江蘇省通州高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，則（

）A． B．3 C． D．2．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則3．已知在邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC中，點(diǎn)E滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．4．已知三棱錐的體積為1，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，則直線PA與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．15．正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，高是，則它的側(cè)面積為（

）A．6 B． C．24 D．446．如圖，邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等邊三角形，若點(diǎn)到平面的距離為，則二面角的大小為（

）

A． B． C． D．7．在圓臺(tái)中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且點(diǎn)為該圓臺(tái)外接球球心，則圓臺(tái)的體積與外接球的體積之比為（）A． B． C． D．8．已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過(guò)點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若面積為，則，則D．若則10．已知都是復(fù)數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則或 B．若，則C．若，則是實(shí)數(shù) D．若，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且平面，過(guò)三點(diǎn)作正方體截面，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)為B．三棱錐的外接球表面積為C．三棱錐的體積為D．若Q為上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為三、填空題12．若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則的虛部為．13．如圖，在三棱柱中，E是棱上的一點(diǎn)，且，D是棱BC上一點(diǎn).若平面ADE，則的值為.14．如圖，四邊形是圓臺(tái)下底面圓的內(nèi)接四邊形，，C為底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，，為圓臺(tái)的母線，，圓臺(tái)上底面的半徑為1，則該圓臺(tái)的表面積為，四棱錐的體積的最大值為．四、解答題15．已知向量，，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，求向量與的夾角.16．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)，求的值；(2)若，求．17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面⊥底面，、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若，求證：平面；18．在三棱錐中，，其余各棱的長(zhǎng)均為6，點(diǎn)E在棱AC上，，過(guò)點(diǎn)E的平面與直線CD垂直，且與BC，CD分別交于點(diǎn)F，(1)求二面角的大??；(2)求線段FG的長(zhǎng)度；(3)求點(diǎn)C到平面DEF的距離．19．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，滿足，.(1)求；(2)若為銳角三角形，且外接圓圓心為，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）求和面積之差的最大值.

江蘇省通州高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)12345678910答案DDCCCADDACDACD題號(hào)11答案BCD1．D【詳解】故選：D2．D【詳解】若，，則有可能在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；若，，有可能在面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；若一平面內(nèi)兩相交直線分別與另一平面平行，則兩平面平行，故C錯(cuò)誤．若，，，則由直線與平面平行的性質(zhì)知，故D正確．故選D.3．C【詳解】如圖，因，則.故選：C.4．C【詳解】是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其面積為：因?yàn)槿忮F的體積為1和底面積，得：解得：設(shè)直線與平面所成角為，所以故選：C5．C【詳解】如圖，過(guò)作平面，作，連接，根據(jù)題意得，，所以，所以此正四棱臺(tái)的側(cè)面是4個(gè)全等的高為2的等腰梯形，所以側(cè)面積為.故選：.

6．A【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為E，連接，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，因?yàn)榫鶠榈冗吶切危?，故為二面角的平面角?/p>

又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，則點(diǎn)A到平面的距離為，又為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，故，故在中，，則，即，故二面角的大小為，故選：A7．D【詳解】過(guò)作圓臺(tái)的軸截面，如圖所示為該圓臺(tái)外接球球心，且圓的半徑是圓半徑的2倍，不妨設(shè)圓的半徑，則圓的半徑依題意，，，，故選：D.8．D【詳解】取的中點(diǎn)，分別連接在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，可得，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，又因?yàn)榍移矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，同理可證，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，即平面截正方體的截面為，由正方體的棱長(zhǎng)為4，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，所以截面的面積為.故選：D.9．ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，故A正確；對(duì)于B，，則，因?yàn)椋?，即角為銳角，但不一定為銳角三角形，故B不正確；對(duì)于C，若面積為，因?yàn)?，則，所以，則，由于，則，故C正確；對(duì)于D，若，由正弦定理得，則，因?yàn)椋瑒t，所以，故，故D正確.故選：ACD.10．ACD【詳解】若，則或，故A正確；若，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；若，則是實(shí)數(shù)，故C正確；若，則，得或，所以，故D正確.故選：ACD.11．BCD【詳解】對(duì)于A，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，易得，則得四邊形是平行四邊形，故，因平面，平面，故平面，又因，，則得四邊形是平行四邊形，故，又因?yàn)?，故，因平面，平面，故平面，又，平面，故平面平面，又因平面，故平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，又，所以動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意三棱錐的外接球即為正方體的外接球，因正方體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的直徑為，故三棱錐的外接球表面積為，故B正確；對(duì)于C，由A項(xiàng)分析，點(diǎn)的軌跡為線段，因平面，故平面，則點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作于，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，易得，又，所以，所以，所以，所以三棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)平面與平面交于，點(diǎn)在上，因平面平面，平面平面，故，同理可證，即得是平行四邊形，故點(diǎn)為的中點(diǎn).在四棱錐中，顯然側(cè)棱最長(zhǎng)，其長(zhǎng)度為；設(shè)四棱錐的高為，因，故四邊形是菱形，則的邊上的高為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為，又，故，而，由，可得：，代值解得，綜上，可知線段長(zhǎng)度的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.12．【詳解】由可得.故z的虛部為.故答案為：.13．【詳解】連接相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，可?故答案為：.14．/【詳解】如圖，連接.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得所以.由正弦定理可知外接圓的直徑，所以圓臺(tái)的下底面半徑，上底面半徑，圓臺(tái)的側(cè)面積，上底面面積，下底面面積，所以圓臺(tái)的表面積.在四邊形中，，在中，由余弦定理可知，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積，即底面面積的最大值為，四棱錐的高，所以四棱錐的體積的最大值為.故答案為；15．(1)(2)(3)【詳解】（1），，則；（2）因?yàn)?，若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為；（3）因?yàn)?，若，則，解得，可得，，則，且，所以向量與的夾角.16．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭卿J角，且在單位圓上，

所以，所以．（2）因?yàn)?，所以，且，所以，可得，且，所以?7．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）因底面是矩形，則，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，則平面，因?yàn)槠矫妫?；?）取PD中點(diǎn)為G，連接FG，GA，因是的中點(diǎn)，則.又是的中點(diǎn)，,則，從而四邊形是平行四邊形.則，又平面，平面，則平面；（3）因，又G為PD中點(diǎn)，則.由（1）可得平面，又平面，則.又平面，，則平面.由（2）可得，則平面.18．(1)；(2)；(3).【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因此是二面角的平面角，又，故，由余弦定理得，又，所以，所以二面角的大小為，?）依題意，直線平面，而平面，則，由，得，由為正三角形，得，則，又為正三角形，即，因此.（3）由（1）知，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于，又平面平面，于是平面，，則點(diǎn)到平面距離，由（2）知的面積，，，顯然，則，，在中，，，的面積，設(shè)點(diǎn)