/廣西壯族自治區(qū)柳州市部分學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某天小李要坐動(dòng)車或高鐵從廣州出發(fā)去北京，已知當(dāng)天動(dòng)車的車次有2個(gè)，高鐵的車次有10個(gè)，則小李當(dāng)天從廣州出發(fā)去北京的車次的選擇共有（

）A．2種 B．10種 C．12種 D．20種2．已知某商店月份月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于其對(duì)應(yīng)的月份代碼（月份的月份代碼依次為）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則（

）A．3.6 B．1.5 C．1.4 D．1.83．直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．4．某中學(xué)4位任課老師和班上10名學(xué)生站成一排，則4位任課老師站在一起的排法種數(shù)可以用排列數(shù)表示為（

）A． B． C． D．5．給定一個(gè)數(shù)列，記，則把數(shù)列稱為的一階差數(shù)列.若數(shù)列的一階差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A．556 B．557 C．292 D．2916．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則到軸的距離為（

）A． B． C． D．7．刻畫(huà)空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來(lái)刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，則其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．若正四棱錐的側(cè)面與底面的夾角的正切值為，則四棱錐在頂點(diǎn)S處的曲率為（

）A． B． C． D．8．若的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為512，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．56 C． D．70二、多選題9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為30，且，則（

）A． B．公比為2 C． D．10．某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績(jī)的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績(jī)合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，60名短跑成績(jī)合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí).現(xiàn)對(duì)短跑成績(jī)不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為，每周的鍛煉時(shí)間不超過(guò)5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)為：學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，則下列結(jié)論正確的是（

）參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828A．可以推斷成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)無(wú)關(guān)B．可以推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)有關(guān)C．學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率為D．學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率為11．已知曲線，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是C．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列D．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為三、填空題12．某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓有個(gè)．附：若，則．13．設(shè)隨機(jī)變量，且，則；若隨機(jī)變量滿足，則的方差為.14．《九章算術(shù)?商功》中，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵.在塹堵中，，，則塹堵體積的最大值為.四、解答題15．如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求異面直線與所成角的余弦值．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足為常數(shù)，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．正比例手辦是按照動(dòng)漫角色的一定比例制作的手辦，細(xì)節(jié)豐富，高度還原角色形象.已知某店內(nèi)共有20個(gè)正比例手辦，其中有8個(gè)正比例手辦采用樹(shù)脂材質(zhì)制成，有12個(gè)正比例手辦采用PVC材質(zhì)制成，樹(shù)脂材質(zhì)的正比例手辦中有2個(gè)是比例手辦，6個(gè)是比例手辦，PVC材質(zhì)的正比例手辦中有4個(gè)是比例手辦，8個(gè)是比例手辦.該店舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將這20個(gè)正比例手辦編號(hào)為1，2，3，…20，盒子內(nèi)有編號(hào)分別為1，2，3，…，20的20張小紙條，消費(fèi)者抽到編號(hào)為的紙條即視為抽到編號(hào)為i的正比例手辦，消費(fèi)者一次性從盒子內(nèi)隨機(jī)抽取2張紙條，每位消費(fèi)者只有一次機(jī)會(huì).（1）記事件為“消費(fèi)者小曲抽到的2個(gè)正比例手辦的材質(zhì)與比例均相同”，求；（2）若消費(fèi)者抽到的2個(gè)正比例手辦的材質(zhì)與比例均不相同，則無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)；若僅材質(zhì)或僅比例相同，則獎(jiǎng)勵(lì)100元；若材質(zhì)與比例均相同，則獎(jiǎng)勵(lì)200元.記消費(fèi)者小曲獲得的獎(jiǎng)金金額為元，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列及期望.18．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，且，.（1）求的方程；（2）是上一點(diǎn)，且，求的面積；（3）已知，是上不同的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).19．定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．（1）若與為“契合函數(shù)”，且只有一個(gè)“契合點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）若與為“契合函數(shù)”，且有兩個(gè)不同的“契合點(diǎn)”．①求b的取值范圍；②證明：．

答案1．【正確答案】C【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知小李當(dāng)天從廣州出發(fā)去北京的車次的選擇共有種.故選C2．【正確答案】B【詳解】由題意得，因?yàn)椋栽摻?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心.由，得.故選B.3．【正確答案】C【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，圓心到直線的距離，所以，解得.故選C.4．【正確答案】A【詳解】4位任課老師站在一起的排法種數(shù)為，將排完的4位任課教師作為一個(gè)整體，與剩下的10名學(xué)生站成一排的排法種數(shù)有，再根據(jù)分步乘法得排列種數(shù)為.故選A.5．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意，，則，即，又因?yàn)?，?故選C.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)，，解得，所以，得到，故到軸的距離為.故C.7．【正確答案】D【詳解】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，所以頂點(diǎn)的每個(gè)面角均為，故正四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為.故選D.8．【正確答案】A【詳解】的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和等于的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，則，得，則，因?yàn)榈恼归_(kāi)式中沒(méi)有的項(xiàng)，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為的展開(kāi)式中的系數(shù)，即.故選A9．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，,由題意得，因?yàn)椋?，得，即，解得或（舍去）所以，故?故選ABD.10．【正確答案】BC【詳解】表格如下：?jiǎn)挝唬喝?/p>

每周的鍛煉時(shí)間短跑成績(jī)合計(jì)短跑成績(jī)合格短跑成績(jī)不合格每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)351045每周的鍛煉時(shí)間不超過(guò)5小時(shí)253055合計(jì)6040100零假設(shè)為：學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)有關(guān).設(shè)事件“學(xué)生甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格”，事件“學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，短跑成績(jī)不合格”，“學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間不超過(guò)5小時(shí)，短跑成績(jī)不合格”，則，，，所以，所以從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生甲短跑成績(jī)合格的概率為.故選BC11．【正確答案】ABD【詳解】由，得或，則C由橢圓與直線組成，易知,為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上時(shí)，，若點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，，曲線上的其他點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，A正確；當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)，，由，得，B正確.將代入，得，設(shè)該方程的兩個(gè)根為，，則，即，且，，由，得，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則+=，解得，D正確.當(dāng)時(shí)，介于x1，x2之間，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列，則，即=，得，顯然該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤.故選ABD12．【正確答案】1587【詳解】由可知，故其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓約有個(gè)．13．【正確答案】/【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，即，由題意可知，化簡(jiǎn)可得，解得，則.因?yàn)?，所以，則.14．【正確答案】【詳解】由題意，則，令，由，得，塹堵體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以為正三角形，所?又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為，軸，在面內(nèi)過(guò)作的平行線作為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，所以，，，則點(diǎn)到直線的距離.（2）因?yàn)?，．所以．所以異面直線與BD所成角的余弦值為．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由條件可知，，得，即，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，得，當(dāng)時(shí)，成立，所以；（2）因?yàn)?，所以?/p>

，，，所以.17．【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）.（2）記事件為“消費(fèi)者小曲抽到的2個(gè)正比例手辦僅材質(zhì)或僅比例相同”，記事件為“消費(fèi)者小曲抽到的2個(gè)正比例手辦的材質(zhì)與比例均不相同”，則由（1）得，，，則的分布列為：0100200P則.18．【正確答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得，，解得，，得到，故的方程為.（2）設(shè)，，由雙曲線的定義可得，在中，由余弦定理得，解得，則的面積為.（3）易知，如圖，設(shè)，，顯然直線不與軸垂直，則設(shè)的方程為，且.聯(lián)立，消去得，所以，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，又，化簡(jiǎn)得，所以直線過(guò)定點(diǎn).19．【正確答案】（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由與為“契合函數(shù)”，得，使，令，依題意，方程有唯一解，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，，又和只有一個(gè)“契合點(diǎn)”，則直線與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則或，所以實(shí)數(shù)a的