高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省瀘州市江陽區(qū)2023-2024學年高二下學期6月期末數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填涂在試卷上無效.3．非選擇題答案請使用黑色簽字筆填寫在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填寫在試卷上無效.第一卷選擇題（58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知直線，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為直線，且，則，所以.故選：B2.求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.3.已知雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于5，那么點P到另一個焦點F的距離等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】由題意可知，,，則，所以或，又因為,所以，故選：D.4.已知等差數(shù)列中，，則公差（）A.4 B.3 C. D.【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B5.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.6.函數(shù)的圖象大數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域為.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).當時，，則.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，所以，根據(jù)零點存在定理可得，，有，且當時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞增；當時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以C項滿足題意.故選：C.7.下列說法正確的有（）個①已知一組數(shù)據(jù)方差為，則的方差也為.②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則.④已知隨機變量服從二項分布，若，則.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】對于A：設(shè)平均數(shù)為，方差為，則，，所以的平均數(shù)為，所以方差為，故選項A正確；對于B：因為線性回歸直線過樣本點中心，所以，可得，故選項B錯誤；對于C：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以對稱軸為，又，而，所以，則，故選項C正確；對于D：因為服從二項分布，所以，所以，則，故選項D錯誤.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點Q，使得 B.存在點Q，使得平面C.三棱錐的體積是定值 D.存在點Q，使得PQ與AD所成的角為【答案】B【解析】A：正方體中，而P為線段的中點，即為的中點，所以，故不可能平行，錯；B：若為中點，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運動時，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當，則，；當則；當，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯.故選：B二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.10.若，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11.已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點A在的垂直平分線上，則A點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，所以，，…，，當時，；當時，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．13.若隨機變量的數(shù)學期望和方差分別為，，則對于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校聯(lián)考中，數(shù)學科考試滿分150分，某校高三共有500名學生參加考試，全體學生的成績,則根據(jù)上述不等式，可估計分數(shù)不低于100分的學生不超過___________人.【答案】10【解析】取，，所以或，又因為，所以，即估計分數(shù)不低于100分的學生不超過（人）.故答案為：1014.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，則原問題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以，則，所以，即.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：(1)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以令數(shù)列公比為，，，所以，解得(舍去)或，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，．(2)因為，所以，，，所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，．16.某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個項目，每項需花費2小時，B類有3個項目,每項需花費3小時，C類有2個項目，每項需花費1小時．要求每位員工從中隨機選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等．（1）求小張在三類中各選1個項目的概率；（2）設(shè)小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列．解：（1）記事件M為“在三類中各選1個項目”，則，所以小張在三類中各選1個項目的概率為．（2）由題知X的所有可能取值為4，5，6，7，8，9，則，，，，，．所以X的分布列為X456789P17.如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點到平面的距離．解：（1）在正三棱柱中，取中點，過作，連接，由平面，得平面，平面，則，，而，即兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，有，于是，，即，，而又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，則是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，而，，則，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，因此，所以二面角的正弦值為．（3）由（2）知是平面的法向量，而向量，所以點到平面的距離為．18.已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.（1）若點，，過點Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點，求的面積；（2）若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由已知可得，，.因為點，直線的斜率為，所以直線的垂線的方程為，整理可得，.設(shè)點，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，則，且，所以，.原點到直線的距離為，所以，的面積為.（2）①②為條件，③為結(jié)論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，所以直線的斜率為.又，所以.設(shè)點，因為直線的斜率，所以，所以；①③為條件，②為結(jié)論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，又，點Q在x軸正半軸上，所以，所以.又，所以，所以，；②③為條件，①為結(jié)論令點，，且，不妨設(shè).因為三點共線，所以，且.因為，點Q在x軸正半軸上，所以.因為，所以.又，所以，，且，所以，，即.19.已知函數(shù)．（1）若，求的最大值；（2）若，其中，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，則．令，則，在上單調(diào)遞減．又，存在使得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，有最大值．另法：當時，，令，則，其中，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故，即的最大值為．（2）令，由題意知的取值應(yīng)滿足函數(shù)有兩個零點．易得，若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，不符合題意，舍去；若，則當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．要使函數(shù)有兩個零點，則易知．令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由知在和上各有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為．另法：令，由題意知m的取值應(yīng)滿足函數(shù)有兩個零點，若，易知單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；若，由知，，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，且時，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．四川省瀘州市江陽區(qū)2023-2024學年高二下學期6月期末數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填涂在試卷上無效.3．非選擇題答案請使用黑色簽字筆填寫在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填寫在試卷上無效.第一卷選擇題（58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知直線，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為直線，且，則，所以.故選：B2.求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.3.已知雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于5，那么點P到另一個焦點F的距離等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】由題意可知，,，則，所以或，又因為,所以，故選：D.4.已知等差數(shù)列中，，則公差（）A.4 B.3 C. D.【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B5.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.6.函數(shù)的圖象大數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域為.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).當時，，則.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，所以，根據(jù)零點存在定理可得，，有，且當時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞增；當時，有，顯然，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以C項滿足題意.故選：C.7.下列說法正確的有（）個①已知一組數(shù)據(jù)方差為，則的方差也為.②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是.③已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則.④已知隨機變量服從二項分布，若，則.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】對于A：設(shè)平均數(shù)為，方差為，則，，所以的平均數(shù)為，所以方差為，故選項A正確；對于B：因為線性回歸直線過樣本點中心，所以，可得，故選項B錯誤；對于C：因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以對稱軸為，又，而，所以，則，故選項C正確；對于D：因為服從二項分布，所以，所以，則，故選項D錯誤.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點Q，使得 B.存在點Q，使得平面C.三棱錐的體積是定值 D.存在點Q，使得PQ與AD所成的角為【答案】B【解析】A：正方體中，而P為線段的中點，即為的中點，所以，故不可能平行，錯；B：若為中點，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運動時，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當，則，；當則；當，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯.故選：B二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.10.若，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11.已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點A在的垂直平分線上，則A點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，所以，，…，，當時，；當時，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．13.若隨機變量的數(shù)學期望和方差分別為，，則對于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校聯(lián)考中，數(shù)學科考試滿分150分，某校高三共有500名學生參加考試，全體學生的成績,則根據(jù)上述不等式，可估計分數(shù)不低于100分的學生不超過___________人.【答案】10【解析】取，，所以或，又因為，所以，即估計分數(shù)不低于100分的學生不超過（人）.故答案為：1014.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，則原問題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以，則，所以，即.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：(1)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以令數(shù)列公比為，，，所以，解得(舍去)或，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，．(2)因為，所以，，，所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，．16.某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個項目，每項需花費2小時，B類有3個項目,每項需花費3小時，C類有2個項目，每項需花費1小時．要求每位員工從中隨機選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等．（1）求小張在三類中各選1個項目的概率；（2）設(shè)小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列．解：（1）記事件M為“在三類中各選1個項目”，則，所以小張在三類中各選1個項目的概率為．（2）由題知X的所有可能取值為4，5，6，7，8，9，則，，，，，．所以X的分布列為X456789P17.如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點到平面的距離．解：（1）在正三棱柱中，取中點，過作，連接，由平面，得平面，平面，則，，而，即兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，有，于是，，即，，而又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，則是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，而，，則，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，因此，所以二面角的正弦值為．（3）由（2）知是平面的法向量，而向量，所以點到平面的距離為．18.已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.（1）