高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在原點處的切線斜率為（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】因，則，故選：D.2.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進行比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知，從左到右第一幅圖、第三幅圖是正相關(guān)，第二幅圖、第四幅圖是負相關(guān)，且第一幅圖、第二幅圖的點相對更加集中，所以更加接近1，更加接近，所以.故選：A.3.已知事件相互獨立，且，，那么（）A.0.12 B.0.3 C.0.4 D.0.75【答案】B【解析】由于相互獨立，故.而，故.故選：B.4.已知向量，，，若，，三個向量共面，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為所以與不共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：B5.在一個關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機選取一個模型進行測試，則準(zhǔn)確率為（）A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.86【答案】C【解析】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.6.設(shè)函數(shù)在附近有定義，且，為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中用替換，知.所以.故.故選：D.7.若關(guān)于的不等式有唯一的整數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式有唯一的整數(shù)解，等價于有唯一的整數(shù)解，記，則，當(dāng)時，f'x>0；當(dāng)時，f所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得極大值，因為，所以，所以，即，作出函數(shù)的圖象如圖：因為不等式有唯一的整數(shù)解，所以，即.故選：B8.正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點為的中點，所以，則，當(dāng)點與某個側(cè)面的中心重合時，最小，且，當(dāng)點與正方體的頂點重合時，最大，且，由于點是在正方體表面連續(xù)運動，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)，則（）A. B.增區(qū)間為C.最大值為1 D.有兩個零點【答案】AB【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，因為，所以，故A正確；對于B，令，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為，故B正確；對于C，令，解得，故函數(shù)的減區(qū)間為，結(jié)合B選項，所以函數(shù)先減后增，有最小值，無最大值，故C錯誤；對于D，結(jié)合C選項，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，結(jié)合單調(diào)性，所以無零點，故D錯誤，故選：AB.10.已知在某次試驗中獲得數(shù)據(jù)如下：23410251915124與線性相關(guān)，且回歸方程為，則下列正確的是（）A.與具有負的線性相關(guān)關(guān)系 B.C.點落在回歸直線下方 D.估計時的值為【答案】AD【解析】,，故A對；，經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心點,，故B錯；把代入經(jīng)驗回歸方程得，點落在回歸直線上方，故C錯；當(dāng)時，，故D對.故選：AD.11.如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.平面與平面所成角余弦值為D.當(dāng)時，動點到平面的距離的最小值為1【答案】ACD【解析】對A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面，由平面，可得，故A正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，，由，令，可得，，，解得，即，對B，，，故B錯誤；對C，平面的法向量，平面的法向量，則，故C正確；對D，由知，在以為球心，半徑為1的球面上，，球心到平面的距離，到平面的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為______.【答案】【解析】求一個點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)，就是將軸的分量取相反數(shù)，而軸和軸的分量不變.故點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)就是.故答案為：.13.已知，且，則______.【答案】5【解析】，則有，由，則.故答案為：514.已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為______.【答案】【解析】當(dāng)時，，令，則，所以當(dāng)即時，與在處相切，且，滿足題意，所以，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在一次對外星文明的探索中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種外星生物，它們具有一種特殊的繁殖方式.科學(xué)家記錄了這種外星生物在連續(xù)8天內(nèi)的繁殖數(shù)量，發(fā)現(xiàn)繁殖數(shù)量與天數(shù)之間存在線性關(guān)系.（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，得到以下表格：天數(shù)12345678繁殖數(shù)量1315181920202225請利用最小二乘法求出線性回歸方程；（2）科學(xué)家從這種外星生物中隨機抽取了10個樣本進行基因分析，以研究其基因多樣性，發(fā)現(xiàn)這10個樣本中有3個樣本具有某種特殊基因.現(xiàn)從這10個樣本中隨機抽取2個樣本進行深入研究，記隨機抽取的2個樣本中具有某種特殊基因的樣本數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，）解：（1），，，，所以，線性回歸方程為.（2）依題意，隨機變量服從超幾何分布，的可能取值為，，.，，，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為.16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由，知.而在處取得極值，故，.故有方程組，即.所以，.（2）由（1）知，，故，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而直接計算知，，，故在上的最大值為，最小值為.17.2024年5月1日，“花樣漳州啤酒之夜群星演唱會”在漳州激情開唱，為現(xiàn)場2萬名觀眾帶來一場音樂盛宴.現(xiàn)隨機抽取200名現(xiàn)場觀眾，對他們的年齡和是否購買周邊產(chǎn)品進行了統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：年齡（歲）購買周邊不購買周邊總計小于304030及以上4580總計200（1）請完成上面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān)？（2）已知現(xiàn)場觀眾對某首歌曲的喜愛程度得分（單位：分），請估計現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為多少？（參考公式及表格：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828若，則，，.）解：（1）列聯(lián)表如下：年齡（歲）購買周邊不購買周邊總計小于30804012030及以上453580總計12575200假設(shè)年齡與是否購買周邊產(chǎn)品無關(guān)，因為，所以沒有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān).（2）依題意正態(tài)分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，人，現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為16372.18.如圖，多面體是三棱臺和四棱錐的組合體，底面四邊形為正方形，，，，平面平面.（1）證明：平面；（2）若平面與平面的交線為，（i）作出交線（需要寫出必要的作圖步驟，保留作圖痕跡，無需證明）；（ii）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖，在上取點，使，連接，，因為，所以，所以，且，又在正方形中，，所以，，又在三棱臺中，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）（i）延長和交于一點，連接，如圖，則直線即為平面與平面的交線.（ii）由平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，又因為，，所以在中，，所以，，取直線的方向向量為，設(shè)平面的法向量為，由得，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.定義:對于空間向量,,其“導(dǎo)數(shù)積”為.已知空間向量,為常數(shù)，記.（1）當(dāng)時，證明：；（2）若為的極大值點，求正實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，且滿足，，證明：.解：（1）依題意，，即，當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，得證.（2）當(dāng)時，，設(shè)，，令，解得，因為在R上單調(diào)遞增，于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，①當(dāng)時，，注意到及在單調(diào)遞減，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，為的極大值點，符合題意；②當(dāng)時，，由（1）知，，在R上單調(diào)遞增，無極值點，不合題意，舍去；③當(dāng)時，，注意到及在單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，為的極小值點，不合題意，舍去.綜上，的取值范圍為.（3）依題意，在上不單調(diào)，由（2）知，且，此時，當(dāng)x∈0,x0時，；當(dāng)x∈x所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而有，要證，只需證，由于在單調(diào)遞減，且，，故只需證，即證，設(shè)，x∈x0，設(shè)，則，，當(dāng)x∈x0,+∞時，有，又因為在于是有，即，從而在上遞增，即在上遞增，于是有，從而在上遞增，于是有，式得證，故原不等式成立.福建省漳州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在原點處的切線斜率為（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】因，則，故選：D.2.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進行比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知，從左到右第一幅圖、第三幅圖是正相關(guān)，第二幅圖、第四幅圖是負相關(guān)，且第一幅圖、第二幅圖的點相對更加集中，所以更加接近1，更加接近，所以.故選：A.3.已知事件相互獨立，且，，那么（）A.0.12 B.0.3 C.0.4 D.0.75【答案】B【解析】由于相互獨立，故.而，故.故選：B.4.已知向量，，，若，，三個向量共面，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為所以與不共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：B5.在一個關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機選取一個模型進行測試，則準(zhǔn)確率為（）A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.86【答案】C【解析】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.6.設(shè)函數(shù)在附近有定義，且，為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中用替換，知.所以.故.故選：D.7.若關(guān)于的不等式有唯一的整數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式有唯一的整數(shù)解，等價于有唯一的整數(shù)解，記，則，當(dāng)時，f'x>0；當(dāng)時，f所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得極大值，因為，所以，所以，即，作出函數(shù)的圖象如圖：因為不等式有唯一的整數(shù)解，所以，即.故選：B8.正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點為的中點，所以，則，當(dāng)點與某個側(cè)面的中心重合時，最小，且，當(dāng)點與正方體的頂點重合時，最大，且，由于點是在正方體表面連續(xù)運動，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)，則（）A. B.增區(qū)間為C.最大值為1 D.有兩個零點【答案】AB【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，因為，所以，故A正確；對于B，令，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為，故B正確；對于C，令，解得，故函數(shù)的減區(qū)間為，結(jié)合B選項，所以函數(shù)先減后增，有最小值，無最大值，故C錯誤；對于D，結(jié)合C選項，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，結(jié)合單調(diào)性，所以無零點，故D錯誤，故選：AB.10.已知在某次試驗中獲得數(shù)據(jù)如下：23410251915124與線性相關(guān)，且回歸方程為，則下列正確的是（）A.與具有負的線性相關(guān)關(guān)系 B.C.點落在回歸直線下方 D.估計時的值為【答案】AD【解析】,，故A對；，經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心點,，故B錯；把代入經(jīng)驗回歸方程得，點落在回歸直線上方，故C錯；當(dāng)時，，故D對.故選：AD.11.如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.平面與平面所成角余弦值為D.當(dāng)時，動點到平面的距離的最小值為1【答案】ACD【解析】對A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面，由平面，可得，故A正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，，由，令，可得，，，解得，即，對B，，，故B錯誤；對C，平面的法向量，平面的法向量，則，故C正確；對D，由知，在以為球心，半徑為1的球面上，，球心到平面的距離，到平面的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為______.【答案】【解析】求一個點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)，就是將軸的分量取相反數(shù)，而軸和軸的分量不變.故點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)就是.故答案為：.13.已知，且，則______.【答案】5【解析】，則有，由，則.故答案為：514.已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為______.【答案】【解析】當(dāng)時，，令，則，所以當(dāng)即時，與在處相切，且，滿足題意，所以，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在一次對外星文明的探索中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種外星生物，它們具有一種特殊的繁殖方式.科學(xué)家記錄了這種外星生物在連續(xù)8天內(nèi)的繁殖數(shù)量，發(fā)現(xiàn)繁殖數(shù)量與天數(shù)之間存在線性關(guān)系.（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，得到以下表格：天數(shù)12345678繁殖數(shù)量1315181920202225請利用最小二乘法求出線性回歸方程；（2）科學(xué)家從這種外星生物中隨機抽取了10個樣本進行基因分析，以研究其基因多樣性，發(fā)現(xiàn)這10個樣本中有3個樣本具有某種特殊基因.現(xiàn)從這10個樣本中隨機抽取2個樣本進行深入研究，記隨機抽取的2個樣本中具有某種特殊基因的樣本數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，）解：（1），，，，所以，線性回歸方程為.（2）依題意，隨機變量服從超幾何分布，的可能取值為，，.，，，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為.16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由，知.而在處取得極值，故，.故有方程組，即.所以，.（2）由（1）知，，故，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而直接計算知，，，故在上的最大值為，最小值為.17.2024年5月1日，“花樣漳州啤酒之夜群星演唱會”在漳州激情開唱，為現(xiàn)場2萬名觀眾帶來一場音樂盛宴.現(xiàn)隨機抽取200名現(xiàn)場觀眾，對他們的年齡和是否購買周邊產(chǎn)品進行了統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：年齡（歲）購買周邊不購買周邊總計小于304030及以上4580總計200（1）請完成上面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān)？（2）已知現(xiàn)場觀眾對某首歌曲的喜愛程度得分（單位：分），請估計現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為多少？（參考公式及表格：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828若，則，，.）解：（1）列聯(lián)表如下：年齡（歲）購買周邊不購買周邊總計小于30804012030及以上453580總計12575200假設(shè)年齡與是否購買周邊產(chǎn)品無關(guān)，因為，所以沒有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān).（2）依題意正態(tài)分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，人，現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為16372.18.如圖，多面體是三棱臺和四棱錐的組合體，底面四邊形為正方形，，，，平面平面.（1）證明：平面；（2）若平面與平面的交線為，（