高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市八校2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.書架上已有四本書，小明又帶來了兩本不同的長篇小說和一本人物傳記要放到書架上，若兩本小說不能放到一起，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】人物傳記有種放法，這樣五本書之間有個空，將兩本不同的長篇小說選兩個空插入即可不相鄰，共有種方法，故選：D．2.已知，如三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標系上的一組基底，則實數(shù)λ為（）A.0 B.9 C.5 D.3【答案】C【解析】因為向量，可得與不共線，又因為向量且不能構(gòu)成空間直角坐標系的一組基底，則存在實數(shù)使得，即，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C.3.某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、連花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記服用金花清感顆粒為事件A，服用連花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以.故選：C4.在展開式中，含項的系數(shù)是（）A.120 B.56 C.84 D.35【答案】A【解析】因為展開式的通項為（且），所以的展開式中，含項的系數(shù)是，故選：A.5.一箱鳳梨共有10個,其中有8個是優(yōu)果，從這箱鳳梨中隨機抽取2個，恰有1個優(yōu)果的概率為.某果園刺梨單果的質(zhì)量M（單位：g）服從正態(tài)分布，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由超幾何分布可得，由正態(tài)分布可得，所以，.故選：C.6.下列命題錯誤的是（）A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B.設(shè)，若，則C.線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心D.一個袋子中有個大小相同的球，其中有個黃球、個白球，從中不放回地隨機摸出個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數(shù)，則服從二項分布，且【答案】D【解析】對于選項A，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故選項A正確；對于選項B，由，，得，解得，故選項B正確；對于選項C，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故選項C正確；對于選項D，由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，由超幾何分布的定義知服從的超幾何分布，且，故選項D錯誤.故選：D.7.在二項式的展開式中，二項式系數(shù)的和為64，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在二項式展開式中，二項式系數(shù)的和為，所以.則即，通項公式為，故展開式共有7項，當時，展開式為有理項，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰，即把其它的5個無理項先任意排，再把這兩個有理項插入其中的6個空中，方法共有種,故有理項都互不相鄰的概率為,故選：A8.在空間直角坐標系中,平面、平面、平面把空間分成了八個部分.在空間直角坐標系中,確定若干個點,點的橫坐標、縱坐標、豎坐標均取自集合,這樣的點共有個，從這個點中任選2個，則這2個點在同一個部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，從這個點中任選2個，共有種選法，在坐標系同一部分的點的橫坐標、縱坐標、豎坐標的正負均相同，所以八個部分中的點的個數(shù)分別為，，，，2，2，2，1，故所求的概率為．故選：B.二、多項選擇題：本題共3題，每題6分，共18分，在每題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.展開式中最大的系數(shù)為【答案】ABD【解析】A.令，得，令，得，所以，故A正確；B.令，則，所以，，，故B正確；C.是系數(shù)，中的系數(shù)為，故C錯誤；D.展開式中，得到奇數(shù)次冪的項的系數(shù)都是負數(shù)，偶數(shù)次冪的項的系數(shù)都是正數(shù)，正數(shù)項有，其中，,，，所以展開式中的最大的系數(shù)是，故D正確.故選：ABD10.在4張獎券中，一、二、三、四等獎各1張，將這4張獎券分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至多2張，則下列結(jié)論正確的是（）A.若甲、乙、丙、丁均獲獎，則共有24種不同的獲獎情況B.若甲獲得了一等獎和二等獎，則共有6種不同的獲獎情況C.若僅有兩人獲獎，則共有36種不同獲獎情況D.若僅有三人獲獎，則共有144種不同的獲獎情況【答案】ACD【解析】對于A，若甲、乙、丙、丁均獲獎，則共有種不同的獲獎情況，A正確．對于B，若甲獲得了一等獎和二等獎，則其他三人有一人獲得2個獎項或者有兩人各獲得1個獎項，共有種不同的獲獎情況，B錯誤．對于C，若僅有兩人獲獎，則有兩人各獲得2個獎項，共有種不同的獲獎情況，C正確．對于D，若僅有三人獲獎，則有一人獲得2個獎項，有兩人各獲得1個獎項，共有種不同的獲獎情況，D正確．故選：ACD11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.異面直線與所成角正弦值為C.點到直線的距離是D.為線段上的一個動點，則的最大值為3【答案】BD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，故，，對于A，，A錯誤；對于B，記異面直線與所成角為，則，所以，故B正確.對于C，記同向的單位向量為，則點P到直線的距離，故C錯誤；對于D，設(shè)點，使，，則，故，則，因，則時，即點與點重合時，取得最大值3，故D項正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.隨機變量X的分布列是X-212Pab若，則_________．【答案】2【解析】由題意可知，∴，所以．故答案為：．13.已知，則______.【答案】【解析】令，即，因此原等式為，項為，所以.故答案為：14.三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度生得長度，兩種方法可以交替運用?連續(xù)運用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個基準音的樂器的長度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為___________.【答案】【解析】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，所以，解得故所求概率為.故答案為：15.已知在二項式的展開式中，第項為常數(shù)項.（1）求；（2）求的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和；（3）在的展開式中，求含的項.解：（1）由題意得第項為，則，解得（2）所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為.（3）由（1）知，其中展開式的通項為（且），則的展開式中，含的項為，含的項為，所以在的展開式中含的項為.16.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.解：（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面的法向量分別為，則有，取，則有，即點到平面的距離為.17.學校師生參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；（2）記參加活動女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為，求的期望.解：（1）設(shè)“有女生參加活動”為事件A，”恰有一名女生參加活動“為事件.則，所以.（2）依題意知服從超幾何分布，且，，所以的分布列為：012；（3）設(shè)一名女生參加活動可獲得工時數(shù)為，一名男生參加活動可獲得工時數(shù)為，則的所有可能取值為，的所有可能取值為，，，，，有名女生參加活動，則男生有名參加活動.，所以.即兩人工時之和的期望為13個工時.18.如圖甲所示，在平面四邊形中，，，，現(xiàn)將平面沿向上翻折，使得，為的中點，如圖乙.（1）證明：；（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為,求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）如圖，連接DM，因為，，M為AC的中點，所以，，又因為，所以，所以，，所以平面，

而平面，所以；（2）取MC的中點為O，BC的中點為E，連接DO，OE，則，因為所以，又因為O為MC的中點，所以，由(1)知平面，平面，所以，又,所以平面，以O(shè)為坐標原點，OA，OE，OD所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示坐標系，由題意知，，設(shè)平面DAB的一個法向量為，則，令，得，設(shè)，則，所以，所以，化簡得，解得(舍去)，所以點Q是DC上靠近D的三等分點，所以設(shè)平面BQM的一個法向量為，則，令，得，，故平面ADB與平面BQM所成角的余弦值為.19.2024年高三數(shù)學適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個選項，有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，多選題每題四個選項，有兩個或三個選項正確，全部選對得6分，部分選對得3分，有錯誤選擇或不選擇得0分．（1）已知某同學對其中4道單選題完全沒有答題思路，只能隨機選擇一個選項作答，且每題的解答相互獨立，記該同學在這4道單選題中答對的題數(shù)為隨機變量X．（i）求；（ii）求使得取最大值時的整數(shù)；（2）若該同學在解答最后一道多選題時，除確定B，D選項不能同時選擇之外沒有答題思路，只能隨機選擇若干選項作答．已知此題正確答案是兩選項與三選項的概率均為，求該同學在答題過程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．解：（1）（i）因為，所以．（ii）因為．依題意，即，解得，又為整數(shù)，所以，即時取最大值.（2）由題知，選項不能同時選擇，故該同學可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若該同學做出的決策是單選，則得分的期望如下：（分），（分），若該同學做出的決策是雙選，則得分的期望如下：（分），（分）．若該同學做出的決策是三選，則得分的期望如下：（分）．經(jīng)比較，該同學選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分.江蘇省鎮(zhèn)江市八校2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.書架上已有四本書，小明又帶來了兩本不同的長篇小說和一本人物傳記要放到書架上，若兩本小說不能放到一起，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】人物傳記有種放法，這樣五本書之間有個空，將兩本不同的長篇小說選兩個空插入即可不相鄰，共有種方法，故選：D．2.已知，如三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標系上的一組基底，則實數(shù)λ為（）A.0 B.9 C.5 D.3【答案】C【解析】因為向量，可得與不共線，又因為向量且不能構(gòu)成空間直角坐標系的一組基底，則存在實數(shù)使得，即，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C.3.某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、連花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記服用金花清感顆粒為事件A，服用連花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以.故選：C4.在展開式中，含項的系數(shù)是（）A.120 B.56 C.84 D.35【答案】A【解析】因為展開式的通項為（且），所以的展開式中，含項的系數(shù)是，故選：A.5.一箱鳳梨共有10個,其中有8個是優(yōu)果，從這箱鳳梨中隨機抽取2個，恰有1個優(yōu)果的概率為.某果園刺梨單果的質(zhì)量M（單位：g）服從正態(tài)分布，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由超幾何分布可得，由正態(tài)分布可得，所以，.故選：C.6.下列命題錯誤的是（）A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B.設(shè)，若，則C.線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心D.一個袋子中有個大小相同的球，其中有個黃球、個白球，從中不放回地隨機摸出個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數(shù)，則服從二項分布，且【答案】D【解析】對于選項A，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故選項A正確；對于選項B，由，，得，解得，故選項B正確；對于選項C，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故選項C正確；對于選項D，由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，由超幾何分布的定義知服從的超幾何分布，且，故選項D錯誤.故選：D.7.在二項式的展開式中，二項式系數(shù)的和為64，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在二項式展開式中，二項式系數(shù)的和為，所以.則即，通項公式為，故展開式共有7項，當時，展開式為有理項，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰，即把其它的5個無理項先任意排，再把這兩個有理項插入其中的6個空中，方法共有種,故有理項都互不相鄰的概率為,故選：A8.在空間直角坐標系中,平面、平面、平面把空間分成了八個部分.在空間直角坐標系中,確定若干個點,點的橫坐標、縱坐標、豎坐標均取自集合,這樣的點共有個，從這個點中任選2個，則這2個點在同一個部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，從這個點中任選2個，共有種選法，在坐標系同一部分的點的橫坐標、縱坐標、豎坐標的正負均相同，所以八個部分中的點的個數(shù)分別為，，，，2，2，2，1，故所求的概率為．故選：B.二、多項選擇題：本題共3題，每題6分，共18分，在每題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.展開式中最大的系數(shù)為【答案】ABD【解析】A.令，得，令，得，所以，故A正確；B.令，則，所以，，，故B正確；C.是系數(shù)，中的系數(shù)為，故C錯誤；D.展開式中，得到奇數(shù)次冪的項的系數(shù)都是負數(shù)，偶數(shù)次冪的項的系數(shù)都是正數(shù)，正數(shù)項有，其中，,，，所以展開式中的最大的系數(shù)是，故D正確.故選：ABD10.在4張獎券中，一、二、三、四等獎各1張，將這4張獎券分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至多2張，則下列結(jié)論正確的是（）A.若甲、乙、丙、丁均獲獎，則共有24種不同的獲獎情況B.若甲獲得了一等獎和二等獎，則共有6種不同的獲獎情況C.若僅有兩人獲獎，則共有36種不同獲獎情況D.若僅有三人獲獎，則共有144種不同的獲獎情況【答案】ACD【解析】對于A，若甲、乙、丙、丁均獲獎，則共有種不同的獲獎情況，A正確．對于B，若甲獲得了一等獎和二等獎，則其他三人有一人獲得2個獎項或者有兩人各獲得1個獎項，共有種不同的獲獎情況，B錯誤．對于C，若僅有兩人獲獎，則有兩人各獲得2個獎項，共有種不同的獲獎情況，C正確．對于D，若僅有三人獲獎，則有一人獲得2個獎項，有兩人各獲得1個獎項，共有種不同的獲獎情況，D正確．故選：ACD11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.異面直線與所成角正弦值為C.點到直線的距離是D.為線段上的一個動點，則的最大值為3【答案】BD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，故，，對于A，，A錯誤；對于B，記異面直線與所成角為，則，所以，故B正確.對于C，記同向的單位向量為，則點P到直線的距離，故C錯誤；對于D，設(shè)點，使，，則，故，則，因，則時，即點與點重合時，取得最大值3，故D項正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.隨機變量X的分布列是X-212Pab若，則_________．【答案】2【解析】由題意可知，∴，所以．故答案為：．13.已知，則______.【答案】【解析】令，即，因此原等式為，項為，所以.故答案為：14.三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度生得長度，兩種方法可以交替運用?連續(xù)運用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個基準音的樂器的長度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為___________.【答案】【解析】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，所以，解得故所求概率為.故答案為：15.已知在二項式的展開式中，第項為常數(shù)項.（1）求；（2）求的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和；（3）在的展開式中，求含的項.解：（1）由題意得第項為，則，解得（2）所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為.（3）由（1）知，其中展開式的通項為（且），則的展開式中，含的項為，含的項為，所以在的展開式中含的項為.16.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.解：（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面的法向量分別為，則有，取，則有，即點到平面的距離為.17.學校師生參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；（2）記參加活動女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為，求的期望.解：（1）設(shè)“有女生參加活動”為事件A，”恰有一名女生參加活動“為事件.則，所以.（2）依題意知服從超幾何分布，且，，所以的分布列為：012；（3）設(shè)一名女生參加活動可獲得工時數(shù)為，一名男生參加活動可獲得工時數(shù)為，則的所有可能取值為，的所有可能取值為，，，，，有名女生參加活動，則男生有名參加活動.，所以.即兩人工時之和的期望為13個工時.18.如圖甲所示，在平面四邊形中，，，，現(xiàn)將平面沿向上翻折，使