2025屆甘肅省高三下學期3月（一模）數(shù)學試卷1．若復數(shù)?1+1?a2A．a(chǎn)>?1 B．a(chǎn)<?1或a>1C．?1<a<1 D．a(chǎn)<12．設集合A=x|y=31?xA．R B．?1,0,1,2 C．?1,0,1 D．?1,23．某班研究性小組的同學為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設計了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為W0（單位：mgL），測得污水通過長度為l（單位：m）的凈化裝置后污染物的含量l0123WW0.50.250.125研究小組的同學根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了W關(guān)于l的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是（）A．W=W0+0.5lC．W=0.5W0l D．4．高一年級400名學生參加數(shù)學基礎知識競賽活動，答題后隨機抽取22名男生和18名女生，計算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計本次比賽高一年級的總體均分為（）A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.85．從1-9這9個數(shù)字中任意取出3個數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增大，則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是（）A．84 B．120 C．504 D．7206．若α∈0,π4，sinA．210 B．?210 C．77．已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，點M為邊CD上的動點，若∠AMB=α，則cosα的范圍是（）A．0,17 B．?17,1 8．已知A是拋物線y2=16x上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線x4+yb=1與y軸交于點P，PFA．b24+b2 B．b216+9．已知雙曲線方程為x2A．雙曲線的漸近線方程為y=±B．雙曲線的離心率是7C．雙曲線的虛軸長是8D．雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為610．函數(shù)fxA．fx的最小正周期是B．fx的值域是C．fx的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是D．fx的零點是11．若自變量x表示時間，在長為定值T的時間周期u,u+T中，函數(shù)y=fx的增長率為gA．若fx=3x,x∈0,+B．若fx=3C．若fx=3xD．若fx=lnx,x∈1,+12．用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是.13．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S5=20，S7=56，則數(shù)列S14．如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內(nèi)、外弧線為兩個同心圓的14圓周，內(nèi)弧半徑為12米，路寬為3米，兩人均從外弧A點處跑入該路段，甲沿內(nèi)弧切線方向跑至切點C，又沿內(nèi)弧CB跑至點B處后跑出該路段，乙沿內(nèi)弧切線方向直接跑至外弧上D點處，再沿外弧DE跑至點E處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為米.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°15．為了解高一學生整理數(shù)學錯題與提高數(shù)學成績的相關(guān)性，某小組通過隨機抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學生3次數(shù)學考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學生3次數(shù)學考試成績的總體均分為115分.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，完成以下2×2列聯(lián)表：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題未每天整理錯題合計（2）依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，分析數(shù)學成績不低于總體均分是否與每天整理數(shù)學錯題有關(guān).附:α0.100.010.001χ2.7066.63510.82816．正四面體P?ABC的三條棱PA,PB,PC是圓錐PO的三條母線，點A,B,C在圓錐PO的底面內(nèi)，過PA且與圓錐PO底面垂直的平面與圓錐側(cè)面交于PD（不同于PA）.（1）求證：BC⊥平面PAD；（2）求平面PBD與平面PAB所成角的余弦值.17．數(shù)列an滿足an+12=1（1）求證：數(shù)列bn（2）若數(shù)列cn滿足cn=lnan,Sn是數(shù)列18．設O為坐標原點，點P2,4，A、B為橢圓x24（1）證明：向量m=1,4是直線（2）若線段OP與橢圓交于點Q，求△ABQ面積的最大值.19．函數(shù)fx=(1+x)（1）r≠1時，判斷fx（2）若θ∈0,π2，判斷2cos2θ與（3）證明：對于任意的n∈N?,θ∈

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為復數(shù)?1+1?a2i在復平面內(nèi)對應的點為(?1,1?a2)故答案為：C.【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義結(jié)合題意，從而列出不等式，進而解不等式得出實數(shù)a的取值范圍.2．【答案】B【解析】【解答】解：因為函數(shù)y=31?x中，x∈R，

所以集合A=R，

又因為所以A∩B=?1,0,1,2故答案為：B.【分析】利用奇次根式函數(shù)求定義域的方法，從而求出集合A，再利用已知條件和交集的運算法則，從而得出集合A∩B.3．【答案】D【解析】【解答】解：由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：

第一，定義域為0,3；第二，在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢；第三，函數(shù)圖象過0,W則函數(shù)W=0.5W0l和W=W0因為函數(shù)W=W因為W=W故答案為：D.【分析】先分析表中數(shù)據(jù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象過點的性質(zhì)，從而判斷出最符合實際的函數(shù)模型．4．【答案】C【解析】【解答】解：因為x=2240×82+18故答案為：C.【分析】利用分層抽樣的均值公式，從而估計出本次比賽高一年級的總體均分.5．【答案】A【解析】【解答】解：從9個數(shù)字中選擇3個不同的數(shù)，無需再排序，

所以C9故答案為：A.【分析】從9個數(shù)字中選擇3個不同的數(shù)，只需選出，無需排序，再利用組合數(shù)公式得出滿足條件的三位數(shù)的個數(shù).6．【答案】C【解析】【解答】解：因為α∈0,π4又因為sinα+π4則cos=3故答案為：C.【分析】先根據(jù)α的范圍確定α+π4的范圍，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα+7．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示建立平面直角坐標系，則A?2,0,B2,0設Mx,3?1≤x≤1，

則AM所以cosα=x令x2?1=t，則則cosα=t可得cosα∈?故答案為：D.

【分析】先建立平面直角坐標系，則得出點的坐標，設Mx,3?1≤x≤1，從而得出向量的坐標，再利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值的坐標表示結(jié)合換元法，令x2?1=t，則?1≤t≤08．【答案】B【解析】【解答】解：依題意，可知F4,0,P0,b，

設A則PA=∴PF?PA則Ab∴PB∥x軸，

∴∠BPF=∠PFO，

因為∠APB+∠BPF=90∴cos∠APB=sin∠PFO=OP故答案為：B.【分析】利用點參法，設點A坐標，再利用PF?PA=0得出點A、B的坐標，再利用轉(zhuǎn)化的思想，將∠APB轉(zhuǎn)化為∠PFO9．【答案】C,D【解析】【解答】解：因為雙曲線x29?y2對于A：因為ba=4對于B：因為離心率為e=c對于C：因為雙曲線的虛軸長是2b=8，故C正確；對于D：因為雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為2a=6，故D正確.故答案為：CD.

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合雙曲線方程和雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而求出a、b、c的值，再利用雙曲線的漸近線方程、離心率公式、虛軸長、兩點距離公式，從而逐項判斷找出正確的選項.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A：因為fx+2π=2cosx+2顯然，沒有比2π更小的正周期，

所以f(x)的最小正周期為2對于B：考慮到f(x)的最小正周期為2π，

故只需考慮f(x)在[則fx=2cosx+sin2x，x∈[π6,13π則f'因為sinx∈[?1,1]則當x∈(π6,5π6)時，sinx>當x∈(5π6,13π6)時，sinx又因為fπ6=2f13π6=2cos13π對于C：因為ff則fπ6+x?fπ則x=π6不是對于D：令fx=0，則2cosx+sin2x=0則cosx=0或sinx=?1，

解得x=kπ+又因為{x|x=2kπ?π2，k∈Z}?{x|x=kπ故答案為：ABD.

【分析】檢驗fx+2π=f(x)，則可判斷選項A；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的值域，則判斷出選項B；檢驗fπ611．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于函數(shù)fx因為T為正常數(shù)，

所以gu為0,+對于函數(shù)fx因為T為正常數(shù)，

所以gu對于函數(shù)fx則gu因為T為正常數(shù)，

所以gu對于函數(shù)fx∴g令?x=xlnx，

則?'x=1+lnx，

因為T為正常數(shù)，

所以ulnu?u+T則g'u<0，

故答案為：AD.

【分析】將四個選項中的函數(shù)代入gu=f12．【答案】1:1【解析】【解答】解：如圖所示，

在正方體ABCD?A1E,F,G,H,I,J分別是AB,BC,CC連接EFGHIJ，

則六邊形EFGHIJ是正六邊形，根據(jù)對稱性可知，截出的兩部分幾何體的體積之比是1:1.故答案為：1:1.【分析】先畫出正六邊形截面，再根據(jù)圖形的對稱性得出截出的兩部分幾何體的體積比.13．【答案】n【解析】【解答】解：設等差數(shù)列an的公差為d，

則S5=5a1所以，Sn=na1+所以，Sn+1n+1?Sn所以，Tn故答案為：n2?5n.

【分析】設等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知條件可得關(guān)于a1、d的方程組，從而解出這兩個量的值，進而可得Sn的表達式，則可得Snn14．【答案】甲；2.4【解析】【解答】解：連接OC、OD，可知OC⊥AD，OA=OD，

則∠AOC=∠DOC，AC=CD，

在Rt△AOC中，cos∠AOC=所以，sin∠AOC=所以，∠AOC≈37°，所以，BC=12×90?37π180≈因為AD=2AC=18，DE=15×90?2×37π180≈4所以甲跑動的距離更短，少跑22?19.6=2.4米.故答案為：甲；2.4.

【分析】連接OC、OD，求出∠AOC的值，從而求出BC、DE的長，進而求出甲、乙兩人的跑動的距離，則得出在該路段跑動距離更短的人；再結(jié)合作差法得出兩人跑動距離之差的絕對值.15．【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計192140（2）解：假設H0計算可得χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，可推斷H0即認為數(shù)學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)表分析計算，從而完善2×2列聯(lián)表.（2）利用卡方計算公式和與表中數(shù)據(jù)比較，再利用獨立性檢驗思想，從而認為數(shù)學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得成績不低于總體均分成績低于總體均分合計每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計192140（2）假設H0計算可得χ根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，可推斷H0即認為數(shù)學成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).16．【答案】（1）證明：∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，∴PO?平面PAD，且O∈AD，又∵BC?平面ABC,∴PO⊥BC，∵?ABC為正三角形，∴O為△ABC中心，

∴AO⊥BC，

∴AD⊥BC，∵PO?平面PAD,AD?平面PAD，PO∩AD=O，∴BC⊥平面PAD.（2）解：設AD∩BC=M，則M是BC的中點，以O為坐標原點，BC的平行線為x軸，AD為y軸，OP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正四面體的棱長為1，

則A0,?33,0，B設平面PAB的法向量為m=x1,y則m→取平面PAB的一個法向量為m=設平面PBD的法向量為n=x2,y則n→取平面PBD的一個法向量為n=設平面PAB與平面PBD所成角為θ，∴cosθ=m則平面PAB與平面PBD所成角的余弦值為3333【解析】【分析】（1）先根據(jù)平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，從而得到PO?平面PAD且O∈AD，再由?ABC為等邊三角形得到O為其中心，則AO⊥BC，所以AD⊥BC，再利用PO⊥平面ABC得出PO⊥BC，再根據(jù)線面垂直的判定定理證出BC⊥平面PAD.（2）先利用已知條件和中點的性質(zhì)，從而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標表示，從而求出兩個平面PAB和平面PBD的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面PBD與平面PAB所成角的余弦值.（1）∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，∴PO?平面PAD，且O∈AD.又∵BC?平面ABC,∴PO⊥BC，∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC中心，∴AO⊥BC，∴AD⊥BC，∵PO?平面PAD,AD?平面PAD，PO∩AD=O，∴BC⊥平面PAD.（2）設AD∩BC=M，則M是BC的中點.以O為坐標原點，BC的平行線為x軸，AD為y軸，OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正四面體的棱長為1，則A0,?B12,設平面PAB的法向量為m=x1則m→取平面PAB的一個法向量為m=設平面PBD的法向量為n=x2則n→取平面PBD的一個法向量為n=設平面PAB與平面PBD所成角為θ，∴cosθ=m即平面PAB與平面PBD所成角的余弦值為333317．【答案】（1）證明：∵an+12∴l(xiāng)na∴數(shù)列l(wèi)nan是以ln2為首項，∴l(xiāng)na∴l(xiāng)na∴bn+1bn=∴數(shù)列bn是以ln2為首項，1∴b（2）解：由（1）可知，cn∴S∴S因為對?n∈N所以k≥2【解析】【分析】（1）利用已知條件和等比數(shù)列定義以及等比數(shù)列通項公式，從而證出數(shù)列bn（2）利用等比數(shù)列前n項和公式結(jié)合對數(shù)運算法則，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而計算得出實數(shù)k的取值范圍.（1）∵an+12∴l(xiāng)na∴數(shù)列l(wèi)nan是以ln2為首項，∴l(xiāng)na∴l(xiāng)na∴bn+1b∴數(shù)列bn是以ln2為首項，1∴b（2）由（1）可知，cn∴S∴S由于對?n∈N所以k≥218．【答案】（1）證明：因為點P2,4在橢圓外，A、B為橢圓上的兩個動點，

設Ax1則OP=λ則x12+2y12=4①x則y1?y2x1?所以直線AB的斜率為y1?y2x1?所以m=1,4為直線（2）解：由x2+2y2=4y=2xx>0，

由（1）可知，直線AB的斜率為?14，

設直線AB方程為y=?14若m=0，則直線AB過原點，

則OA+OB=0，

則與由x2+2y2=4y=?14x+m，

得9x2由韋達定理可得x1+x所以，AB=2因為點Q到直線AB的距離d=2所以S△ABQ令t=3?2m∈0,3∪3,6令ft=t36?t當t∈0,3∪3,92時，f't所以，函數(shù)ft在0,3、3,92所以，當t=92時，即當m=?34時，【解析】【分析】（1）設Ax1,y1、Bx2（2）先求出點Q的坐標，設直線AB方程為y=?14x+mm≠0，再將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理表達式，再利用弦長公式和點到直線的距離公式，從而求出AB以及點Q到直線（1）由于點P2,4在橢圓外，A、B為橢圓上的兩個動點，設Ax1OP=λ則x12+2y12=4即y1?y2x所以直線AB的斜率為y1?y2x從而m=1,4為直線（2）由x2+2y2=4由（1）可知，直線AB的斜率為?14，設直線AB方程為若m=0，則直線AB過原點，則OA+OB=0，從而與由x2+2y則Δ=64m2?4×9×16m2由韋達定理可得x1+x所以，AB=2由于Q到直線AB的距離d=2所以S△ABQ令t=3?2m∈0,3∪3,6令ft=t當t∈0,3∪3,92時，f所以，函數(shù)ft在0,3、3,92所以，當t=92時，即當m=?34時，19．【答案】（1）解：因為f當r>1,x∈?1,0時，f'x則當r>1時，函數(shù)在?1,0為減函數(shù)，在0,+∞同理可得，當0<r<1時，函數(shù)在?1,0為增函數(shù)，在0,+∞（2）解：由（1）可知，當0<r<1時，fx≤0，

則(1+x)r≤rx+1，