/貴州省貴陽(yáng)市觀(guān)山湖區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考（5月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則的非空子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知表示不同的直線(xiàn)，表示不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則4．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°5．在中，，其面積為，則等于A． B． C． D．6．已知在中，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA=A.1 B.2 C.2 D.38．如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．與平面所成的角為D．四面體的體積為二、多選題9．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為1 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（

）

A．平面B．直線(xiàn)與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)C．在直線(xiàn)上存在點(diǎn)F，使平面D．直線(xiàn)與平面所成角是11．如圖是函數(shù)的部分圖象，則（

）A．的最小正周期為B．是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸C．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)D．若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則三、填空題12．在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角中，AD為斜邊BC上的高，，，現(xiàn)將沿AD翻折成，使得四面體AB＇CD為一個(gè)鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為.13．已知，則.14．如圖所示，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值為．四、解答題15．如圖，在中，，，，點(diǎn)D，E滿(mǎn)足，，AC邊上的中線(xiàn)BM與DE交于點(diǎn)O.設(shè)，.（1）用向量，表示，；（2）求.16．如圖，在四棱錐中，，，，底面，是上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的正弦值．17．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，，，已知且.（1）求角A的大?。唬?）求的取值范圍.18．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；（2）連接交于點(diǎn)，求三棱錐的體積；（3）已知點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，求長(zhǎng)度的最小值．19．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式；(3)若不等式對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【分析】先依次求出集合和，再由子集公式結(jié)合非空子集定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以的元素個(gè)數(shù)為3，其非空子集有個(gè).故選A.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋裕蔬xA．3．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A：若且，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或，又，當(dāng)，則與平行或相交或異面，當(dāng)，則與平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則或，又，所以或與相交（不垂直）或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則或，又，所以，故D正確.故選D4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選B.5．【正確答案】B【詳解】由題意可得：，解得：，由余弦定理：，結(jié)合正弦定理結(jié)合分式的性質(zhì)，則：.本題選擇B選項(xiàng).6．【正確答案】B【詳解】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，則，，可得，其中，，因?yàn)?，則，可得，所以的最小值為.故選B.7．【正確答案】D四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，且PA=PB=4,PC=PD=22,如圖，設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F,則PE⊥AB,PF⊥CD,連接EF.∵EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩PF=F,EF?平面PEF,PF?平面PEF,∴CD⊥平面PEF.又CD?平面ABCD,∴平面PEF⊥平面ABCD,且平面PEF∩平面ABCD=EF.過(guò)點(diǎn)8．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，若，因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，可得，這與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，所以，得，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，平面，所以就是與平面所成的角，因?yàn)椋耘c平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四面體的體積為，故D錯(cuò)誤.故選B.9．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，，其虛部為1，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故的共軛復(fù)數(shù)為，故D正確.故選AD.10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)A，正方體中，平面，平面，平面，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)B，由圖可知直線(xiàn)與直線(xiàn)都在平面中，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，連接，，取的中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)，則，正方體中，，且，平面，得平面，則平面，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D，連接交于點(diǎn)，連接，由平面，有平面，則即為直線(xiàn)與平面所成的角，，，則，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】AD【詳解】由圖象可知，，，所以，即的最小正周期為，故A正確；，此時(shí)，又在圖象上，，解得，，，，，當(dāng)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，此時(shí)不符合題意，故B錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，，不合題意時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；又因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，解得，故D正確.故選AD.12．【正確答案】【詳解】由題可知，，都是直角三角形，只需平面即可，所以鱉臑外接球的球心在過(guò)中點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)上，而在直角三角形中，的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等，所以的中點(diǎn)是外接球的球心，所以，所以該鱉臑外接球的表面積為．13．【正確答案】/0.28【詳解】由，得，則.14．【正確答案】【詳解】連接，得，以所在直線(xiàn)為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，

當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則即為的最小值，在三角形中，，，由余弦定理得，所以，即，在中，，，由勾股定理可得且.

同理可求，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，所以在中，，，由余弦定理?15．【正確答案】（1）,（2）【詳解】（1）因?yàn)闉檫吷系闹芯€(xiàn)，，因?yàn)?，，所以，，所?（2）由，得，，又，所以向量與得夾角為，由圖形可知的大小等于向量與的夾角，，，，所以，又因?yàn)?，所?16．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）.【詳解】（1）在四棱錐中，，，則，，在中，，則，即，于是，由平面，平面，得，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，則，又，因此是二面角的平面角，在中，，則，由是的中點(diǎn)，得，于是，所以平面與平面的夾角的正弦值為.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）∵，∴，，，∵，∴，又，∴，，；（2）根據(jù)正弦定理，，則，，所以的取值范圍為.18．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（3）【詳解】（1）如圖，連接交于，連接．因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線(xiàn)，所以，又平面平面，所以平面．

（2）由（1）知，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積．正方體的棱長(zhǎng)是1，是的中點(diǎn)，所以，則的面積，所以三棱錐的體積．

（3）連接，因?yàn)楹推叫星蚁嗟?，故四邊形為平行四邊形，所以．又面面，故面．又由?）知，面，而面，故面面．因此滿(mǎn)足題意的點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段．要求最小值，即求到最小值．在中，，故為等腰三角形，求最小值即求底邊上的高，求得．

19．【正確答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結(jié)果；（2），對(duì)，與分類(lèi)討論，可分別求得其解集（3），通過(guò)分離常數(shù)與利用