析與解】兩位的質(zhì)數(shù)有11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,

67,71,73,79,83,89,97.

可得出，最小為1“19=13討7=30,最大為97+71=89+79=168.

所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大可能值為168.

3.如果某整數(shù)同時具備如下3條性質(zhì)：

①這個數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；

②這個數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；

③這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5.

那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù).求出所有的兩位幸運數(shù).

【分析與解】條件①也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根

據(jù)條件③，除以9余5,在兩位的偶數(shù)中只有14,32,50,68,86這5個數(shù)滿足條件.

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14.

所以兩位幸運數(shù)只有14.

4.在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少？

【分析與解】555555=5X111X1001

=3X5X7X11X13X37

顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為777.

5.從一張長2002亳米，寬847亳米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，

如果剩下的局部不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形.按

照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長是多少毫米？

【分析與解】從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪卜邊長為847毫米的

正方形，這樣的正方形的個數(shù)恰好是2002除以847所得的商.而余數(shù)恰好是剩下的長方形

的寬，于是有：20024-847=2……308,8474-308=2……231,3084-231=1……77.2314-77=3.

不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米.

6.把26,33,34,35,63,85,91,143分成假設(shè)干組，要求每一組中任意兩個數(shù)的最大

公約數(shù)是1.那么最少要分成多少組？

【分析與解】26=2X13,33=3X11,34=2X17,35=5X7,63=X7,85=5X17,91=7X13,

143=11X13.

由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：

將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組.

所以，至少要分成3組.

7.設(shè)a與b是兩個不相等的非零自然數(shù).

⑴如果它們的最小公倍數(shù)是72,那么這兩個自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值？

⑵如果它們的最小公倍數(shù)是60,那么這兩個自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值？

【分析與解】(l)a與b的最小公倍數(shù)72=2X2X2X3X3,有12個約數(shù)：1,2,3,4,6,

8,9,12,18,24,36,72.不妨設(shè)a>b.

一：當a=72時,b可取小于72的11種約數(shù),a+b272+1=73；

二：當a=36時，b必須取8或24,a+b的值為44或60,均不同第一種情況中的值；

三：當a=24時，b必須取9或18,a+b的值為33或42,均不同第一、二種情況中的值；

【分析與解】10,12,15的最小公倍數(shù)[10,12,15]=60,把這根木棍的1/60作為一個長

度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等

份的每等份長4單位.

不計木棍的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9,11,14(相應(yīng)于10,12,15等份)，

共計34個.

由于5,6的最小公倍數(shù)為30,所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34

中減1.

又由于4,5的最小公倍數(shù)為20,所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相

重，必須再減去2.

同樣，6,4的最小公倍數(shù)為12,所以15與10等份的等分點在12,24,36,48單位處相

重，必須再減去4.

由于這些相重點各不相同，所以從34個內(nèi)分點中減去1,再減去2,再減去4,得27個

刻度點.沿這些刻度點把木棍鋸成28段.

奧數(shù)數(shù)論完全平方數(shù)練習題一(含答案)

1、數(shù)*=50,那么()。

A、x是完全平方數(shù)B、(x-50)是完全平方數(shù)

C、(x-25)是完全平方數(shù)D、(x+50)是完全平方數(shù)

2、在十進制中，各位數(shù)字全由奇數(shù)組成的完全平方數(shù)共有()個。

A、()B、2C、超過2,但有限

3、試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項都是完全平方數(shù)。

4、用300個2和假設(shè)干個。組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？

5、試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999

小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。

答案：

3、試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項都是完全平方數(shù)。

證明

=++1

=4+8+1

=4()(9+1)+8+1

=360+12+1

=(6+1)

即為完全平方數(shù)。

4、用300個2和假設(shè)干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？

解：設(shè)由300個2和假設(shè)干個()組成的數(shù)為A,那么其數(shù)字和為600

3|600A3|A

此數(shù)有3的因數(shù)，故9IA。但9I600,???矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。

5、試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999

小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。

解：設(shè)此數(shù)為

此數(shù)為完全平方，那么必須是11的倍數(shù)。因此11Ia+b,而a,b為0,1,2,9,故共有(2,9),(3,8),

(4,7),(9,2)等8組可能。

直接驗算，可知此數(shù)為7744=88。

奧數(shù)數(shù)論完全平方數(shù)練習題二(含答案)

1、一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加.上1,等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

3、求證：11,111,1111,這串數(shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

4、求滿足以卜.條件的所有自然數(shù)：

(1)它是四位數(shù)。

(2)被22除余數(shù)為數(shù)

(3)它是完全平方數(shù)。

5、甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先

由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下缺乏十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)

該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題)？

答案：

1、一個臼然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

解：設(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得

x-45=m"2;(1)

x+44=n"2(2)

(m,n為自然數(shù))

(2)-(1)可得:

n"2-n/2=89或：(rrm)(n+m)=89

因為n+m>n-m

又因為89為質(zhì)數(shù)，

所以：n+m=89;n-m=l

解之,得n=45。代入⑵得。故所求的自然數(shù)是1981。

2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加.上1,等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

分析設(shè)四個連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證

是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。

證明設(shè)這四個整數(shù)之積加上1為m,那么

m為平方數(shù)

而n(n+l)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因為2n+l是奇數(shù)，因而n(n+l)+2n+l是奇數(shù)。這

就證明了m是一個奇數(shù)的平方。

3、求證：11,111,1111,這事數(shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

分析形如的數(shù)假設(shè)是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即

或

在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。

證明假設(shè)，那么

因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

假設(shè)，那么

因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。

另證由為奇數(shù)知，假設(shè)它為完全平方數(shù)，那么只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位

數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1,所以不是完全平方數(shù)。

4、求滿足以下條件的所有自然數(shù)：

(1)它是四位數(shù)。

⑵被22除余數(shù)為5。

(3)它是完全平方數(shù)。

解：設(shè)，其中n,、為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。

1小-4或1小+4

或

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

所以此自然數(shù)為1369,2601,3481,5329,6561,9025。

5、甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先

由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下缺乏十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)

該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題)？

解；n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完

全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，那么它的個位數(shù)字一定是6。所以，的末位數(shù)字為6,即乙最后拿的是6

元，從而為平均分配，甲應(yīng)補給乙2元。

奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問題練習題九(含分析解答)

1、今有物不知其數(shù),三三數(shù)之乘.二,五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物最少幾何

2、(23+105k)2)一個數(shù)除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此條件的數(shù)最小是;如果

它是一個四位數(shù),那么最大可能是________；

解答：1、此數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,滿足條件最小數(shù)是23

3、滿足除以7余3,除以11余7的最小數(shù)為73,設(shè)此數(shù)為73+77a=13b+4,69-a=13b.

a最小等于4.滿足條件的最小數(shù)是381.

設(shè)最大的四位數(shù)為381+lOOlx,最大的四位數(shù)為9390.(1732)

4、今天周一,天之后是星期；這個數(shù)的個位數(shù)字是________；

天之后是星期；

解答：只要求出+7的余數(shù)就可以知道天后是星期幾=52007(mod7),56=1(mod7)

2007=3(mod6),三52007三53三6(mod7)s

所以天之后是星期口

2007的個位數(shù)字是7

20072的個位數(shù)字是9

20073的個位數(shù)字是3

20074的個位數(shù)字是1

20075的個位數(shù)字是1

5、一個三位數(shù),被17除余5,被18除余12,那么它可能是;

一個四位數(shù),被131除余112,被132除余98,那么它可能是;

解答:設(shè)此三位數(shù)為17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.

這個三位數(shù)為192,498,804.

設(shè)此四位數(shù)為131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整

除,y=14,145（太大）

這個四位數(shù)是1946

6、甲，乙,丙三個數(shù)分別為603,939,393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍,A除乙

數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.A是________;

解答:如果A除內(nèi)所得的余數(shù)是1份的話,那么A除乙所得余數(shù)就是2份,A除甲所得的余數(shù)就是4

份.把2乙-甲，那么沒有余數(shù)，即2乙-甲使A的倍數(shù)；同理乙-2丙也同樣沒有余數(shù)，是A的倍數(shù).

939X2-603=1275,939-393X2=153

A是1275和153的公約數(shù),而1275與153的最大公約數(shù)是51,所以A可能是1,3,17,51

再實驗得到A為17,余數(shù)分別為8,4,2.

奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問題練習題八（含分析解答）

1、3,222……22除以13所得的余數(shù)是.

2000個

分析與解答：

因為222222=2111111

=21111001

=211171113

所以222222能被13整除.

乂因為2000=6333+2

222-2=222-200+22

200（）個1998

2213=1-9

所以要求的余數(shù)是9.

2、求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余數(shù)分別是多少；

解答：

9:除以9的余數(shù)是（），

11:一個2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為5.2007個2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)

位上數(shù)字的和的差為5X2007.

-5X2007=3（modi1）,所以除以11的余數(shù)是3

99:能被9整除，被11除余3的數(shù)最小是36,所以除以99氽36

200720072007能被7,13,37整除.999=27X371001=7X11X1391=7X13

13:=0（mod13）除以13余0

91:=0（mod91）除以91余0

所以除以13,91,999的余數(shù)都是0.

1001:除以11余3,除以7,13余0,滿足次條件的最小數(shù)是1092,1092除以1001余91.所以除以

1001的余數(shù)是91.

101:我們發(fā)現(xiàn)9999=101X99,所以

=0000+2007=X10000+2007

=X9999++2007三+2007（mod101）

同樣道理

+2007三+2007X2（modl01）

以此類推=2007X2007（modlO1）=68

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題1（分析）

1、小華買了一本共有96張練習紙的練習本，并依次將它的各面編號（即由第1面一直編到第192面）。

小麗從該練習本中撕下其中2b張紙，并將寫在它們上面的50個編號相加。試問，小麗所加得的和數(shù)能

否為2000?

【分析】不可能。因為25個奇數(shù)相加的和是奇數(shù)，25個偶數(shù)相加是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)二奇數(shù)

2、有98個孩子，每人胸前有一個號碼，號碼從1到98各不相同。試問：能否將這些孩子排成假

設(shè)干排，使每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號碼數(shù)的和？并說明理由。

【分析】不可以。一名為98個數(shù)中有49個奇數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù)，奇數(shù)不是二的倍數(shù)。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題2（分析）

1、有2（）個1升的容器，分別盛有1,2,3,20立方厘米水。允許由容器A向容器B倒進與B容器

內(nèi)相同的水〔在A中的水不少于B中水的條件下）。問：在假設(shè)干次倒水以后能否使其中11個容器中

各有11立方厘米的水？

【分析】不可能，因為兩個奇數(shù)相加等于偶數(shù)，兩個偶數(shù)相加等于偶數(shù)，11是奇數(shù)，B是偶數(shù)，偶數(shù)不

等于奇數(shù)

2、一個俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實人，永遠說真話；一種是騙子，永遠說假話。某

天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個老實人兩旁都是騙子，每個騙了?兩旁都是老實人。外來一位記者

問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？"張三答："共有45人。"另一個成員李川說：“張

三是老實人?！闭埮袛嗬钏氖抢蠈嵢诉€是騙子？

【分析】李四是騙子，老實人科說謊的人的人數(shù)相等，可是45是個奇數(shù)，所以張三是騙子

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題3（分析）

1、圍棋盤上有19X19個交叉點，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并使黑子（或白子）

的上、下、左、右的交叉點上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白

子也全移到原來黑子的位置上？

【分析】不可以，因為不是白字多黑字一個，就是黑子多白字一個，不可能相等

2、某市五年級99名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，競賽題共30道，評分標準是根底分15分，答對一道加5

分，不答記1分，答錯一道倒扛1分。問：所有參賽同學(xué)得分總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

【分析】奇數(shù)，5+30+15-165165-6N-4M-奇數(shù)減去偶數(shù)-奇數(shù)99水奇數(shù)-奇數(shù)

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題4(分析)

現(xiàn)有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆(每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果)，才

能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個數(shù)都是偶數(shù)。

分析與解：當每堆都含有三種水果時，三種水果的奇偶情況如下表：

可見，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆

的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個數(shù)都是偶數(shù)。

說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來，使問題一目了然。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題5(分析)

有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內(nèi)共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組

成？

解：當幣值為偶數(shù)時，可以用假設(shè)干枚2分硬幣組成；

當幣值為奇數(shù)時，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和假設(shè)干枚2分硬幣組成,

所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。

說明：將全體整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數(shù)問題的常用方法。

假設(shè)偶數(shù)用2k表示，奇數(shù)用2k+l表示，那么.上述討論可用數(shù)學(xué)式子更為直觀地表示如下：

當幣值為偶數(shù)時，2k說明可用假設(shè)千枚2分硬幣表示；

當幣值為奇數(shù)時，

2k+l=2(k-2)+5,

其中k22。當k=0,1時，2k+l=l,3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均

可由2分和5分硬幣組成。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題6(附解)

1、設(shè)標有A,B,C,D,E,F,G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關(guān)?，F(xiàn)在A,C,D,G這4

盞燈亮著，其余3盞燈沒亮。小華從燈A開始順次抖動開關(guān)，即從A到G,再從A開始順次折動開關(guān)，

他這樣拉動了999次開關(guān)后，哪些燈亮著，哪些燈沒亮？

解：一盞燈的開關(guān)被拉動奇數(shù)次后，將改變原來的狀態(tài)，即亮的變成熄的，熄的變成亮的；而一盞

燈的開關(guān)被拉動偶數(shù)次后，不改變原來的狀態(tài)。由于

999=7X142+5,

因此，燈A,B,C,D,E各被拉動143次開關(guān)，燈F,G各被拉動142次開關(guān)。所以，當小華拉動

999次后B,E,G亮，而A,C,D,F熄。

2、桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻動其中的76枚，第3次翻動其中的75

枚……第77次翻動其中的1枚。按這樣的方法翻動硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說

明你的理由。

分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實，對我們解決

這個問題起著關(guān)鍵性作用。

解：按規(guī)定的翻動，共翻動1+2+…+77=77X39次，平均每枚硬幣翻動了39次，這是奇數(shù)。因此，

對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到

77X39=77+(76+1)+(75+2)+???+(39+38),

根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計如下的翻動方法：

第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次；第2次與第77次共翻動77枚，又可將每枚硬幣

都翻動一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚便幣各翻動

一次。這樣每枚硬幣都翻動了39次，都由正面朝下變?yōu)檎娉稀?/p>

說明：（1）此題也可從簡單情形入手〔如9枚硬幣的情形），按規(guī)定的翻法翻動硬幣，從中獲得

啟發(fā)。

（2）對有關(guān)正、反，開、關(guān)等實際問題通?？苫癁橛闷媾紨?shù)關(guān)系討論。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題7（附解）

在8X8的棋盤的左下角放有9枚棋子，組成一個3X3的正方形（如左以下圖）。規(guī)定每枚棋子可以跳

過它身邊的另一枚棋子到一個空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為中心作對稱運動，可以橫跳、豎跳

或沿著斜線跳（如右以下圖的1號棋子可以跳到2,3,4號位置）。問：這些棋子能否跳到棋盤的右上

角（另一個3X3的正方形）？

解：自左下角起，每一個方格可以用一組數(shù)（行標、列標）來表示，（自下而上）第i行、（自左

而右）第j列的方格記為（i,二）。問題的關(guān)鍵是考慮9枚棋子（所在方格）的列標的和S。

一方面，每跳一次，S增加0或偶數(shù)，因而S的奇偶性不變。另一方面，右上角9個方格的列標的

和比左下角9個方格的列標之和大

3X〔6+7+8）-3X（1+2+3）=4b,

這是一個奇數(shù)。

綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個3X3的正方形里。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題8（附答案）

1.以下每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)？

2.任意取出1234個連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

3.一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的

和。如下所示：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

試問：這串數(shù)的前100個數(shù)（包括第100個數(shù)）中，有多少個偶數(shù)？

4.能不能將1010寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。

答案：

1.至少有6個偶數(shù)。

2.奇數(shù)。解：1234+2=617,所以在任取的1234個連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)

之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。

3.33o提示：這串數(shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶〃循環(huán)。

4.不能。

如果1010能表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個數(shù)的和應(yīng)當是1010+5=202。但中間2

個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之

和。

奧數(shù)數(shù)論問題奇偶分析練習題9（附答案

5.能否將1至25這25個自然數(shù)分成假設(shè)十組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和？

6.在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，假設(shè)為平局，那么雙方各得。分。今有假設(shè)干個學(xué)

生進行比賽，每兩人都賽一局?，F(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得7分，另一位學(xué)生共得20分，試說明，在

比賽過程中至少有過一次平局。

7.在黑板上寫上1,2,909,只要黑板上還有兩個或兩個以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個數(shù)a,

b.并寫上a-b｛其中a2b)。問：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)？

8.設(shè)al,a2,???,a64是自然數(shù)1,2,…，64的任一排列，令bl=al-a2,b2=a3-a4,b32=a63-a64；

cl=bl-b2,c2=b3-b4,…，cl6=b31-b32；

dl=cl-c2,d2=c3-c4,d8=cl5-cl6；

這樣一直做下去，最后得到的一個整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

答案：

5.不能。提示：仿例3。

6.證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了xl局，敗了yl局，得20分的學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情

況知：

xl-yl=7,x2-y2=20<,

如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得xl+yl=x2+y2,即xl+yl+x2+y2是偶

數(shù)。另一方面，由xl-yl=7知xl+y2為奇數(shù),由x2-y2=2()知x2+y2為偶數(shù)，推知xl+yl+x2+y2為奇數(shù).

這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

7.奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)

=2b,這是一個偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數(shù)，因此終止時S仍是一個奇數(shù)。

8.偶數(shù)。

解:我們知道，對于整數(shù)a與b,a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32

個數(shù)

ai-a2>a3-a4,…,a63-a61,

分別與以下32個數(shù)

ai+a2,as+a4,…，a63+a61,

有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和"代替"差”，這樣可以把原來的計

算過程改為

第一步：al,a2,a3,a4,,,,,a61,a62,a63,a64；

第一步：al+a2,a3+a4,…，a61+a62,a63+a64；

第三步：al+a2+a3+a4,…，a61+a62+a63+a64；

最后一步所得到的數(shù)是al+a2+…+a63+a64。由于al,a2,???,a64是1,2,…，64的一個排列,

因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數(shù)，故最后一個整數(shù)是偶數(shù)

五年級奧數(shù)：數(shù)的整除性試題

一、填空題

1.四位數(shù)“3AA1〃是9的倍數(shù)，那么A=.

2、在“25口79這個數(shù)的口內(nèi)填上一個數(shù)字,使這個數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應(yīng)填

3、能同時被2、3、5整除的最大三位數(shù)是.

4、能同時被2、5、7整除的最大五位數(shù)是.

5、1至100以內(nèi)所有不能被3整除的數(shù)的和是.

6、所有能被3整除的兩位數(shù)的和是_____.

7、一個五位數(shù)口691口能被55整除,所有符合題意的五位數(shù)是.

8、如果六位數(shù)1992口口能被105整除,那么它的最后兩位數(shù)是.

9、42口28口是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99所得的商是.

10、從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行,從左向右1至11報數(shù)，報

數(shù)為11的同學(xué)原地不動,其余同學(xué)出列;然后留下的同學(xué)再從左向右.1至11報數(shù),報數(shù)為

11的留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報數(shù)，報到11的同學(xué)留下，其

余同學(xué)出歹U,那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是號.

二、解答題

11、173口是個四位數(shù)字.數(shù)學(xué)老師說：“我在這個口中先后填入3個數(shù)字，

所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除.〃問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是

多少？

12、在1992后面補上三個數(shù)字,組成一個七位數(shù)，使它們分別能被2、3、5、11整除,

這個七位數(shù)最小值是多少？

13、在“改革〃村的黑市上，人們只要有心,總是可以把兩張任意的食品票換成3張其

他票券,也可以反過來交換.試問，合作社成員瓦夏能否將100張黃油票換成100張香腸票，

并且在整個交換過程中剛好出手了1991張票券？

-------------------------------答案-------------------------------------------

1、7

四位數(shù)3AA1正好是9的倍數(shù),那么其各位數(shù)字之和3+A+A+1一定是9的倍數(shù),可能是9的1

倍或2倍,可用試驗法試之.

設(shè)3+A+A+l=9,那么A=2.5,不合題意.再設(shè)3+A+A+l=18,那么A=7,符合題意.事實上,3771

9=419.

2、1

這個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差是0或是11的倍數(shù),那么這個數(shù)能被11整除.

偶數(shù)位上數(shù)字和是5+7=12,因而,奇數(shù)位上數(shù)字和2+口+9應(yīng)等于12,口內(nèi)應(yīng)填12-2-9=1.

3、990

要同時能被2和5整除,這個三位數(shù)的個位一定是0.要能被3整除，又要是最大的三位數(shù)，

這個數(shù)是990.

4、99960

解法一:能被2、5整除,個位數(shù)應(yīng)為0,其余數(shù)位上盡量取9,用7去除999D0,可知方框內(nèi)

應(yīng)填6.所以，能同時被2、5、7整除的最大五位數(shù)是99960.

解法二:或者這樣想,2,5,7的最小公倍數(shù)是70,而能被70整除的最小六位是100030.它減

去70仍然是70的倍數(shù),所以能被2,5,7整除的最大五位數(shù)是100030-70=99960.

5.、3367

先求出1~100這100個數(shù)的和,再求100以內(nèi)所有能被3整除的數(shù)的和，以上二和之差就是

所有不能被3整除的數(shù)的和.

(1+2+3+…+100)-(3+6+9+12+…+99)

=(1+100)2100-(3+99)233

=5050-1683

=3367

6、1665

能被3整除的二位數(shù)中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位數(shù)如下：

12,15,18,21,96,99

這一列數(shù)共30個數(shù)，其和為

12+15+18+…+96+99

=(12+99)302

=1665

7、96910或46915

五位數(shù)能被55整除，即此五位數(shù)既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.當B二0時，能

被11整除,所以(A+9+0)-以+l)=A+2能被11整除,因此A=9；當B=5被同樣可求出A=4.所

以，所求的五位數(shù)是96910或46915.

8、90

因為105=357,根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)，可知這個六位數(shù)能同時被3、5和7整除。

根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，可知這個六位數(shù)的個位數(shù)只能是0或5兩種，再根據(jù)能被3

整除的數(shù)的特征，可知這個六位數(shù)有如下七個可能：

199200,199230,199260,199290,199215,199245,199275.

最后用7去試除知，199290能被7整除.

所以，199290能被105整除，它的最后兩位數(shù)是90.

［注］此題也可以這樣思考:先把后面兩個方框中填上0后的199200除以105,根據(jù)余數(shù)的大

小來決定最后兩個方框內(nèi)應(yīng)填什么.

199200105=1897-15

105-15=90

如果199200再加上90,199290便可被105整除，故最后兩位數(shù)是90.

9、4316

因為99=911,所以42口28口既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù).根據(jù)是9的倍數(shù)的特點,這個數(shù)

各位上數(shù)字的和是9的倍數(shù).42口28口這個六位數(shù)中的四個數(shù)的和是4+2+2+8=16,因此空格

中兩個數(shù)字的和是2或11.我們把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上兩個數(shù)字的

和是2+2=4,而偶位上兩個數(shù)字的和是4+8=12,再根據(jù)是11的倍數(shù)的特點，奇位上數(shù)字的

和與偶位上數(shù)的和之差是?；?1的倍數(shù)，所以填入空格的兩個數(shù)應(yīng)該相差3或相差8.從

以上分析可知填入的兩個數(shù)字的和不可能是2,應(yīng)該是11.顯然它們的差不可能是8,應(yīng)該是

3,符合這兩個條件的數(shù)字只有7和4.填入空格時要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原

六位數(shù)是427284,又42728499=4316,所以所得的商是4316.

10、1331

第一次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是11倍數(shù)；

第二次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是121的倍數(shù)；

第三次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是1331的倍數(shù).

所以最后留下的只有一位同學(xué)，他的最初編號是1331.

11、???能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，

1+7+3+口=11+口

，口內(nèi)只能填7.

..?能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被11

整除.

???(7+口)-(1+3)=3+口能被11整除，..?口內(nèi)只能填8.

??,能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù),并且數(shù)字和能被3整除,

而1+7+3+口=11+匚I,???口內(nèi)只能填4.

所以,所填三個數(shù)字之和是7+8+4=19.

12、設(shè)補上的三個數(shù)字組成三位數(shù)，由這個七位數(shù)能被2,5整除,說明c=0;

由這個七位數(shù)能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，從而a+b能被3整除；

由這個七位數(shù)又能被11整除,可知（1+9+a+c）-（9+2+b）=a-bT能被11整除;

由所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小，因而取a+b=3,a-b=l,從而a=2,b=l.

所以這個最小七位數(shù)是1992210.

［注］小朋友通常的解法是:根據(jù)這個七位數(shù)分別能被2,3,5,11整除的條件,這個七位數(shù)必

定是2,3,5,11的公倍數(shù)，而2,3,5,11的最小公倍數(shù)是23511=330.

這樣，1992000330=6036…120,因此符合題意的七位數(shù)應(yīng)是（6036+1）倍的數(shù)，即

1992000+（330-120）=1992210.

13、不可能.由于瓦夏原有100張票，最后還有100張票，所以他作了多少次“兩換三〃，那

么也就作了多少次“三換兩”，因此他一共出于了2k+3k=5k張票，而1991不是5的倍數(shù).

奧數(shù)數(shù)論問題數(shù)的整除練習題一（附解）

1、在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234,789,7756,8865,3728,8064。

解：能被4整除的數(shù)有7756,3728,8064；

能被8整除的數(shù)有3728,8064；

能被9整除的數(shù)有234,8865,8064。

2、在四位數(shù)56口2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9,8,4整除？

解：如果56口2能被9整除，那么

5+6+口+2=13+口

應(yīng)能被9整除，所以當十位數(shù)是5,即四位數(shù)是5652時能被9整除;

如果56口2能被8整除，那么6口2應(yīng)能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7,即四位數(shù)是5632或5672

時能被8整除;

如果56口2能被4整除，那么口2應(yīng)能被4整除，所以當十位數(shù)是1,3,5,7,9,即四位數(shù)是5612,

5632,5652,5672,5692時能被4整除。

奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問題練習題一（含分析解答）

1、（四中小升初選拔試題）被除數(shù)，除數(shù)，商與余數(shù)之和是2143,商是33,余數(shù)是52,求被除數(shù)和除數(shù).

分析：方法1：通過對題意的理解我們可以得到:被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)=除數(shù)X33+52;

又有被除數(shù)=2143-除數(shù)-商-余數(shù)=2143-除數(shù)-33-52=2058-除數(shù)；

所以除數(shù)X33+52=2058-除數(shù)；

那么除數(shù)=（2058-52）+34=59,被除數(shù)=2058-59=1999.

方法2:此題也可以按這個思路來解：從被除數(shù)中減掉余數(shù)52后，被除數(shù)就是除數(shù)的33倍了，所以可

以得到:2143-33-52-52=（33+1）X除數(shù)，求得除數(shù)=59，被除數(shù)=33X59+52=1999.

轉(zhuǎn)化成整數(shù)倍問題后,可以幫助理解相關(guān)的性質(zhì).

2、（美國長島小學(xué)數(shù)學(xué)競賽）寫出所有的除109后余數(shù)為4的兩位數(shù).

分析:還是把帶有余數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成整除性的問題,也就是要找出能整除（109-4）的所有的兩位數(shù).

在一步，要找出能整除105的兩位數(shù),很簡單的方法就是把105分解質(zhì)因數(shù),從所得到的質(zhì)因子中去湊兩

位數(shù).109-4=105=3X5X7.因此這樣的兩位數(shù)是：15;35;21.

3、有一個大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).

分析：這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根

據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公

約數(shù).

101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為

2,7,14.

奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問題練習題二(含分析解答)

1、數(shù)11…1(2007個1),被13除余多少

分析:根據(jù)整除性質(zhì)知：13能整除111111,而20074-6后余3,所以答案為7.

2、求以下各式的余數(shù)：

(1)2461X135X60474-11⑵212326

分析：(1)5;(2)6443+19=339……2,212=4096,4096?19余11,所以余數(shù)是11.

3,數(shù)11…1(2007個1),被13除余多少

分析:根據(jù)整除性質(zhì)知:13能整除111111,而20074-6后余3,所以答案為7.

4、求以下各式的余數(shù)：

(1)2461X135X60474-11

(2)2123：6

分析：(1)5;(2)找規(guī)律,2的n次方被6除的余數(shù)依次是次=1,2,3,4……):2,4,2,4,2,4……

因為要求的是2的123次方是奇數(shù),所以被6除的余數(shù)是2.

奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問題練習題三(含分析解答)

h1013除以一個兩位數(shù),余數(shù)是12.求出符合條件的所有的兩位數(shù).

分析：1013-12=1001,1001=7X11X13,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有13,77,91有的同學(xué)可能會

粗心的認為11也是.11小于12,所以不行.大家做題時要仔細認真.

2、學(xué)校新買來118個乒乓球,67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級,

那么這三種物品剩下的數(shù)量相反請問學(xué)校共有多少個班

分析:所求班級數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118-67=51和67-33=34的

公約數(shù)，所求答案為17.

3、有一個大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).

分析:這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根

據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個數(shù)一定能整除這三個