小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)思維訓(xùn)練全集

專題一找規(guī)律〔一〕規(guī)律組合的，在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

專題簡介：一般以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：(8,4)(5,7)(10,2)(□,9)

1.根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)分析：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)的和都是12。

律，推斷寓所要填的數(shù)：□應(yīng)為：12—9=3

2.根據(jù)相隔的每兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，試一試5：下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)

推斷出所要填的數(shù)；律組合的，在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

3.要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從(1)(1,24)(2,12)(3,8)(4,口)

而很快找出規(guī)律；(2)(18,17)(14,10)(10,1)(□,5)

4.數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理(3)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為

是正確的。專題二找規(guī)律〔二〕

例1:找出下面數(shù)列的規(guī)律，并在括號(hào)里填上專題簡析：對于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，

適當(dāng)?shù)臄?shù)。1,4,7,10,(16,19從以下幾個(gè)方面來思考：

分析：相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3,所以：1，對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律，

應(yīng)填：10+3=13或16—3=13沒有一成不變的方法，一種方法不行，就要及

像上面按照一定的順序排列的一事數(shù)叫做。時(shí)調(diào)整思路，換一種方法再分析；

試一試1：先找出下面數(shù)列的規(guī)律，再填空。2,分布在圖中的數(shù)，變化規(guī)律與數(shù)在圖

(I)33,28,23,(),13,(),3形中的特殊位置有關(guān)，是解題的突破口。

(2)2,6,18,(),162,()例1：根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上

(3)128,64,32,(),8,(),2適當(dāng)?shù)臄?shù)。

例2：找出以下數(shù)排列的規(guī)律，再填空。分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn):

1,2,4,7,(),16,2212+6=18,8+7=15,即每一橫行中間的數(shù)等于

分析：前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差遞增1,兩邊的兩個(gè)數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應(yīng)填的

即依次是1、2、3……。數(shù)為:4+8=12o

應(yīng)填的數(shù)為:7+4=11或⑹5=11試一試1：找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

試一試2：先找出下面數(shù)列的規(guī)律，再填空。例2：根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一

⑴1,4,9,16,25,(),49,64想第三個(gè)圖形的括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？

(2)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8分析：前面兩個(gè)圈中三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)

例3:先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。系：5X124-10=64X204-10=8

23.4,20,6,17,8,(),(：,11,12第三個(gè)圈中右下角應(yīng)填：8X304-10=24

分析：第I、3、5……個(gè)數(shù)遞減3；第2、4、試一試2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想

6……個(gè)數(shù)遞增2。8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14,一想第三個(gè)圖形的空格里應(yīng)填什么數(shù)。

11前面的數(shù)為:8+2=10。例3：根據(jù)第1個(gè)算式直接寫出后幾個(gè)算式的

試一試3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適結(jié)果。

當(dāng)?shù)臄?shù)。12345679X9=111111111

(I)13,2,15,4,17,6,(：,()12345679X18=

(2)4,28,6,26,9,23,(),(),18,1412345679X54=

例4：在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,(),12345679X81=

34.55……中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？分析：幾個(gè)算式第1個(gè)因數(shù)相同。第二個(gè)因數(shù)

分析：從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于它前面兩成倍數(shù)關(guān)系：18=9X254=9X681=9X9

個(gè)數(shù)的和。括號(hào)里：8+13=21或34—13=21所以：

上面這個(gè)數(shù)列叫做斐波那切(意大利古代著名12345679X18=12345679X9X2=222222222

數(shù)學(xué)家)數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列〃。12345679X54=12345679X9X6=666666666

試一試4：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適12345679X81=12345679X9X9=999999999

當(dāng)?shù)臄?shù)。試一試3：找規(guī)律，寫得數(shù)。

⑴2,2,4,6,10,16,(),(1X1=111X11=121

(2)34,21,13,8,5,(),2,()111X111=

(3)1.3.6.8.16.18.().().76.78111111111X111111111=

例5:下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的專題三簡單推理

專題簡析：解答推理問題，要從許多條件中找圓，共付款156元。5千克荔枝的價(jià)錢等于2

出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理千克桂圓的價(jià)錢。每千克荔枝和每千克桂圓各

地進(jìn)行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進(jìn)多少元？

一步推理的依據(jù)。例2：一個(gè)木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原方案每

例1:根據(jù)下面兩個(gè)算式，求。與△各代表多少？天生產(chǎn)60張，實(shí)際每天比原方案多生產(chǎn)4張,

△-0=2①結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原方案要生產(chǎn)多少張

O+O+A+A+A=56②課桌？

分析：由①可知，△=0+2：將②中的O都換分析：“提前1天完成任務(wù)"，這一天的60張

成^,那么5個(gè)△=56+2X2,△=□,再由①要平均分到前面的幾天去做。實(shí)際比原方案每

可知，0=12-2=10天多生產(chǎn)4張，所以實(shí)際生產(chǎn)的天數(shù)是60-

試一試1：根據(jù)卜.面兩個(gè)算式求□與O各代表4=15天，原方案生產(chǎn)的天數(shù)是15+1=16天。

多少？口一0二8所以原方案要生產(chǎn)60X16=960張。

□+□+0+0=20試一試2：小明看一本故事書，方案每天看12

例2：甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三頁，實(shí)際每天多看8頁，結(jié)果提前2天看完。

小的學(xué)生，在區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上他們分別獲得跳高、這本故事書有多少頁？

跳遠(yuǎn)和壘球冠軍。：二小的是跳遠(yuǎn)冠軍；一小專題五算式謎〔一〕

的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍；乙既不是專題簡析：解答算式謎問題時(shí)，要先仔細(xì)審題,

二小的也不是跳高冠軍。問：他們?nèi)齻€(gè)人分別分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗(yàn),

是哪個(gè)學(xué)校的？獲得哪項(xiàng)冠軍？分析求解，通常要運(yùn)用倒推法、湊整法、估值

分析：由“二小的是跳遠(yuǎn)冠軍〃可知壘球、跳法等。

高冠軍是一小或三小的；因?yàn)椤耙恍〉牟皇菈纠?：將0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字填

球冠軍"，所以一小一定是跳高冠軍，三小的在圓圈和方格內(nèi)，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組

是壘球冠軍；由“甲不是跳遠(yuǎn)冠軍〃，“乙既成一個(gè)整數(shù)算式。

不是二小的也不是跳高冠軍"可知，一小的甲OXO=D=O-rO

是跳高冠軍，二小的丙是跳遠(yuǎn)冠軍，三小的乙分析：用七個(gè)數(shù)字組成五個(gè)數(shù)（3個(gè)是一位數(shù),

是壘球冠軍。2是兩位數(shù)）。而方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位

試一試2：有三個(gè)女孩穿著嶄新的連衣裙去參數(shù)，其他是一位數(shù)。

加游園會(huì)。一個(gè)穿花的，一個(gè)穿白的，一個(gè)穿0和1不能作因數(shù)，也不能做除數(shù).由于2X

紅的。但不知哪一個(gè)姓王、哪一個(gè)姓李、哪一6=12（2將出現(xiàn)兩次），2X5=10（不合題意），

個(gè)姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的2X4=8（數(shù)字中沒有8）,2X3=6（不是兩位

既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出數(shù)）。因此，0、1、2只能用來組成兩位數(shù)。

這三個(gè)女孩各姓什么嗎？經(jīng)試驗(yàn)可得：3X4=12=604-5

專題四應(yīng)用題〔一〕試一試1：將0、I、3、5、6、8、9這七個(gè)數(shù)

專題簡析：解容許用題時(shí)，通過對條件進(jìn)行比字填在圓圈和方筐里，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次

擬、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的組成一個(gè)整數(shù)算式。

突破口，從而使問題得以順利解決。0X0=0=04-0

例1：某玩具廠把630件玩具分別裝在5個(gè)塑例2：把“十、一、X、?”分別放在適當(dāng)?shù)?/p>

料箱和6個(gè)紙箱里，1個(gè)塑料箱與3個(gè)紙箱裝圓圈中（運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在方框中

的玩具同樣多。每個(gè)塑料箱和紙箱各裝多少件填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，便卜面的兩個(gè)等式成立。

玩具？3600015=1521O3O5=D

分析：如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙分析：先從第一個(gè)等式入手，等式右邊是15,

箱里，那么可以求出一個(gè)紙箱或一個(gè)塑料箱裝與等式左邊最后一個(gè)數(shù)15相同，因?yàn)?/p>

多少件。因?yàn)?個(gè)紙箱與?個(gè)塑料箱裝的同樣0+15=15,所以，只要使36與0的運(yùn)算結(jié)果為

多，所以6個(gè)紙箱與2個(gè)塑料箱裝的同樣多。0就行。顯然，36X0+15=15

這樣，5個(gè)塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個(gè)塑料箱因?yàn)椤癤”、”+〃己用，第二個(gè)等式中只有

裝的就同樣多?？汕蟪鲆粋€(gè)塑料箱裝多少件?！耙弧?、”?"可以填?！狈娇蛑刑钫麛?shù)〃，而

試一試1：王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂3不能被5整除：214-3-5=2

試一試2：將I~9這九個(gè)數(shù)字填入口中（每式中適宜的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的

個(gè)數(shù)字只能用一次），組成三個(gè)等式。順序不能改變）。

□+義口=口123456789=100

專題六算式謎〔二〕專題七巧妙求和〔一〕

:專題簡析：1.利用列舉和篩選相結(jié)合的方法,專題簡析：假設(shè)干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)

逐步排除不合理的數(shù)字；列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首

2.算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。項(xiàng)，最后?項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為

例1：在下面的方框中填上適宜的數(shù)字。項(xiàng)數(shù)，

分析：由積的末尾是0,推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)相鄰兩項(xiàng)的差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)

位是5；由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5,并結(jié)合第列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。

一個(gè)因數(shù)與5相乘的枳的情況考慮，可推出第通項(xiàng)公式：第。項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）X公差

一人個(gè)因數(shù)的百位是3：由第一個(gè)因數(shù)為376項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)一首項(xiàng)）+公差+1

與積為31口口0,可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上例1：有一個(gè)數(shù)列：4,10,16,22,…，52,

是8。題中別的數(shù)字就容易填了。這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？

試一試1：在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。分析：容易看出這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為6,

例2：在下面方框中填上適合的數(shù)字。首項(xiàng)是4,末項(xiàng)是52,要求項(xiàng)數(shù)，可直接帶入

分析：由“1口2”和"1口”可知商和除數(shù)的項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

十位都是lo那么被除數(shù)的十位只可能是7、8、項(xiàng)數(shù)二（52-4）4-6+1=9

9o如果是7,除數(shù)的個(gè)位是0,那么最后必有答：這個(gè)數(shù)列共有9項(xiàng)。

余數(shù)：如果被除數(shù)是8,除數(shù)的個(gè)位就是1,試一試1：有一個(gè)等差數(shù)列：2,5,8,11,…，

也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除101,這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？

數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6,正好除盡。例2：有一等差數(shù)列：3,7,II,15,……，

完整的豎式是：這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？

試一試2：在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使右面除分析：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是3,公差是4,

法豎式成立。項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)二

例3：下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各首項(xiàng)+公差X（項(xiàng)數(shù)—1）"進(jìn)行計(jì)算。

代表什么數(shù)字？第100項(xiàng)=3+4X（100-1）=399

分析：因?yàn)樗奈粩?shù)abed乘9的積是四位數(shù)，試一試2：求I,4,7,10……這個(gè)等差數(shù)列

可知a=Kd=9；囚為9與b相乘的枳不能進(jìn)的笫30項(xiàng)。

位，所以b只能是0（1己經(jīng)用過）；再由b=0,例3：有這樣一個(gè)數(shù)列：1,2,3,4,99,

可推知c=8oI00o請求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。

試一試3：右式中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字。分析：等差數(shù)列總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2

華=羅=1+2+3+…+99+100=（1+100）X1004-2=5050

庚二金二杯二試一試3：6+7+8+-+74+75

例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)例4：求等差數(shù)列2,4,6,…，48,50的和。

數(shù)字中間加上“十、一”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其分析：項(xiàng)數(shù)二（末項(xiàng)一首項(xiàng)）+公差+1

結(jié)果等于1001數(shù)字的順序不能改變）。=（50-2）4-2+1=25

分析：先湊出與100比擬接近的數(shù)，再根據(jù)需首項(xiàng)=2,末項(xiàng)=50,項(xiàng)數(shù)=25

要把相鄰的兒個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。等差數(shù)列的和二（2+50）X252=650

（I）123與100比擬接近，前三個(gè)數(shù)字組成試一試4：9+I8+27+36+-+261+270

123,后面的數(shù)字湊出23就行。因?yàn)?5與67

相差22,8與9相差1,所以：123+45—67專題八最優(yōu)化問題

+8-9=100專題簡析：做一件事情，合理安排用的時(shí)間最

（2）89與100比擬接近，78與67正好相差少，效果最正確，這類問題稱為統(tǒng)籌問題?！百M(fèi)

11,所此可得另一種解法：123+45-67+

用最省"、”面積最大〃、“損耗最小”等等問

89=100

題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的

試一試4：一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算

最大（?。┲?，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問

題，以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題”。室的時(shí)間總和最短。李佳治病3人等：1X3=3

例題1貼燒餅的時(shí)候，第?面需要烘3分鐘，分鐘；孫勇治病2人等：3X2=6分鐘；，趙明

第二面需要烘2分鐘，而貼燒餅的架子上一次治病自己1人筆：5X1=5分鐘。時(shí)間總和是1

最多只能放2個(gè)燒餅。要貼3個(gè)燒餅至少需要X3+3X2+5X1=14分鐘。

幾分鐘？:試一試3：甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍

思路：鍋中保持兩張餅用時(shí)最少。頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需

“)I號(hào)餅正面、2號(hào)餅正面-------3分鐘要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注

(2)1號(hào)餅反面、3號(hào)餅正面-------2分鐘水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使

(3)2號(hào)餅反面、3號(hào)餅正面-------1分鐘他們所花的總時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？

(4)2號(hào)餅反面、3號(hào)餅反面-------1分鐘例4：用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，

(5)3號(hào)餅反面-------1分鐘。要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍成的長方

3+2+1+1+1=8分鐘形的面積最大是多少？

試一試1紅太狼用一個(gè)平底鍋烙餅，鍋上分析：根據(jù)“長方形周長=(長+寬)X2”，

只能同時(shí)放兩個(gè)餅。烙第一面需要2分鐘，烙得到長+寬=18+2=9cm。根據(jù)“兩數(shù)和一定，

第二面需要1分鐘。現(xiàn)在在烙三個(gè)餅，最少需差越小積越大〃，又長和寬的長度都是整厘米

要多少分鐘？數(shù)，因此，當(dāng)長是5cm,寬是4cm時(shí)，圍成的

例題2在一條公路上每隔50千米有一個(gè)糧長方形的面積最大：5X4=20平方厘米。

庫,共4個(gè)糧庫。甲糧庫存枸10噸糧食，乙試一試4：一個(gè)長方形的周長是2()分米，它

糧庫存有20噸糧食，丁糧庫存有50噸糧食，的面積最大是多少？

還有一個(gè)糧庫是空的?，F(xiàn)在想把所存的糧食集例5：用3~6這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位

中放在一個(gè)糧庫中，如果每噸糧食運(yùn)1千米要數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。

1元的運(yùn)費(fèi)，那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)才行？分析：考慮兩點(diǎn)：(1)把大數(shù)放在高位；即應(yīng)

思路：移動(dòng)的貨物重量小路程近，花費(fèi)的費(fèi)用把6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位。12)“兩個(gè)因

就少。在此題中，各糧庫之間的距離相等都是數(shù)的差越小，積越大"的規(guī)律，3應(yīng)放在6的

50千米，一般原那么是“少往多處靠"。甲、后面，4應(yīng)放在5的后面。63X54=3402

乙兩倉庫糧食合起來是30噸，還不如丁糧庫試一試5：用5~8這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)

的糧食多，所以應(yīng)將甲、乙糧庫的糧食集中放兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。

在丁糧庫。甲糧庫需用1X10X50X3=1500專題九規(guī)律〔一〕

元，乙糧庫需要1X20X50X20=2000元，共專題簡析：在進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算

用1500+2000=3500元。是時(shí)一個(gè)數(shù)不變，另一個(gè)數(shù)發(fā)生改變，結(jié)果也

試一試2：一條公路有四個(gè)儲(chǔ)油站，它們之間會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，抓住變化規(guī)律解題，會(huì)讓我

都相隔100千米。甲儲(chǔ)油站有50噸油，乙儲(chǔ)們的計(jì)算更輕松。

油站儲(chǔ)有10噸油,丙儲(chǔ)油站有20噸油,丁儲(chǔ)例1：兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)加數(shù)增加9,另一個(gè)

油站是空的?，F(xiàn)在如果想把所存的油集中于一加數(shù)減少9,和是否發(fā)生變化？

個(gè)儲(chǔ)油站，每噸油運(yùn)1千米要2元運(yùn)費(fèi)，那么分析：一個(gè)加數(shù)增加9,假設(shè)另一個(gè)加數(shù)不變,

最少要花多少運(yùn)費(fèi)？和就增加9：一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)減少

例3：五(1)班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)9,和就減少9。相當(dāng)于和先增加9,又減少9,

同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打所以和不發(fā)生變化。

針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳試一試1：兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)減6,另一個(gè)

點(diǎn)眼藥水需要I分鐘。衛(wèi)生室只芍一位校醫(yī)，數(shù)減2,和起什么變化？

校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三例2：兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加10,要

位司學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？使和增加6,那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？

分析：校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治分析：一個(gè)加數(shù)增加10，和就增加10。現(xiàn)在

療時(shí)間長的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生“要使和增加6”，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)減少10-

6=4。分析：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，積擴(kuò)大2倍；另一

試一試2：兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加8,個(gè)因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積

要使和減少15,另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？是48X2+3=32。

例3：兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加8,減數(shù)也試一試3：兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴(kuò)

增加8,差是否起變化？大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？

分析：被減數(shù)增加8,差就增加8：減數(shù)增加專題十一錯(cuò)中求解

8,差就減少8。差先增加8,接著又減少8,專題簡析：在加、減、乘、除式的計(jì)算中，如

所以不發(fā)生變化。果粗心大意將算式中的一些運(yùn)算數(shù)或符號(hào)抄

試一試：兩數(shù)相減，被減數(shù)增加減數(shù)減

312,錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤?，F(xiàn)在我們就

少12,差起什么變化？

來討論怎樣利用錯(cuò)誤的答案求出正確的結(jié)論。

例4：兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另

例1：小玲在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)65寫成56,

一個(gè)因數(shù)縮小2倍，枳將有什么變化？

結(jié)果得到的商是13,還余52。正確的商是多

分析：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，積將擴(kuò)大8倍：另

少？

一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴(kuò)大

8倍又縮小2倍，因此，積擴(kuò)大：8+2=4倍。分析：要求出正確的商，必須先求出被除數(shù)是

試一試4：兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍,多少。先抓住錯(cuò)誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：13

另一個(gè)因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？X56+52=780＜所以，正確的商是：780?

例5：兩數(shù)相除，如果被除數(shù)擴(kuò)大4倍，除數(shù)65=12o

縮小2倍，商將怎樣變化？試一試1：小虎在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1250

分析：被除數(shù)擴(kuò)大4倍，商就擴(kuò)大4倍；除數(shù)寫成1205,結(jié)果得到的商是48,余數(shù)是5o

縮小2倍，商就擴(kuò)大2倍。商先擴(kuò)大4倍，接正確的商應(yīng)該是多少？

著又?jǐn)U大倍,商將擴(kuò)大倍。

24X2=8例2：小芳在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)32錯(cuò)寫成

試一試：兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小倍，除

512320,結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？

數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？

分析：根據(jù)題意，把除數(shù)32改成320擴(kuò)大到

專題十變化規(guī)律〔二〕

原來的10倍，又因?yàn)楸怀龜?shù)不變，根據(jù)商的

專題簡析：前面，我們學(xué)習(xí)了和、差、積、商

變化規(guī)律，正確的商應(yīng)該是錯(cuò)誤商的10倍。

的變化規(guī)律?，F(xiàn)在，我們利用這些規(guī)律來解決

所以正確的商應(yīng)該是48X10=480。

一些較簡單的問題。

試?試2：小馬在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1280

例1：兩數(shù)相減，被減數(shù)減少8,要使差減少

誤寫成12800,得到的商是32。正確的商應(yīng)該

12,減數(shù)應(yīng)有什么變化？

是多少？

分析：被減數(shù)減少8,假設(shè)減數(shù)不變，差也減

例3：小冬在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)

少8；現(xiàn)在要使差減少12,減數(shù)應(yīng)增加12-

137錯(cuò)寫成173,這樣商比原來多了3,而余

8=4o數(shù)正好相同。正確的商和余數(shù)是多少？

試一試1：兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加6,要

分析：因?yàn)楸怀龜?shù)137被錯(cuò)寫成了173,被除

使差增加15,減數(shù)應(yīng)有什么變化？

數(shù)比原來多了173-137:36,又因?yàn)樯瘫仍瓉?/p>

例2：兩個(gè)數(shù)相除，商是8,余數(shù)是20,如果

多了3,而且余數(shù)相同，所以除數(shù)是36+3=12。

被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余

又由137:12=11……5,所以余數(shù)是5。

數(shù)是多少？

試一試3：劉強(qiáng)在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被

分析：兩數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同

除數(shù)137錯(cuò)寫成174,結(jié)果商比原來多3,余

的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。所以

數(shù)比原來多10求這道除法算式的除數(shù)和余數(shù)。

商是8,余數(shù)是20X10=200。

例4：小龍?jiān)谧鰞晌粩?shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一

試一試2：兩個(gè)數(shù)相除，商是8,余數(shù)是600。

個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字4錯(cuò)當(dāng)作1,乘得的結(jié)果是

如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小100倍,商是多

525,實(shí)際應(yīng)為600。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？

少？余數(shù)是多少？

分析：一個(gè)因數(shù)的個(gè)位4錯(cuò)當(dāng)作1,所得的結(jié)

例3：兩數(shù)相乘，積是48。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大

果比原來少了（4-1）個(gè)另一個(gè)因數(shù)；實(shí)際的

2倍，另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，那么積是多少？

結(jié)果與錯(cuò)誤的結(jié)果相差600-525=75,可以組成多少和不同的信號(hào)？

另一個(gè)因數(shù)=75+3=25分析：要使信號(hào)不同，每?種信號(hào)顏色的順序

一個(gè)因數(shù)=600+25=24就不同。把這些不同的信號(hào)一一列舉如下：

試一試4：小菊做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)，紅燈排在第一位置時(shí)，有兩種不同的信號(hào)，

把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字1誤寫成7,結(jié)果得黃燈排在第一位置時(shí)，有兩種不同的信號(hào)，

藍(lán)燈排在第一位置時(shí)，有兩種不同的信號(hào)。

646,實(shí)際應(yīng)為418。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？

因此，共有2X3=6種不同的排法。

例5：方方和圓圓做一道乘法式題，方方誤將

試一試3：小紅有3種不同顏色的上衣，4種

一個(gè)因數(shù)增加14,計(jì)算的積增加了84,圓圓不同顏色的裙子，問她共有多少種不同的穿

誤將另一個(gè)因數(shù)增加14,積增加了168。那么,法？

后4：在一次足球比賽中，4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，

正確的積應(yīng)是多少？

分析：由“一個(gè)因數(shù)增加14,十算結(jié)果增加需要比賽多少場？（兩個(gè)隊(duì)之間比賽一次稱為

了84”可知另一個(gè)因數(shù)是84+14=6；又由“另1場）

分析1：4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，即每兩個(gè)隊(duì)都要

一個(gè)因數(shù)增加14,積增加了168”可知，這個(gè)

賽一場。設(shè)4個(gè)隊(duì)分別為A、B、C、D那么：

因數(shù)是168+14=12。所以正確的積應(yīng)是I2XA隊(duì)和其他3個(gè)隊(duì)各比賽1次，要賽3場；

6=72oB隊(duì)和其他兩個(gè)隊(duì)還要各比賽1次，要賽2場；

試一試5：兩個(gè)數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)增加3,C隊(duì)還要和D隊(duì)比賽1次，要賽1場。

另一個(gè)因數(shù)不變，那么積增加1B；如果一個(gè)這樣，一共需要比賽3+2+1=6〔場）。

因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)減少4,那么枳減少分析2；4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，即每兩個(gè)隊(duì)都要

賽一場。那么每個(gè)隊(duì)都要賽3場，共賽4X3=12

200原來的積是多少？

o場。這樣就重復(fù)算了兩次，因此實(shí)際共賽：12

專題十二簡單列舉4-2=6（場）

專題簡析：直接列式解答比擬困難時(shí)，可采用試一試4：在一次羽毛球賽中，8個(gè)隊(duì)進(jìn)行循

一一列舉的方法解決。（根據(jù)題目的要求，通環(huán)賽，需要比賽多少場？

過一一列舉各種情況最終到達(dá)解答整個(gè)問題

的方法叫做列舉法。）專題十三和倍問題

例題1從南通到上海有兩條路可走，從上海專題簡析：兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)

到南京有3條路可走。王叔叔從南通經(jīng)過I:海系，求這兩個(gè)數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問

到南京去，有幾種走法？題。解答和倍應(yīng)用題的根本數(shù)量關(guān)系是：

分析：為了幫助理解，先畫一個(gè)線路示意圖。和彳（倍數(shù)+1）;小數(shù)

從南通到上海有兩條路，每條路經(jīng)上海到南京小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

都有3條路;即有2個(gè)3條路：3X2=6（種）（和一小數(shù)二大數(shù)）

試一試1：從甲地到乙地，有兩條直達(dá)鐵路，

例1：學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技

從乙地到丙地，有4條直達(dá)公路。那么，從甲

書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各多少本？

地到丙地有多少種不同的走法？

分析：為了便于理解題意，我們畫圖來分析

例2：有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0o從

把故事書的本數(shù)看作一份，科技書的本數(shù)

中挑出兩張排成一個(gè)兩位數(shù)，一共可以排成多

就是這樣的3份,兩種書的總本數(shù)就是1+3=4

少個(gè)兩位數(shù)？

份。把480本書平均分成4份，1份是故事書

分析：排成時(shí)要注意"0”不能排在最高位。

的本數(shù)，3份是科技書的本數(shù)。

十位上排6,個(gè)位有兩種選擇：60,63；

故事書:480+（14-3）=120（本）

十位上排3,個(gè)位有兩種選擇：30,60o

一共可以排成2X2=4［個(gè)）兩位數(shù)?？萍紩?20X3=360（本）

試一試2：用8、6、3、0這四個(gè)數(shù)字，可以試一試1：一塊長方形黑板的周長是96分米,

組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？最大的一個(gè)是多長是寬的3倍。這塊長方形黑板的長和寬各是

少？多少分米？

例3：用紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)燈組成一種信號(hào)，例2：果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200

棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的米，甲隊(duì)筑了400X2=800米，丙隊(duì)筑了400

棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹一240=160米。

各有多少棵？試一試5：三個(gè)植樹隊(duì)共植樹1900棵，甲隊(duì)

分析：如果把蘋果樹的棵數(shù)看作I份，三種樹植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)少植

的總棵數(shù)是這樣的1+3+4=8份。所以，300棵。三個(gè)隊(duì)各植樹多少棵？

蘋果樹:1200+8=150（棵）

第十四周植樹問題

梨樹:150X3=450（棵）

桃樹:150X4=600（棵）專題簡析：

試一試2：李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)1.線段上的植樹問題可以分為以下三種情形：

雞的只數(shù)是鵝的3倍,養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。（1）兩端都要植樹：棵數(shù)二段數(shù)+1;

雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？（2）一端植樹：棵數(shù)二段數(shù)；

例3：有三個(gè)書櫥共放了330本書，第二個(gè)書（3）兩端都不植樹:棵數(shù)二段數(shù)一1。

櫥里的書是第一個(gè)的2倍，第三個(gè)書櫥里的書2.在封閉的路線上植數(shù)：棵數(shù)二段數(shù)。

是第二個(gè)的4倍。每個(gè)書櫥里各放了多少本例1：城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹28

書？棵，每隔6米栽一棵。這條路長多少米？

分析：把第一個(gè)書櫥里的本數(shù)看作I份，第二分析：28棵梃之間有28-1=27段，每隔6

個(gè)書櫥里的木數(shù)是這樣的2份，第三個(gè)就是這米為一段，所以這條大路長6X27=162米。

樣的2X4=8份，三個(gè)書櫥里的總本數(shù)就是這試一試1：一條路長200米，在路的一旁從頭

樣的1+2+8=11份。所以，至尾每隔5米植一棵樹，一共要植多少棵？

第一個(gè)書櫥：330+11=30（本）例2：在一個(gè)周長是240米的游泳池周圍栽樹，

笫二個(gè)書櫥：30X2=60（本）每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

第三個(gè)書櫥：60X4=240（本）分析：游泳池是封閉線路，植樹的棵數(shù)和段數(shù)

試一試3：甲、乙、丙三個(gè)修路隊(duì)共修路1200相等。240+5=48（棵）

米，甲隊(duì)修的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)修的數(shù)試一試2：在圓形的水池邊，每隔3米種一棵

數(shù)是丙隊(duì)的3倍。三個(gè)隊(duì)各修了多少米？樹，共種樹60棵，這個(gè)水池的周長是多少米？

例4：少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹例3；在一座長800米的大橋兩邊掛彩燈，起

的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了點(diǎn)和終點(diǎn)都掛，一共掛了2（）2盞，相鄰兩盞之

多少棵？間的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距

分析：如果楊樹少種20棵，楊樹的棵數(shù)恰好離。

是柳樹的3倍。柳樹1份和楊樹3份的總棵數(shù)分析：大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各

是216-20=196（棵）,掛202+2=101盞，101盞彩燈把800米長的

柳樹棵數(shù)：196+（1+3）=49（喋）大橋分成101—1=100段，所以，相鄰兩盞彩

楊樹棵數(shù)：216-49=167（棵）燈之間的距離是8004-100=8米。

試一試4：小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競賽，兩試一試3：六年級(jí)學(xué)生參加播送操比賽，排了

人共得168分，小華的得分比小明的2倍少5路縱隊(duì),隊(duì)伍長20米，前后兩排相距1米。

42分。兩人各得多少分？六年級(jí)有學(xué)生多少人？

例5：三個(gè)筑路隊(duì)共筑路1360米，甲隊(duì)筑的例4：一個(gè)木工鋸一根19米的木料，他先把

米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)多240米。三一頭損壞局部鋸下來1米，然后鋸了5次，鋸

個(gè)隊(duì)各筑多少米？成同樣長的短木條。每根短木條長多少米？

分析：把乙隊(duì)的米數(shù)看作1份，甲隊(duì)筑的米數(shù)分析：把長19—1=18米的木條鋸了5次，以

是這樣的2份。假設(shè)丙隊(duì)多筑240米，那么三鋸成5+1=6段，每根短木條長18+6=3米。

個(gè)隊(duì)共筑了1360+240=1600米，正好是乙隊(duì)試一試4：有一個(gè)工人把長12米的圓鋼鋸成

的2+1+1=4倍。所以，乙隊(duì)筑了16004-4=40073米長的小段，鋸斷一次要5分鐘。共需要

多少分鐘？成的一個(gè)長方形養(yǎng)雞場（如以下圖），求養(yǎng)雞

例5：有一幢10層的大樓，由于停電電梯停場的占地面積。

開，某人從1層走到3層需要30秒，照這樣分析：因?yàn)橐恢崩弥鴫?，所以兩條長加一條

計(jì)算，他從3層走到1（）需要多少秒？寬等于16米。而寬是4米，那么長是（16-4）

分析：1層至3層有兩個(gè)間隔，所以每個(gè)間隔+2=6米，占地面積是6X4=24平方米。

用去的時(shí)間是30?13-1）=15秒，3層到10試一試3：以下圖是某個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長

層經(jīng)過了10—3=7個(gè)時(shí)間間隔，所以，他從313米的籬笆圍成的一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，求養(yǎng)

層到10層需要15X7=105秒。雞場的占地面積。

試一試5：時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，6秒鐘敲完。那例4：街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1

么12點(diǎn)鐘敲12下，多少秒鐘敲完？米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平

方米，中間花壇的面積是多少平方米？

第十五周圖形問題

分析：把水泥路分成四個(gè)同樣大小的長方形

專題簡析：解答“圖形面積”問題時(shí)，應(yīng)注意（如以下圖）。因此，一個(gè)長方形的面積是12

以下幾點(diǎn)：?4=3平方米。因?yàn)樗嗦穼?米，所以小長

1、根據(jù)題意,畫出圖形。方形的長是3+1=3米。從圖中可以看出正方

2、合理地進(jìn)行切拼。形小正方形的邊長是3—1=2米。中間花壇的

3、掌握圖形木質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計(jì)面積是2X2=4平方米。

算，使隱蔽的數(shù)晟關(guān)系明朗化。試一試4：有一個(gè)正方形的水池，如以下圖的

例1：人民路小學(xué)操場長90米，寬45米。改陰影局部，在它的周圍修一個(gè)寬8米的花池，

造后，長增加10米，寬增加5米。現(xiàn)在操場花池的面積是480平方米，求水池的邊長。

面積比原來增加了多少平方米？

第十六周巧妙求和〔二〕

分析：用操場現(xiàn)在的面積減去操場原來的面

積，就得到增加的面積。專題簡析：

現(xiàn)在面積：（90+10）X[45+5）=5000平方米某些問題，可以轉(zhuǎn)化為求假設(shè)干個(gè)數(shù)的

原來面積：90X45=4050平方米和。先判斷是否是求某個(gè)等差數(shù)列的和。如果

現(xiàn)在比原來增加：50004050=950平方米足等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。

試一試1：一塊長方形鐵板，長18分米，寬例1：劉俊讀一本長篇小說，他第一天讀30

13分米。如果長和寬各減少2分米，面積比頁，從第二天起，他每天讀的頁數(shù)都比前一天

原來減少多少平方分米？多3頁，第11天讀了60頁，正好讀完。這本

例2：一個(gè)長方形，如果寬不變，長增加6米,書共有多少頁？

那么它的面積增加54平方米：如果長不變，分析：根據(jù)“每天讀的頁數(shù)都比前一天多3

寬減少3米，那么它的面積減少36平方米.頁〃可知他每天讀的頁數(shù)是按一定規(guī)律排列

這個(gè)長方形原來的面積是多少平方米？的數(shù)，即30、33、36...........57、60。這列數(shù)

分析：由“寬不變，長增加6米，面積增加是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)=30,末項(xiàng)=60,項(xiàng)數(shù)=11

54平方米”可知，它的寬為54+6=9米；由帶入等差數(shù)列求和公式，得：

“長不變，寬減少3米，面積減少36平方米"（30+60]X）14-2=495（頁）

可知，它的長為36+3=12米。所以，這個(gè)長試一試1：麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會(huì)了6

方形原來的面枳是12X9=108平方米。個(gè)，以后每