2.4.1利用二次函數(shù)解決圖形面積問題應(yīng)用二次函數(shù)解決圖形面積最值問題,通常根據(jù)幾何圖形的面積公式建立函數(shù)模型,求出二次函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)自變量的取值范圍求函數(shù)的最大值.[例1-1]某廠要設(shè)計(jì)一種長方體泡沫箱,要求箱子的底面周長為200cm,高為30cm,當(dāng)?shù)酌鎸挒?/p>

cm時(shí),長方體泡沫箱的體積最大,最大為

cm3(材質(zhì)和厚度等忽略不計(jì)).

探究點(diǎn)一利用二次函數(shù)解決幾何圖形的面積最值問題【新知探究】5075000[例1-2](2022威海)如圖所示,某農(nóng)場要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻,另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長25m,木柵欄長47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口(另選材料建出入門).求雞場面積的最大值.解:設(shè)矩形雞場與墻垂直一邊的長為xm,則與墻平行一邊的長為(47-2x+1)m,由題意,得y=x(47-2x+1)=-2(x-12)2+288(11.5≤x<24),∵-2<0,∴當(dāng)x=12時(shí),y取得最大值,最大值為288.∴雞場面積的最大值為288m2.【新知鞏固】1.(2024青島模擬)如圖所示,是一個(gè)長20m,寬16m的矩形花園,根據(jù)需要將它的長縮短xm,寬增加xm,要想使修改后的花園面積達(dá)到最大,則x應(yīng)為

m.

22.如圖所示的是400m跑道的示意圖,中間的足球場ABCD是矩形,兩邊是半圓,直道AB的長設(shè)為xm.(1)用含x的代數(shù)式表示BC為

;

(2)設(shè)矩形ABCD的面積為S.①S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為

;

②當(dāng)直道AB=

時(shí),矩形ABCD的面積最大.

100m3.(2024湖北)學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃,其中一邊靠墻,另外三邊用籬笆圍成.如圖所示,已知墻長42m,籬笆長80m.設(shè)垂直于墻的邊AB長為xm,平行于墻的邊BC為ym,圍成的矩形面積為Sm2.(1)求y與x,S與x的關(guān)系式.解:(1)由題意,知2x+y=80,∴y=-2x+80.由0<-2x+80≤42,且x>0,∴19≤x<40.由題意,知S=AB·BC=x(-2x+80)=-2x2+80x(19≤x<40).(2)圍成的矩形花圃面積能否為750m2,若能,求出x的值.(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)x的值.解:(2)由題意,令S=-2x2+80x=750,∴x=15(舍去)或x=25.答:當(dāng)x=25時(shí),圍成的矩形花圃的面積為750m2.(3)存在.由(1),得S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,又∵-2<0,且19≤x<40,∴當(dāng)x=20時(shí),S取最大值為800.∴圍成的矩形花圃面積存在最大值,最大值為800m2,此時(shí)x的值為20.探究點(diǎn)二動(dòng)態(tài)幾何圖形面積的最值問題【新知探究】[例2-1]如圖所示,在正方形ABCD中,AB=4,P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn),F為射線AD上一點(diǎn),若AP=PF,則S△APF的最大值是()C[例2-2]如圖所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),則多邊形BCQP面積的最小值是()A.0cm2

B.8cm2C.16cm2

D.24cm2B【新知鞏固】1.(2023齊齊哈爾改編)如圖所示,在正方形ABCD中,AB=4,動(dòng)點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā),沿射線AB,射線BC的方向勻速運(yùn)動(dòng),且速度的大小相等,連接DM,MN,ND.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為x(0≤x≤4),△DMN的面積為S,則S△DMN的最小值為

.

62.如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D,E分別在AC,BC邊上運(yùn)動(dòng),且始終保持DF⊥EF,則S△CDE的最大值為

.

3.如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,點(diǎn)P,Q分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs,△PBQ的面積為ycm2.(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式,