第第頁廣東韶關(guān)實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)全集U=R，集合A=x|?1≤x≤1，B={?2,?1,0,1,2}，則A．{2} B．{?2,2} C．{?1,0,1} D．{0,1,2}2．已知向量a=2,1,b=A．3 B．-3 C．1 D．-13．cosA．12 B．?12 C．34．函數(shù)f(x)A． B．C． D．5．以斜邊長為2的等腰直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為（）A．2π B．22π C．46．已知m,n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，則下列說法正確的是（）A．若直線m,n與平面α所成角相等，則m//nB．若平面α上有三個不同點到平面β的距離相等，則α//βC．若m上有兩個不同點到平面α的距離相等，則m//αD．若m?α,n?β,m//β,n//α，且直線m,n異面，則α//β7．一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過3h，則船實際航程為（）A．215km B．6km C．221km D．8km8．如圖，某工程隊將從A到D修建一條隧道，工程隊從A出發(fā)向正東行103km到達B，然后從B向南偏西45°方向行了一段距離到達C，再從C向北偏西75°方向行了42A．278 B．253 C．238二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)m=?1時，復(fù)數(shù)z=m+1+m?1B．復(fù)數(shù)z=1+C．復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3?D．復(fù)數(shù)6+5i與?3+4i分分別對應(yīng)向量OA與OB，則向量10．已知π3是函數(shù)f(x)=2aA．a(chǎn)=B．函數(shù)fx的值域為C．函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為D．不等式fx≥011．已知點O是平面直角坐標(biāo)系的原點，點A的坐標(biāo)為1,2，點B的坐標(biāo)為4,5，作AD⊥OB，垂足為D，則下列結(jié)論正確的是（）A．ABB．設(shè)OP=mC．將OB繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到向量OB1，則D．|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知復(fù)數(shù)z=2i1?i，則|z|=13．若?π4<α<π4且cosπ14．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M為棱CC1的中點，記過點B四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b（1）求B；（2）若a=1,b=3，求△ABC16．?dāng)?shù)學(xué)家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理.例如：如圖甲，在△ABC中，D為BC的中點，則在△ABD中，有AD=AB+BD，在△ACD中，有AD=AC+（1）如圖乙，請用“算兩次”的方法證明：2EF（2）如圖乙，若AB=1,DC=2,AB與DC的夾角為60°，求EF與AB17．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：C1F//（2）求證：平面ABE⊥平面BC（3）若AB=BC=AA1=218．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)?1(A>0,ω>0,0<φ<π)的最大值為1，其圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為π2（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）已知常數(shù)λ∈R，n∈N*，且函數(shù)F(x)=f(x)?λsinx19．設(shè)函數(shù)fx的定義域為D，對于區(qū)間I=a,ba<b,I?D性質(zhì)1：對任意x∈I，有fx性質(zhì)2：對任意x∈I，有fx（1）分別判斷區(qū)間1,4是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”，并說明理由；①y=?x+5②y=（2）若0,2是函數(shù)y=?x2+2mx（3）已知函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，且fx只能滿足性質(zhì)2.求證：函數(shù)y=fx

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得?UA=xx<?1或x>1，

故答案為：B.【分析】根據(jù)集合交集、并集和補集的運算法則，從而得出集合?U2．【答案】B【解析】【解答】解：依題意，a+b=1,1+λ，

由(a+b)⊥a故答案為：B.【分析】根據(jù)已知條件和向量加法的坐標(biāo)運算和向量垂直的坐標(biāo)表示，從而列式計算得出實數(shù)λ的值.3．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可知cos5π6=?【分析】根據(jù)已知條件和誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值，從而得出cos5π4．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=x3?ln|x|的定義域為{x|x≠0}，

滿足f故答案為：D.【分析】求函數(shù)的定義域，結(jié)合奇偶性定義判斷f(x)奇偶性，由解析式判斷f(15．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知：等腰直角三角形斜邊的高為1，腰長為2，該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為2個共底面，且底面半徑為1，母線長為2的圓錐拼接而成，所以所得幾何體的表面積為2×π故答案為：B.【分析】根據(jù)題意可知該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為2個共底面，且底面半徑為1，母線長為2的圓錐拼接而成，再結(jié)合圓錐的表面積公式得出將該三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.6．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：對于A，在正方體ABCD?A1B1C1D但A1對于B，因為直線B1C1故平面B1C1但平面ABCD與平面B1對于C，因為點A,C到平面BDD1B1的距離相等，但直線對于D，若m?α，m//β，故過m可作一平面γ，使得λ∩β=m'，則因為m，n異面，n?β，所以m'，n相交，

否則m'//n這與m，n異面矛盾，所以m'，n相交，

結(jié)合m'，n?β，m'則α//β，故D正確．故答案為：D．

【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系，從而逐項判斷找出說法正確的選項．7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)船的速度為a，水的速度為b，則船的實際航行速度為a+(=16+2×4×2×=12|a+船實際航程為23故答案為：B?！痉治觥肯扔梢阎汛乃俣群退乃俣仍O(shè)為向量，表示出船的實際航行速度，再利用向量的運算，即可求出船實際航程.8．【答案】C【解析】【解答】解：連接AC，可得∠ABC=45°,∠ACD=75°?15°=60°,∠BCD=75°+45°=120°，∠ACB=60°,AB=103，CD=4在△ABC中，由正弦定理得ABsin則10332在△ACD中，由余弦定理得AD則AD=238故答案為：C．【分析】由題意，在△ABC中，由正弦定理得出AC的長，在△ACD中，由余弦定理得出AD的長．9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，當(dāng)m=?1時，z=0?2i對于B，因為z=(1+i)(1?i對于C，設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則z=a?bi，

由2z+z=3?i故z=1?i對于D，因為復(fù)數(shù)6+5i與?3+4i分別對應(yīng)向量OA與則向量BA表示的復(fù)數(shù)為6+5i故答案為：ACD．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的判斷方法，則判斷出選項A；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則得出復(fù)數(shù)z，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，再利用點的坐標(biāo)確定象限的方法，則判斷出選項B；根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)出復(fù)數(shù)z，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的判斷方法，從而得出復(fù)數(shù)z，則判斷出選項C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合向量的減法運算，則判斷出選項D，從而找出正確的選項.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=2asinA、因為π3是函數(shù)fx的一個零點，

所以fπB、由A可知：函數(shù)f(x)=3因為sin2x?π6∈?1,1，所以f(x)∈C、令2kπ+π則函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為kD、由選項B可知：當(dāng)2x?π6=2kπ?所以不等式fx故答案為：AC.【分析】將x=π3代入函數(shù)fx求解即可判斷A；整理可得f(x)=211．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意可得：OA=對于選項A：因為AB=3對于選項B：因為OP=m若四邊形OABP是平行四邊形，則OP=可得m+3=32m+3=3，解得m=0所以四邊形OABP有可能是平行四邊形，故B正確；對于選項C：設(shè)∠BOx=α，則BOBcosα,OBsin則OBcosOBsin所以B1的坐標(biāo)為?5,4對于選項D：由題意可知：OA在OB方向上的投影為OA?所以AD→故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)向量的模長的坐標(biāo)表示判斷出選項A；根據(jù)向量的線性運算結(jié)合向量相等，則判斷出選項B；根據(jù)三角函數(shù)值的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷出選項C；利用已知條件和數(shù)量積求向量投影公式以及勾股定理，從而得出|AD12．【答案】2【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z=2i1?i=則|z|=12+(故答案為：2．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．13．【答案】2；55【解析】【解答】解：因為?π4<α<π4可得sinπ所以tanπsinπ故答案為：2；55【分析】根據(jù)題意結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sinπ4+α=25514．【答案】17【解析】【解答】解：分別取BC,CD的中點E,F，連接B1則EF∥BD，且BB1∥DD1，BB1=DD1，

可知BB1因為AB⊥平面BCC1B1，B1又因為tan∠所以tan∠B1EB?tan∠MBC=1，可知∠B1EB+∠MBC=π2所以B1E⊥平面ABM，

由AM?平面ABM，可得連接AC,BD,A因為A1B1又因為AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1可得B1D1⊥平面AA1C1C，

由AM?平面A可得AM⊥平面B1EFD1，可知平面設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為2×2×2=8，

所以三棱臺B1C1可知VA=73，V=8?7故答案為：177.

【分析】作出輔助線，根據(jù)垂直關(guān)系證出直線AM⊥平面B1EFD1，可知平面α15．【答案】（1）解：bsinA=3因為A∈0,π，所以sinA≠0，sin又因為B∈0,π，所以（2）解：若a=1,b=3，B=π3可得3=1+c2?2×1×c×12則△ABC的面積S△ABC【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得tanB=3，即可求得角（2）由題意，利用余弦定理可得c=2，再結(jié)合面積公式求解即可.（1）因為bsinA=3且A∈0,π，則sinA≠0，可得sin且B∈0,π，所以（2）由余弦定理可得：b2即3=1+c2?2×1×c×12，整理可得c所以△ABC的面積S△ABC16．【答案】（1）證明：因為EF=則2EF且E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，

則EA+所以2EF（2）解：由題意可知：AB=1,由（1）可知：2EF=AB+DC則EF?EF2=14AB所以EF與AB的夾角的余弦值cosEF【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合“算兩次”的方法，再利用向量加法法則和中點的性質(zhì)，從而證出2EF（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可求EF?AB,EF，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式得出（1）因為EF=則2EF且E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則EA+所以2EF（2）由題意可知：AB=1,由（1）可知：2EF=AB則EF?EF2=1所以EF與AB的夾角的余弦值cosEF17．【答案】（1）證明：取AB的中點M，連接MF，因為F為棱BC的中點，所以MF//AC，MF=1又因為AC//A1C1，AC=A所以MF//EC1，所以四邊形MFC所以ME//C又因為C1F?平面ABE，ME?所以C1F//平面（2）證明：因為三棱柱ABC?A所以BB1⊥平面ABC，

又因為AB?平面ABC，

又因為AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1所以AB⊥平面BCC又因為AB?平面ABE，

所以平面ABE⊥平面BCC（3）解：取AC的中點G，連接EG，因為M為AB的中點，

所以MG//BC，又因為AB⊥BC，

所以MG⊥AB，因為直三棱柱的幾何特征可得EG⊥面ABC，又因為AB?面ABC，

所以EG⊥AB，又因為MG∩EG=G，MG?平面EMG，EG?平面所以AB⊥平面EMG，

又因為EM?平面EMG，

所以AB⊥EM，所以二面角E?AB?C的平面角為∠EMG，因為AB=BC=AA所以MG=1，EG=2，在Rt△EGM中，ME=所以cos∠EMG=所以二面角E?AB?C的余弦值為55【解析】【分析】（1）取AB的中點M，由中位線定理可得MF//AC，MF=12AC，從而判斷出四邊形MFC1E是平行四邊形，進而可得（2）由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面BCC1B1，再結(jié)合線面垂直證出面面垂直，從而證出平面（3）取AC的中點G，連接EG，先找到二面角E?AB?C的平面角為∠EMG，再根據(jù)勾股定理和余弦函數(shù)的定義，從而得出二面角E?AB?C的余弦值．（1）證明：取AB的中點M，連接MF，因為F為棱BC的中點，所以MF//AC，MF=1又AC//A1C1，AC=A所以MF//EC1，所以四邊形MFC所以ME//C又C1F?平面ABE，ME?所以C1F//平面（2）證明：因為三棱柱ABC?A所以BB1⊥平面ABC，又AB?平面ABC又AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1?所以AB⊥平面BCC又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCC（3）取AC的中點G，連接EG，因為M為AB的中點，所以MG//BC，又AB⊥BC，所以MG⊥AB，又直三棱柱的幾何特征可得EG⊥面ABC，又AB?面ABC，所以EG⊥AB，又MG∩EG=G，MG?平面EMG，EG?平面所以AB⊥平面EMG，又EM?平面EMG，所以AB⊥EM，所以二面角E?AB?C的平面角為∠EMG，因為AB=BC=AA所以MG=1，EG=2，在Rt△EGM中，ME=所以cos∠EMG=所以二面角E?AB?C的余弦值為5518．【答案】（1）解：依題意可知：A-1=1，可得A=2，因為T2=π2，所以T=π，且ω>0，

將f(x)的圖象向左平移π4得到的函數(shù)為g(x)=2sin因為g(x)圖象關(guān)于原點中心對稱，

則π2+φ=kπ，k∈Z，且所以f(x)=2sin（2）解：由題意可知：F(x)=2當(dāng)λ=0時，F(xiàn)(x)=1?4sin2x，則F(x)因為F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2025個零點，為奇數(shù)個零點，故由sinx≠0，F(xiàn)(x)=0，可得λ=設(shè)t=sinx∈[?1,1]，則可知h(t)在[?1,0)和(0,1]上遞減，且h(?1)=3，h(1)=?3.①若λ=3，由1sinx?4sinx=3則3×n?12+2=2025（n為奇數(shù)）或3?②若λ=?3，由1sinx?4sinx=?3由3×n?1或3?n2=2025③若?3<λ<3且λ≠0，F(xiàn)(x)在(0,nπ)內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)；④λ>3或λ<?3，F(xiàn)(x)在(0,nπ)內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)，綜上所述：λ=?3，n=1350．【解析】【分析】（1）由正弦型函數(shù)的最大值得出A的值，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式得出ω的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象變換得出變換后的函數(shù)解析式，則由正弦型函數(shù)的對稱性得出φ的值，從而得出正弦型函數(shù)f(x)的解析式.（2）先確定λ≠0，則sinx≠0，這樣零點問題轉(zhuǎn)化為λ=1sinx?4（1）依題意可知：A-1=1，可得A=2，T2=π2，即T=π則f(x)=2sin將f(x)的圖象向左平移π4得到的函數(shù)為g(x)=2sin因為g(x)圖象關(guān)于原點中心對稱，則有π2+φ=kπ且0<φ<π，φ=所以f(x)=2sin（2）由題意可知：F(x)=2當(dāng)λ=0時，F(xiàn)(x)=1?4sin2x，則F(x)因為F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2025個零點，為奇數(shù)個零點，故由sinx≠0，F(xiàn)(x)=0可得λ=設(shè)t=sinx∈[?1,1]，則可知h(t)在[?1,0)和(0,1]上遞減，且h(?1)=3，h(1)=?3，①若λ=3，由1sinx?4sinx=3則3×n?12+2=2025②若λ=?3，由1sinx?4sinx=?3則由3×n?1或3?n2=2025③若?3<λ<3且λ≠0，F(xiàn)(x)在(0,nπ)內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)；④λ>3或λ<?3，F(xiàn)(x)在(0,nπ)內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)．綜上所述：λ=?3，n=1350．19．【答案】（1）解：對于①，由一次函數(shù)y=?x+5的性質(zhì)得它在上1,4單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈1,4時，y∈1,4，

故區(qū)間1,4是y=?x+5的“Ω區(qū)間”；

對于②，由反比例函數(shù)y=2x的性質(zhì)得它在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈1,4時，y∈12,2，

此時不滿足y∈1,4（2）解：由題意知0,2是函數(shù)y=?x2+2mx的“Ω區(qū)間”，f0=0+0=0，所以滿足性質(zhì)1，所以fx=y=?x2+2mx，則f'x=?2x+2m，

①若m<0時，且x∈0,2，f'x=?2x+2m<0，

可知fx=y=?x2+2mx在x∈0,2上單調(diào)遞減，

所以m<00≤f2<f0≤2?m<00≤?4+4m<0≤2，

解之得出m不存在，故舍之；

②若0≤m≤2時，

在x∈0,m時f'x=?2x+2m>0，則fx在x∈0,m上單調(diào)遞增；

在x∈m,2時，f'x=?2