.5平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)：性質(zhì)一：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。即兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)二：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。即兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)三：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。鞏固課內(nèi)例1:兩直線平行，同位角相等1．如圖，直線，交于，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，故選：A．2．如圖，，直線l分別與，相交，若，則度數(shù)為．【答案】130【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：1303．如圖，已知直線，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，，，．鞏固課內(nèi)例2:平行線的性質(zhì)與判定——同位角相等1．如圖，燒杯內(nèi)液體表面與燒杯下底部平行，光線從液體中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)在射線上．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)．由平行線的性質(zhì)推出，即可求出．【詳解】解：∵，，，．故選：A．2．如圖所示，直線，平分，若，則的度數(shù)是．【答案】或度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可．【詳解】∵，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，且，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵直線，∴，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直的定義和平角的概念，熟知兩直線平行，同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．鞏固課內(nèi)例3:兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等1．如圖，點(diǎn)在射線上，直線，那么的度數(shù)為（

）A． B．60° C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖示可得，結(jié)合得到，由此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：D．2．如下圖，直線a，b被直線c所截，若，，則．【答案】【分析】本題考查了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條交叉直線的對頂角相等，先根據(jù)圖形得到對頂角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得到結(jié)果，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可得的對頂角和的對頂角互為內(nèi)錯(cuò)角，∵，∴的對頂角和的對頂角互為內(nèi)錯(cuò)角，并且相等，∵對頂角相等，則，故答案為：．3．已知：如圖，點(diǎn)、分別在、上，，，，請說明：．（不必注明依據(jù)）【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，得出，根據(jù)平行線的判定得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：∵，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．鞏固課內(nèi)例4:兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)1．如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了AB，CD兩條平行管道，并有縱向管道連通．若，則的度數(shù)是（

）A． B．60° C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，，故選：B．2．如圖，，那么的度數(shù)為．【答案】/130度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)并熟練運(yùn)用，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．3．如圖，，，．求和的度數(shù)．

【答案】，．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，“兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”求出和的度數(shù)即可．【詳解】解：，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型一、平行的性質(zhì)——同位角相等1．如圖，直線a，b被直線c所截，，，則的余角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，余角的定義，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行的性質(zhì)求出的補(bǔ)角，即可求出，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)的鄰補(bǔ)角為，，，，，故的余角為．故選A．2．如圖，，與分別相交于點(diǎn)O、D，，則°．【答案】130【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：130．3．如圖，，平分，與相交于，．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)（兩直線平行同位角相等），平行線的判定（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）等知識點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得，于是可得，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】證明：平分，，，，，，．類型二、平行的性質(zhì)——內(nèi)錯(cuò)角相等1．如圖，于點(diǎn)，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，利用垂直的定義得出，再利用平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)．【詳解】解：∵于點(diǎn)C，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．2．如圖，直線．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，結(jié)合直線，得，，，即可作答．【詳解】解：∵，∴，，，其中所有正確結(jié)論的序號是①③④，故答案為：①③④．3．如圖，點(diǎn)、、分別是的邊AB、、上的點(diǎn)，且，．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，然后由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．類型三、平行的性質(zhì)——同旁內(nèi)角互補(bǔ)1．如圖，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，根據(jù)垂線的定義得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．2．如圖，是的平分線，直線，若，則的大小為．【答案】/度【分析】本題考查了角平分線，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的知識點(diǎn)．根據(jù)平行線的性質(zhì)可求，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求．【詳解】解：，，，是的平分線，，．故答案為：．3．已知：如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可證明．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．類型四、平行線之間的距離1．能表示兩條平行線間距離的線段有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】D【分析】本題考查平行線間距離的定義，正確理解該定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線間的距離定義，即可選擇．【詳解】解：因?yàn)槠叫芯€是兩條向兩邊無限延伸的直線，又因?yàn)閮蓷l平行線中，一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長度叫兩條平行線間的距離，所以表示這兩條平行線間距離的線段有無數(shù)條．故選D．2．如圖，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線上，，如果，，，那么平行線，之間的距離為．【答案】8【分析】本題考查了平行線之間的距離，關(guān)鍵是掌握平行線之間距離的定義．從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，由此可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴平行線a、b之間的距離為，故答案為：8．3．如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)(3)大于0小于等于5【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，從而得到，再由平行線的判定即可得到；（2）由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）過點(diǎn)作于，連接，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，又，，；（2）解：由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，即設(shè)三角形的邊上的高為，由三角形的面積計(jì)算公式可得：，即，解得：，與之間的距離為2.4；（3）解：過點(diǎn)作于，連接，

，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為大于0小于等于5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積公式，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型一、平行的性質(zhì)與對頂角相等結(jié)合1．如圖，已知直線、被直線所截．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．首先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，【詳解】如圖所示，∵∴．故選：B．2．小紅同學(xué)以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展探究活動(dòng)．如圖，在直角三角形中，已知，，，直線．（1）如圖1，直線與線段相交不過點(diǎn)，若，求度；（2）如圖2，小紅同學(xué)把直線繼續(xù)向上平移，使得直線與線段相交不過點(diǎn)，設(shè)，，求與之間的關(guān)系式為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；（1）利用兩直線平行同位角相等，求出的同位角即可；（2）綜合利用兩直線平行，同位角和內(nèi)錯(cuò)角相等，用表示出，通過等量代換即求出．【詳解】（1）如圖，，，，．故答案為：．（2）如圖（2），過點(diǎn)作，則，．由（1）知，，即．即．故答案為：．3．如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)N在線段CD上，與交于點(diǎn)M，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行進(jìn)行判斷即可；（2）先求出的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等得到的度數(shù)即可．【詳解】（1）證明：，，，又，，．（2）解：，，，，，，，．類型二、平行的性質(zhì)與余、補(bǔ)角結(jié)合1．如圖，直線，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平移，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵．由平行線可得，再結(jié)合三角板的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，故選：A．2．如圖，，平分．若，則的度數(shù)為°．【答案】110【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出，進(jìn)而得到，，再結(jié)合角平分線的惡性一定義，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，平分，，，故答案為：110．3．如圖，交于點(diǎn)F，點(diǎn)C在的延長線上，．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求證：．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合平行線判定和性質(zhì)和角的關(guān)系求得，，從而求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理論證．【詳解】（1）解：，，．，，即．（2）證明：由（1），可知，．又，，類型一、折線模型1．如圖，，，則，與之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加平行線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得，，，所以，再證明，即可代入得到答案．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，，，，，，，，，．故選：B．2．如圖，，分別交、于點(diǎn)、，平分，平分，平分，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是．（只填序號）①；②；③；④【答案】①②④【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)判斷即可求解；【詳解】解：平分，平分，，，，，，，；；平分，平分，，，；根據(jù)題中條件無法判斷，故③錯(cuò)誤；綜上所述；四個(gè)結(jié)論中正確的有①②④；故答案為：①②④3．如圖，已知直線，直線和直線、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，、分別是直線、上的定點(diǎn)．設(shè)，，．(1)若點(diǎn)在線段（、兩點(diǎn)除外）上）運(yùn)動(dòng)時(shí)，問、、之間的關(guān)系是什么？說明理由．(2)在的前提下，若點(diǎn)在線段之外時(shí)，、、之間的關(guān)系又怎樣？【答案】(1)，理由見解析(2)或【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作，根據(jù)可知，故可得出，，再由即可得出結(jié)論；（2）由于點(diǎn)P的位置不確定，故應(yīng)分當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上與點(diǎn)P在線段的延長線上兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】（1）解：．理由如下：如圖，過點(diǎn)作，因?yàn)?，所以，所以，．又因?yàn)?，所以；?）解：①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，．理由如下：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以；②?dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，．理由如下：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．類型二、平行線中的數(shù)量關(guān)系1．如圖，已知，且，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系．過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得角之間的關(guān)系，從而與的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖：

因?yàn)閯t，，，，，，故選：A．2．如圖，已知，E是平行線間一點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)與的平分線交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（或）【分析】過E點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則可得．同理過F點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，同理可得，即可得解．本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握以上知識，并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過E點(diǎn)作直線，，，，，．同理，過F點(diǎn)作直線，則，∵平分，平分，∴，，∴，即．同理，過P點(diǎn)作直線則，∵平分，平分，，（或）．故答案為：（或）．3．已知．(1)如圖1，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，平分，，請利用（1）的結(jié)論求的大??；(3)如圖3，平分，平分，兩角平分線交于點(diǎn)，結(jié)合（1）的結(jié)論求與的關(guān)系．【答案】(1)，見解析(2)(3)，見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線等知識點(diǎn)，掌握平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：過點(diǎn)G作，易得，由平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可解答；（2）由角平分線定義可得，設(shè)，則、；結(jié)合（1）的結(jié)論可得、，再結(jié)合可得，同理可得，然后代入數(shù)據(jù)即可解答；（3）由角平分線定義可得，設(shè)，則、；結(jié)合（1）的結(jié)論可得、，進(jìn)而得到、，然后觀察即可解答．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖：過點(diǎn)G作，∵，∴，∴，∴，即．（2）解：∵平分，平分，∴，設(shè)，則，由（1）的結(jié)論可得：，，∵∴，解得：，∴．（3）解：∵平分，平分，∴，設(shè)，則，由（1）的結(jié)論可得：，，∴，，∴．類型三、平行線中的角平分線1．如圖，直線，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)F在直線上，N為、之間一點(diǎn)，連接并延長交的角平分線于點(diǎn)G，且平分，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出、、之間的關(guān)系，再結(jié)合求出，最后根據(jù)對頂角相等即可得解問題．【詳解】解：如圖：令與的交點(diǎn)為，，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點(diǎn)，，則．【答案】/82度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，四邊形內(nèi)角和定理等．過F作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，可得，，進(jìn)而可得，，利用四邊形內(nèi)角和為360度，可得，再結(jié)合即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過F作，∵，∴，∵的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點(diǎn)F，∴可設(shè)，，∴，，∴四邊形中，，即，①又∵，∴，②∴，解得，故答案為：．3．如圖，直線與直線分別交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)如圖，在（）的條件下，與的角平分線交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，求證：．(3)如圖，在（）的條件下，連接，是上一點(diǎn)，且，若，請直接寫出的度數(shù)（不需要寫過程）．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)對頂角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行即可判斷直線與直線平行；（）先根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再根據(jù)與的角平分線交于點(diǎn)，可得，進(jìn)而證明；（）根據(jù)平角定義及角的和差計(jì)算即可得到結(jié)論；本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角相等，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，，∴，∴；（2）由（）知，∴，又∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴，∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，，∴．類型四、平行線中的旋轉(zhuǎn)平行求t1．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，為了安全起見，在某段“中歐鐵路”的兩旁安裝了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖所示，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒3度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，鐵路兩旁是平行的，即．若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)_____秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．（

）

A．20 B．10或85 C．10或95 D．20或95【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用；設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，分三種情況討論，，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)建立方程并求解即可；【詳解】解：設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，當(dāng)時(shí)，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)至，燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)至，則，，如圖一，

，，，，，．，解得：；當(dāng)時(shí)，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)至立即回轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)至，燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)至，則，，如圖二，

，，，，，．，，，；當(dāng)時(shí)，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)至立即回轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)至，燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)至，則，，如圖三，

，，，，，．，，不符合題意，綜上所述，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，故選：B；2．如圖所示的是激光位于初始位置時(shí)的平面示意圖，其中，是直線上的兩個(gè)激光燈，，現(xiàn)激光繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)激光繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，的值為．【答案】12或48或84【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握一元一次方程，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．分情況討論：①，在直線l上方，得；②在直線l下方，直線l上方，得；③，都在直線l下方，得；④，在直線l上方和下方，得，分別解方程即可．【詳解】解：分情況討論：①當(dāng)，在直線l上方時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，則，，；②當(dāng)在直線l下方，直線l上方時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，則，，；③當(dāng)，都在直線l下方時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，則，，；④當(dāng)在直線l上方，直線l下方時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，則，，（舍去），為12或48或84，故答案為：12或48或84．3．如圖，已知，P是直線間的一點(diǎn)，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，．(1)°；(2)如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)垂直時(shí)，立刻按原速返回至后停止運(yùn)動(dòng)；射線從出發(fā)，以每秒的速度繞E點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至后停止運(yùn)動(dòng)，若射線，射線同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】(1)30(2)①或；②秒或秒或秒【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作，根據(jù)即可求解；（2）分情況討論：當(dāng)在和之間時(shí)，當(dāng)在和之間時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；分情況討論，根據(jù)根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）過點(diǎn)P作∵∴∵∴∵∴（2）①當(dāng)在和之間時(shí)，如圖2，∵，∴，∴射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴射線旋轉(zhuǎn)的角度，又∵，∴；當(dāng)在和之間時(shí)，如圖3所示，∵，∴，∴射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴射線旋轉(zhuǎn)的角度，又∵，∴；∴的度數(shù)為或；②I．當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖4時(shí)，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，則，即，解得（秒）；Ⅱ．當(dāng)垂直時(shí)，立刻按原速返回到時(shí)，與相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，則，即，解得；Ⅲ．當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖時(shí)，，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，則，即，解得（秒），∴當(dāng)t的值為秒或秒或秒時(shí)，．1．如圖，燒杯內(nèi)液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線從液體中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)在射線上，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C．60° D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，由，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，故選：B．2．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，，，與CB平行，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，CD都與地面l平行，，，，，，，故選：A．3．如圖，已知，，垂足為，、分別是和的平分線，則下列五種說法：①；②；③；④；⑤．其中一定正確的個(gè)數(shù)為（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查了垂線的定義，角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)已知條件及角平分線性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】，，故①正確；平分，，．又，∴，，故②正確；，，故④正確；、分別平分、，，，∴，即，故③正確；無法證明，故無法證明，故⑤錯(cuò)誤故正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選C．4．如圖，且被直線所截，，則的度數(shù)是．【答案】/110度【分析】此題考查了對頂角以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對頂角以及平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，故答案為：，5．如圖，是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，，則的度數(shù)為．【答案】/50度【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖所示，作，可得，，由，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過E點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴路政工程車的工作示意圖中的度數(shù)為，故答案為：．6．[傳統(tǒng)文化]為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，讓學(xué)生感受中國的傳統(tǒng)文化，某校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)——“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小聰把它抽象成了數(shù)學(xué)問題：如圖②，已知，，則的度數(shù)是．【答案】/23度【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，作，得到，再結(jié)合，得到，求出，最后根據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示：作，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．7．如圖，已知，，則與平行嗎？請說明理由．【答案】平行，理由見解析【分析】本題考查了根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證明，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．結(jié)合已知條件，根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證得，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得，結(jié)合已知條件，可得，再根據(jù)同位角相等兩直線平行即可得出結(jié)論．【詳解】解：平行，理由如下：，，，又，，，答：與平行．8．如圖，已知，求的度數(shù)．請將下面的解答過程解：（已知），___________（

），又（已知），（

）___________（

）（

）（已知），___________．【答案】；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，先由兩直線平行，同位角相等得到，進(jìn)而可得，則可證明，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（已知），（兩直線平行，同位角相等），又（已知），（等量代換），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），（已知），．故答案為：；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；．9．將一副三角板按圖1方式擺放，分別作出的平分線