第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年山東省臨沂市、棗莊市、聊城市、菏澤市、濟寧市中考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，數軸上表示?2的點是(

)A.M B.N C.P D.Q2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B.

C. D.3.我國“深藍2號”大型智能深海養(yǎng)殖網箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是(

)

A. B.

C. D.4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據統(tǒng)計，山東省2024年全年接待游客超9億人次.數據“9億”用科學記數法表示為(

)A.9×107 B.0.9×108 C.5.已知a≠0，則下列運算正確的是(

)A.?2a+3a=5a B.(?2a3)2=4a6.某班學生到山東省博物館參加研學活動.博物館為同學們準備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產品，每位同學可從中隨機抽取一個作為紀念品.若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是(

)A.19 B.16 C.137.明代數學家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手.問哪吒、夜叉各有多少？設哪吒有x個，夜叉有y個，則根據條件所列方程組為(

)A.x+3y=368x+6y=108 B.x+3y=366x+8y=108

C.3x+y=368x+6y=1088.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經常被視為君子修身齊家的象征.如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內切圓和外接圓組成.已知內切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是(

)A.π B.2π C.3π D.4π9.如圖，在平面直角坐標系中，A，C兩點在坐標軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形.若函數y=kx(x>0)的圖象經過點B，則滿足y≥2的x的取值范圍為(

)A.0<x≤2

B.x≥2

C.0<x≤4

D.x≥410.在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度y(厘米/天)和光照強度x(勒克斯)之間存在一定關系.在低光照強度范圍(200≤x<1000)內，y與x近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍(x≥1000)內，y與x近似成二次函數關系.其部分圖象如圖所示.根據圖象，下列結論正確的是(

)A.當x≥1000時，y隨x的增大而減小 B.當x=2000時，y有最大值

C.當y≥0.6時，x≥1000 D.當y=0.4時，x=600二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.寫出使分式12x?3有意義的x的一個值______．12.在平面直角坐標系中，將點P(3,4)向下平移2個單位長度，得到的對應點P′的坐標是______．13.若關于x的一元二次方程x2+4x?m=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是______．14.取直線y=?x上一點A(x1,y1)，①過點A1作x軸的垂線，交y=1x于點A(x2,y2)；②過點A2作15.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.點P為邊AC上異于A的一點，以PA，PB為鄰邊作?PAOB，則線段PQ的最小值是______．三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

(1)計算：|?13|×9+π0；

17.(本小題8分)

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，如圖1．

(1)求∠ADC的度數；

(2)已知AB=3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點E，交AD的延長線于點F.如圖2，求DF的長．

18.(本小題8分)

山東省在能源綠色低碳轉型過程中，探索出一條“以儲調綠”的能源轉型路徑.某地結合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實現低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉型．

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．

(1)請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y(米)與注水時間x(小時)之間的關系式；

(2)已知蓄水池的底面積為0.4萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時，求注水多長時間可供發(fā)電4.2萬千瓦時？19.(本小題10分)

在2025年全國科技活動周期間，某校科技小組對甲、乙兩個水產養(yǎng)殖基地水體的pH值進行了檢測，并對一天(24小時)內每小時的pH值進行了整理、描述及分析．

【收集數據】

甲基地水體的pH值數據：

7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．

乙基地水體的pH值數據：

7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．

【整理數據】7.00≤x<7.307.30≤x<7.607.60≤x<7.907.90≤x<8.208.20≤x≤8.50甲25773乙429a2【描述數據】

【分析數據】平均數眾數中位數方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根據以上信息解決下列問題：

(1)補全頻數分布直方圖；

(2)填空：b=______，c=______；

(3)請判斷甲、乙哪個基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由；

(4)已知兩基地對水體pH值的日變化量(pH值最大值與最小值的差)要求為0.5～1，分別判斷并說明該日兩基地的pH值是否符合要求．20.(本小題10分)

如圖，在△OAB中，點A在⊙O上，邊OB交⊙O于點C，AD⊥OB于點D.AC是∠BAD的平分線．

(1)求證：AB為⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為2，∠AOB=45°，求CB的長．21.(本小題9分)

【問題情境】

2025年5月29日“天問二號”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章.某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1．

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到l的長度的方案，以檢測該部件中l(wèi)的長度是否符合要求．

【方案設計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．

測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱(圓柱)．

操作步驟：如圖3，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點B，D.用游標卡尺測量出CC′的長度y．

【問題解決】

已知∠CAD=∠C′A′D′=60°，l的長度要求是1.9cm～2.1cm．

(1)求∠BAO的度數；

(2)已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現測得y=7.52cm.根據以上信息，通過計算說明該部件l的長度是否符合要求.(參考數據：3≈1.73)

【結果反思】

(3)本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個；如果不能，說明理由．22.(本小題11分)

已知二次函數y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)，其中a，b為兩個不相等的實數．

(1)當a=0、b=3時，求此函數圖象的對稱軸；

(2)當b=2a時，若該函數在0≤x≤1時，y隨x的增大而減??；在3≤x≤4時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

(3)若點A(a,y1)，B(a+b2,y2)，23.(本小題11分)

【圖形感知】

如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．

(1)求CD的長；

【探究發(fā)現】

老師指導同學們對圖1所示的紙片進行了折疊探究．

在線段CD上取一點E，連接BE.將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形A′BED′，其中A′，D′分別是A，D的對應點．

(2)其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：

①甲：點D′恰好落在邊BC上，延長A′D′交CD于點F，如圖2.判斷四邊形DBA′F的形狀，并說明理由；

②乙：點A′恰好落在邊BC上，如圖3.求DE的長；

(3)如圖4，連接DD′交BE于點P，連接CP.當點E在線段CD上運動時，線段CP是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：數軸上表示?2的點是M．

故選：A．

根據數軸的定義即可得出答案．

本題考查了數軸，解題的關鍵是熟練掌握數軸的定義．2.【答案】B

【解析】解：A、C、D中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A、C、D不符合題意；

B、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B符合題意．

故選：B．

把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．

本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．3.【答案】C

【解析】解：從正面看，是一行三個相鄰的矩形．

故選：C．

根據從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．

本題考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖．4.【答案】C

【解析】解：9億=900000000=9×108．

故選：C．

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．

此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，5.【答案】B

【解析】解：A、?2a+3a=a，故該項不正確，不符合題意；

B、(?2a3)2=4a6，故該項正確，符合題意；

C、a2與a不是同類項，不能進行合并，故該項不正確，不符合題意；

D、a66.【答案】A

【解析】解：把以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產品分別記為A、B、C，

列表如下：ABCA(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(B,C)(C,C)共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的結果有1種，

∴甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是19，

故選：A．

列表得出共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的結果有1種，再由概率公式求解即可．

此題考查的是用列表法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=7.【答案】D

【解析】解：根據題意得：3x+y=366x+8y=108，

故選：D．

根據有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手，列出二元一次方程組即可．

8.【答案】D

【解析】解：如圖：連接AB、DC相交于O，

∵正方形的內切圓的半徑是2，

∴AC=BC=4，OA=OB，

∴AB=AC2+BC2=42+42=22，OA=OB=12AB=2，

∴圖中陰影部分的面積是π?(22)29.【答案】A

【解析】解：∵四邊形OABC是面積為4的正方形，設點B的坐標為(b,b)，

∴b2=4，解得：b=2(已舍棄負值)，

∴點B的坐標為(2,2)，

∵函數y=kx(x>0)的圖象經過點B，

滿足y≥2的x的取值范圍為0<x≤2，

故選：A．

由題意可設點B的坐標為(b,b)，易得b=2，即點10.【答案】B

【解析】解：A、當x≥1000時，y隨x的增大先增大，后減小，故A選項錯誤，不符合題意；

B、∵拋物線過點(1000,0.6)，(3000.0.6)，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=1000+30002=2000，

∵拋物線的開口向下，

∴x=2000時，y有最大值，

故B選項正確，符合題意；

C、由圖象可得：當y=0.6時，x1=1000，x2=3000，

∴當y≥0.6時，1000≤x≤3000，

故C選項錯誤，不符合題意；

D、由圖象可得當y=0.4時，x對應的值有2個，故D選項錯誤，不符合題意．

故選：B．

結合圖象可得可得拋物線的對稱軸為直線x=2000，可得函數的最值，進而可得y11.【答案】2(答案不唯一)

【解析】解：若分式12x?3有意義，

則2x?3≠0，

那么x≠1.5，

因此x=2，

故答案為：2(答案不唯一)．

根據分式有意義的條件求得x的取值范圍，然后寫出一個符合題意的x的值即可．

12.【答案】(3,2)

【解析】解：由題知，

將點P(3,4)向下平移2個單位長度后，所得點P′的坐標是(3,2)．

故答案為：(3,2)．

根據平移時點的坐標變化規(guī)律進行計算即可．

本題主要考查了坐標與圖形變化?平移，熟知平移時點的坐標變化規(guī)律是解題的關鍵．13.【答案】m>?4

【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2+4x?m=0有兩個不相等的實數根，

∴Δ>0，

即Δ=42+4m>0，

解得m>?4．

故答案為：m>?4．

根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，可得根的判別式Δ>0，可列出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數m的取值范圍．

本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與14.【答案】(1,?1)

【解析】解：已知A1(1,?1)，過點A1作x軸的垂線，交y=1x于點A2，

∵作x軸垂線時，橫坐標不變，

∴A2的橫坐標x2=1，

把x=1代入y=1x，得y2=11=1，

∴A2(1,1)．

過點A2作y軸的垂線，交y=?x于點A3，作y軸垂線時，縱坐標不變，

∴A3的縱坐標為y3=1，

把y=1代入y=?x，得1=?x，即x3=?1，

∴x3=?1，

∴A3(?1,1)，

過點A3作y軸的垂線，交y=1x于點A4，

作x軸垂線時，橫坐標不變，

∴A4的橫坐標x4=?1，

把x=?1代入y=1x，得y4=1?1=?1，

∴A4(?1,?1)，

過點A4作y軸的垂線，交y=?x于點A5，15.【答案】4.8

【解析】解：如圖，過M作MN⊥AP于N，

∴∠ANM=∠ABC=90°，

∵∠MAN=∠CAB，

∴△AMN∽△ACB，

∴MN：BC=AM：AC，

∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，

∴AC=AB2+BC2=10，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AM=12AB=3，PQ=2PM，

∴MN：8=3：10，

∴MN=2.4，

∵PM≥MN，

∴PQ≥2MN=4.8，

∴PQ的最小值是4.8．

故答案為：4.8．

過M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC=AM：AC，由勾股定理求出AC=10，由平行四邊形的性質推出AM=12AB=3，PQ=2PM，得到MN：8=3：10，求出MN=2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN=4.8，即可求出PQ的最小值．

本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，垂線段最短，關鍵是由平行四邊形的性質推出PQ=2PM16.【答案】2；

x2+x?2，4【解析】(1)原式=13×3+1

=1+1

=2；

(2)原式=(x+1)(x?1)(1x+1+x+1x+1)

=(x+1)(x?1)?x+2x+1

=(x?1)(x+2)

=x2+x?2，

當x=217.【答案】120°；

23【解析】(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAC的平分線AD交BC于點D，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∴∠ADC=180°?30°?30°=120°；

(2)由(1)知：∠ACD=∠CAD=30°，

∴AD=CD，∠ADB=60°，

∴∠CDF=60°，

如圖2，連接CF，

由作圖過程可知：MN是CD的垂直平分線，

∴FC=FD，

∴△CDF是等邊三角形，

∴FC=FD=CD=AD，

∵AB=3，∠BAD=30°，

∴AD=ABcos30°=332=23，

∴DF=AD=23．

(1)根據三角形內角和定理即可求∠ADC的度數；

(2)連接CF，由作圖過程可得MN是CD的垂直平分線，所以FC=FD18.【答案】y=6x+5；

5小時．

【解析】(1)y=6x+5，

∴蓄水池的水位高度y(米)與注水時間x(小時)之間的關系式為y=6x+5．

(2)根據題意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2，

解得x=5．

答：注水5小時可供發(fā)電4.2萬千瓦時．

(1)根據蓄水池的水位高度=注水時水位每小時升高的高度×注水時間+本次注水前蓄水池的水位高度解答即可；

(2)根據y與x的函數關系式及圓柱的體積公式列關于x的一元一次方程并求解即可．

本題考查一次函數的應用、圓柱的體積，寫出函數關系式、掌握圓柱的體積計算公式是解題的關鍵．19.【答案】見解答；

7.67，7.79；

甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由見解答；

甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求．

【解析】(1)由題意得：a=24?4?2?9?2=7，

補全頻數分布直方圖如下：

(2)在甲基地水體的pH值數據中7.67出現的次數最多，故眾數b=7.67；

把乙甲基地水體的pH值數據從小到大排列，排在中間的兩個數分別是7.77，7.81，故中位數c=7.77+7.812=7.79，

故答案為：7.67，7.79；

(3)甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由：

因為甲基地水體的pH值的方差比乙基地水體的pH值的方差小，所以甲基地水體的pH值更穩(wěn)定；

(4)甲基地水體的pH值的極差為：8.26?7.27=0.99<1，乙基地水體的pH值的極差為：8.21?7.11=1.1>1，

所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求．

(1)用24分別減去其它四部分的頻數，即可得出“7.90≤x<8.20”的頻數，進而補全頻數分布直方圖；

(2)根據中位數和眾數的定義解答即可；

(3)根據方差的意義解答即可；

(4)根據極差的定義解答即可．

本題考查頻數(率)分布直方圖，頻數(率20.【答案】證明見解答；

CB的長是22【解析】(1)證明：∵AD⊥OB于點D，

∴∠ADB=90°，

∵AC是∠BAD的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，∠OCA=∠B+∠BAC，

∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC，

∴∠OAD=∠B，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，

∵OA是⊙O的半徑，且AB⊥OA，

∴AB為⊙O的切線．

(2)解：∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，

∴∠B=∠AOB=45°，

∴AB=OA，

∵⊙O的半徑為2，

∴AB=OA=OC=2，

∴OB=AB2+OA2=2OA=22，

∴CB=OB?OC=22?2，

∴CB的長是22?2．

(1)由AD⊥OB于點D，得∠ADB=90°，由∠DAC=∠BAC，∠OAC=∠OCA，且∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，∠OCA=∠B+∠BAC，得∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC，則∠OAD=∠B，所以∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，即可證明AB為⊙O的切線；

(2)由∠OAB=90°，∠AOB=45°21.【答案】∠OAB=30°；

該部件的長度符合要求；

見解析．

【解析】(1)∵⊙O分別與AC，AD相切于點B，D，

∴AB=AD，∠OAB=∠OAD=12∠CAD=30°；

(2)∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，

∴BC=OB=1，

∵∠OAB=30°，∠OBA=90°，

∴AB=OBtan30°=3，

∴AC=BC+AB=1+3，

同理A′C′=1+3，

∴l(xiāng)=7.52?2(1+3)≈2.06，

∵1.9<2.06<2.1，

該部件l的長度符合要求；

22.【答案】x=1；

1≤a≤3；

m=4．

【解析】(1)當a=0，b=3時，二次函數y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)可化為：y=x(x?0)+(x?0)(x?3)+x(x?3)=3x2?6x，

∴此函數圖象的對稱軸為直線x=?b2a=??62×3=1；

(2)當b=2a時，二次函數y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)可化為：y=x(x?a)+(x?a)(x?2a)+x(x?2a)=3x2?6ax+2a2，

∴拋物線對稱軸為直線x=?b2a=??6a2×3=a，

∵3>0，