第4章不定積分

內容概要

名稱主要內容

不

設/(?,xwl，若存在函數(shù)尸(x),使得對任意xe/均有尸")=/。)

定

積

或db(x)=f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。

分

的

/(X)的全部原函數(shù)稱為/(X)在區(qū)間I上的不定積分，記為

概

念

j/(x)^=F(x)+C

注：(1)若/3連續(xù),則必可積；(2)若尸(x),G(x)均為/(x)的原函數(shù)，則

F(x)=G(x)+C.故不定積分的表達式不唯一。

性性質1:/⑴公]=7⑴或=/。冰；

質

性質2：jF\x)dx=尸(幻+C或JdF(x)=F(x)+C；

不

定

性質3：j[af(x)±pg(x)\dx=ajf(x)dx±g(x)dx,為非零常數(shù)。

積

分計

皿一設f(〃)的原函數(shù)為“(〃)，〃二例外可導，則有換元公式：

算第一換兀

方,以2微分J/(破動。'㈤&=J/(。(八加以*="例x))+C

法

法)

工f設x=W)單調、可導且導數(shù)不為零，/[*)]”⑺有原函數(shù)

換兀積

"2、FQ),則

JJ\x)dx=J/(奴/))"⑺力=/⑺+C=FS'3)+C

:部積分J〃(五)=ju(x)dv(x)=u(x)v(x)-jv(x)du(x)

有理函數(shù)若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮?；對?/p>

積分分式的處理按情況確定。

本章在下一章定積分中由微積分基本公式可知--求定積分的問題，實質上是求被積函數(shù)

的地的原函數(shù)問題：后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最

位與終的解決都歸結為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結為求不定積分。

作用從這種意義上講，不定積分在整個枳分學理論中起到了根基的作用，枳分的問題會

不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學

習的深入，同學們會慢慢體會到！

課后習題全解

習題4-1

1.求下列不定積分：

知識點：直接枳分法的練習一一求不定積分的基本方法。

思路分析：利用不定積分的運算性質和基本積分公式，直接求出不定積分!

★⑴牌

|-2

思路：被積函數(shù)一丁尸=.丫2,由積分表中的公式（2）可解.

rz/rc~2-

解：[-^==[x2dx=--x2+C

Jx2G）3

★⑵

思路:根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分為兩項，分別枳分。

2

解：f(Vx——\=)dx=[-x=Jx^clx-1x^clx=—x3-lx1+C

x/x4

★⑶卜2*+/狀

思路:根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分為兩項,分別積分。

解:J⑵+xbdx=J2d+Jx2dx=^+^x3+C

★（4）（戈-3）4E

思路:根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。

￡I^53

解:Jy/x(x-3)cbc=X7dx-3{x2dx=-x--2x2+C

J5

,3x4+3x2+l,

★★(5)f----；------dx

Jr+1

3/q2

思路:觀察到——；-------=3x2+--后，根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分項,

x2+1X2+1

分別積分。

r331+3x"+1.r.2/「1,3-

A解a：-------------clx=3x~clx+——rdx=x'+arctanx+C

Jx2+\JJ1+x2

★★(6)J-----dx

思路：注意到上T=,二1-一二，根據(jù)不定積分的線性性質，將被積函數(shù)分項,

1+r1+r1+JT

分別積分。

解:------76a=x-arctanx+C.

1+x

注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式,

通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。

,r.X134、，

★(7)(--+^r--kv

J2XX3x4

思路:分項積分。

解：+-^---^-)tZ￥=—fxdx-[—dx+3fx-4fdx

J

J2xdAJ2JxJJ

=—x2—In|x|——x2H—x3+C

423

★⑻Jq3,-2\b：

J\+x-疝7

思路:分項積分。

32??

解：f(————)dx=3|------7dx-2\f，dr=3arctanx-2arcsinx+C.

J1+/仄了J14-X2J，？7

★★(9)

III7

思路：\jx\]xy/x=?看到一十一十——

=X248=X8直接積分。

思路:裂項分項積分。

解：f————dx=[(二----二必v-[\dx-f—二小=---arctanx+C.

Jx_(l+x~)Jr1+尸JJl+kx

★⑴J汨△

解：[汨公=嚴])，+%=J(e"+1心…x+C

★★(12)/3"'公

思路:初中數(shù)學中有同底教鬲的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)用乘。顯然37、=(3,3

解」37%邛怒+C

★★(13)Jcot'x心

思路:應用三角恒等式“8t2j=CSc2%-l”。

解：Jcot2xd[x-=J(esc2A-\)dx=-cotx-x+C

vX

★」3」r2-3dx-5-2

23-522

思路:被積函數(shù)=2-5(-)r,積分沒困難。

—3

2?3'-5?2;J(2.53M=2X-5」IL+C.

解：j--------------<lx=

3'J3In2-In3

★★(15)Jcos?^dx

思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降暴，再積分。

2Xjr1+COSx,11.「

解：Jcos—d=——dx-—x+—sinx+C.

2J222

1

★★(16)J-dx

1+coslx

思路:應用弦函數(shù)的升降品公式，先升籍再積分。

I,f1,1「2r1八

解：J------------dx=------z—cix=—sec-xclx=—tanx+C.

l+cos2xJ2cos2x2J2

cos2x,

★(17)J---------------ax

cosx-sinx

思路:不難，關鍵知道“cos2x=cos2x-siifx=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”。

rcos2x.=J(cosr+sinr)<7r=sinr—cosr+C.

解：--------:—小

Jcosx-sinx

★(18)jcos2x,

cos2X-sin2X

思路：同上題方法，應用“cos2x=cos2x-sin2x”，分項積分。

cos2x,rcos-x-sin-x.r1,r1

解:—2~~=—2-=I—^-^-1——

cosxsinxJcosxsinxJsinxJcosx

esc2xdx—[sec2xdx=—cotx—tanx-\-C.

ll-X|

★★(19)T+7+

思路:注意到被積函數(shù)后十欄二\-x14-X2

=，應用公式⑸即可。

J-VVi-x2Vi-x2

XU+x/1dx=2arcsinA+C.

解:

XVl-x2

fl+COS2X.

★★(20)----------dx

J1+cos2x

H'、1+COS~X1+COS2X111nrj八口/日

思路:注意到被積函數(shù)---------=-----；—=-sec-x+一，則積分易得。

l-cos2x2cos-x22

a”r1+cos2,1r、,1r.tanx+x〃

解：---------dx=—sec-xdx+—\clx=-------+C.

J1+cos2x2J2J2

★2、設Jxf（x）dx=arccosx+C,求/（x）。

知識點：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關系。

思路分析：直接利用不定積分的性質1：卻/。）公]=/（4）即可。

解：等式兩邊對x求導數(shù)得：

加公=--7=^^-fM=---

★3、設/（x）的導函數(shù)為sinx,求/（用的原函數(shù)全體，

知識點：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關系。

思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。

解：由題意可知，f（x）=Jsinxdx=-cosx+C1

所以/5）的原函數(shù)全體為：j（-cosx+C,to=-sinx+QX+C2o

x

ie

★4、證明函數(shù)一/二evshx和exchx都是--------的原函數(shù)

2dtxshx

知識點：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關系。

思路分析：只需驗證即可。

xx2x

解：一--=『、，而邑[（工）]=—[eshx]=—[ecln]=e

chx-$hxclx2dxdx

★5、一曲線通過點（笳,3）,且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標的倒數(shù)，求此

曲線的方程。

知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質仍為考查原函數(shù)(不定

枳分)與被積函數(shù)的關系，

思路分析：求得曲線方程的一股式，然后將點的坐標帶入方程確定具體的方程即可。

解：設曲線方程為y=/(x),由題意可知：—f/(x)]=-,f(x)=\n\x\+C

dxxi

又點(f,3)在曲線上，適合方程，有3=ln(e2)+C,/.C=],

所以曲線的方程為/(x)=In|x|+l.

★★6、一物體由靜止開始運動，經(jīng)，秒后的速度是3?(m/s),問：

(1)在3秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？

(2)物體走完360米需要多少時間？

知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質仍為考查原函數(shù)(不定積分)與

被積函數(shù)的關系。

思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。

解：設物體的位移方程為：)=/?)，

則由速度和位移的關系可得：；"(n=3/=>/?)二/十。，

dt

乂因為物體是由靜止開始運動的，/(0)=0,.-.C=0,/.f(t)=/3。

(I)3秒后物體離開出發(fā)點的距離為:/(3)=3,=27米；

(2)令r=360=，=荻6秒。

習題4-2

★1、填空是下列等式成立。

知識點：練習簡單的湊微分。

思路分析：根據(jù)微分運算湊齊系數(shù)即可。

解：(1)。丫二』d(7x-3);(2)AZ/V=--^/(l-x2);(3)x3dx=—〃(3/-2);

7^1

(4)e2xdr=-);(5)—=-d(5In|x|);(6)—=--d(3-51n|x|);

2x5x5

(7)4力=2d(");⑻=，d(tan2外;(9)心=-^/(arctan3x).

cosf22x21+9/3

2、求下列不定積分。

知識點：(湊微分)第一換元積分法的練習。

思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達式中，有沒

有成塊的形式作為?個整體變量，這種能夠馬.上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟

練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目乜非常有效，這在課外例題中專門介

紹！

★(1)j*df

思路:湊微分。

解：je3,dt=-\eild(3t)=-e3t+C

33

★⑵卜3-5幻院

思路:湊微分。

解：j(3-5x)cix=-ij(3-5x)'d(3-5x)=-—(3-5x)4+C

520

★(3)f-----dx

J3-2x

思路：湊微分。

解：［—-djc=-

J3-2x

★⑷

思路:湊微分。

解:加13公=-1j為\4(5-3x)=-1j(5-3xpJ(5-3x)=-1(5-3x)§+C.

X

★⑸j(sinax-G)dx

思路:湊微分。

x?XX1X

解：1(sinax-eh)dx=—jsinaxd{ax)-/?jebr/(—)=——-cosax-beh+C

★★(6)

思路:如果你能看到d(J7)二」尸dt,湊出d(J7)易解。

2，

解:=2jcos〃d(")=2sinVr+C

★⑺Jtan10xsec2Azz￥

思路:湊微分。

解：jtan10xscc2xdx=Jtan10%J(tanx)=—tan11x+C.

★★(8)j----------

Jxlnxlnlnx

思路:連續(xù)三次應用公式⑶湊微分即可。

解：fdx=i1111nlnx|+C

JxlnxlnlnxJInxlnlnxJInInx

★★(9)ftanJl+Y:心

思路:本題關鍵是能夠看到一^^^是什么，是什么呢？就是djl+f!這有一定難度!

VI+x2

解：ftanA/1+X2產(chǎn)，=ftan\J\4-X2C1A/1+x2=-In|cosJl+x?|+C

JVIT7J

★★(10)jdx

sincosx

思路：湊微分。

解：

方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx。

[-------=f=fesc2xd2x=In|esc2x-cot2x\+C

JsinxeosxJsin2xJ

方法二：將被積函數(shù)湊出lan柒的函數(shù)和tanx的導數(shù)。

rdxrcosx,f1o.r1...._

---------=---------dx=----see-xdx=----Jtanx=In|tan|+C

JsinxeosxJsinxeos4'xJtanxJtanx

方法三：三角公式sin2x+cos2x=1,然后湊微分。

dxrsin-x+cos~x.(?sinx.rcosx.rdcosxrdsinx

—-------=—————dx=-----dx+——dx=-\------+-

sinrcosxJs:inrcosxJcosrJsinxJcosxJsinx

=-In|cosx|+ln|sinx|+C=In|tanx|+C

★★Y

de'de'

思路:湊微分:

1+匹―1+(/月

f^-=f4^=f^^=arctan^C

解：+

2x

J"'/'Je+iJl+(/)2

★(12)Jxcos(x2)dLr

思路:湊微分。

解：jxcos(x2=—jcosx2dx2=—sinx2+C

★★(13)jxdx

y]2-3x2

田必,xdx1dx11或2-3.d)、丑劉，△日初

思路：由------=一—I-------=------1------湊微分易解。

J2-3/272-376J2-3/

解」卷二十餐#7及一才'2*)YE+C

★★(14)Jcos2(cot)sin(o)t)dt

思路：湊微分。

解：fcos2(6y/)sin(<y/)6//=—[cos2(cot)s\n(cot)da)t=—fcos2(<wrV/cos(69/)

JcoJcoJ

思路:湊微分。

解產(chǎn)T餐心力金女“力士小心"刖J"。

，小rsinx.

★(16)--L/V

JCOS'X

思路:湊微分。

.ofsinx.r1.11—

解：I_dx=_I---；—dcosx=-----；—FC.

JCOSXJcos'X2COS'X

.9

★★(17)JjX2()必

思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。

★★(18)r[I.—xdx

J79^47

思路:分項后分別湊微分即可。

\-x

解:I=dx-f.=dx

79-4x2V9-4x2」V9-4x2

[.1d4x2

JV9-4x2

f.1e/(9-4x2)

JA/9^47

=；arcsin(與)+；，9-4x?+C.

…9)—

思路:裂項分項后分別湊微分即可。

dx1

解:2__________1f______\l_x__

J2x-l)(V2x+l)(V2x-l)2Jx/=2x-l(&+1

I"

----------廣—)“必

v2x—1>j2.x+1

1X/2A-1

—d(y/2x—1)—d(Cx+D=

~2y[2-1y/2x+\邛M也x+1

，cc、fxdx

★(20)--------

J(4-5x)2?

思路:分項后分別湊微分即可。

解」法f(———4-!--)J(4-5A)

J4-5x(4—5x)2

力士45）一方1I41

—</(4—5x)=—In14—5x|H---------FC.

(4-5x)25254-5x

★（21）------

J（x-1）'00

思路：分項后分別湊微分即可。

X?dx=f(1+1)2==f(1)2(x-l)]).

解:(x-1)頌一八(1-1)網(wǎng)(X-I)1(x,—W

=1(]1

(1)98+(I)"'(X-l)'面)d(xT)

11」」一+c

97(x—1)9749(x—I,?99(x—1)99

思路:裂項分項后分別湊微分即可。

xdxrxdx1

解:8-

x-1J(x4-l)(x4+l)-1X4+1

11

/久2_i小

--f———dx1=-ln|--1--arctanx2+C.

4J(x2)2+I8x2+l4

★(23)jcos5xdx

思路：湊微分。cos.uZx=Jsinxo

解:jcos3xdx=jcos2A-cosxt/r=jcos2xJsinx=j(l-sin-x)dsinx

=sinx——sin3x+C

3

★★(24)Jcos2(cot+(p)dt

思路：降轅后分項湊微分。

解：jcos2(<yr+^?)Jr=j-1+cos2(切+0)力_+止Jcos2(cot+(p)d2(cot+9)

2

——tH---sin2(①i+(p)+C

246y

★★★(25)Jsin2xcos3xdx

思路:積化和差后分項湊微分。

解：jsin2xcos3xdx=Jg(sin5x-sinx)clx=-^j|sin5xd5x-gJsinxdx

1u1c

=---cos5x+—COSX+C

102

★★★(26)Jsin5xsin7xdx

思路:積化和差后分項湊微分。

解：Jsin5xsin7xdx=jg(cos2x-cos12x)clx=—jcosIxdlx-

COS12AZ/(12A)

=—sin2x--sin12x+C.

424

★★★(27)jtan'xsecxdx

思路：湊微分tanxsecxdx=dsecx。

3222

解:Jtanxsecxdx=Jtanx-tanxsecxdx=jtanxdsecx=j(secx-l)dsecx

xdsecx-[dsecx=—sec3x-secx+C

J3

★★(28)

思路：湊微分/dx=d(-arccosx)o

Vl-x2

i/xatcvvs.i15A

解：f：dx=-[l01rc8'xdarccosx=-———+C.

J了?」In10

★★(29)f-------公

」(arcsinx)2v1-x2

思路:湊微分刀」=十公="(arcsinx)。

VI-x2

dx_rdarcsinx

22J2―--+C

(arcsinx)yj\-x(arcsinx)arcsinx

me、farctan\[x.

★★★★(30)I--=.-----dx

JVx(l+x)

思路：湊微分五杰=2ct'二"”炭二?arctanVxJ(arctan&)。

Jx(l+x)l+(Jx)2

解：Zrf==2arctan^(arctan

=(arctan\[x)2+C

rIntanx,

★★★★(31)-----------dx

JcosxsinJ

思路：被積函數(shù)中間變量為tanx,故須在微分中湊出tanx,即被積函數(shù)中湊出sec?4,

Intanx.Intanx,Intanx1Intanx.

------------clx=-----；--------ax=sec'2xcix=atanx

cosA:sinxcos'xtanxtanx-----------------tanx

=IntanxJ(lntanx)=6/(—(Intanx)2)

2

rIntanx,rIntanx,rIntanx,

解:-----------dx二-------atanx=jintan,￥z/(lntanx)

JcosxsinxJtanx

=—(Intanx)2+C

★★…2)喘卜

思路：J(xlnx)=(1+Inx)dx

_r1+Inx,r1,,,1萬

解：--------dx=-----7d(xlnx)=------+C

J(xlnx)~J(xlnx)"x\nx

★★★★(33)f-

Jl-ex

解：方法一：

思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以則湊微分易得。

段=用7占—1—"1)-上一“+0

方法二：

思路；分項后決微分

rdx「1一/+6、r..fexr1....

----=--------dx=\clx+----dx=x-----cl(\-ev)

J\-exJ\-exJJ\-exJl-^v

=x-ln|i-ex|+C=x-ln(^A|e~x-1|)+C

=x-(lnev-ln|<x-l|)+C=-ln|^x-l|+C

方法三：

思路：將被積函數(shù)的分子分母同時乘以"，裂項后湊微分。

edxvx

=f_^—=fF-L+—!—=Ine-f—d(\-e)

J\-exJex(l-ex)Jex(l-ex)S[ex\-ex]J\-ex

=x-\n\\-ex\+C=-\n\e-x-]\+C

★★★★(34)[金

Jr(r6+4)

解：方法一：

思路：分項后湊積分。

Jx，+4)―4JX(X6+4)Fx(f+4)―磯丁爐+4戶

=—In\x\---f—---—In|x6+4|+C

424JX6+424

方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。

令x=_,則---dtc

tr

.T—=f，x(」)力=」叩=.邛(3

2)6

尤，+4)Jj_+4't24J1+4/24J1+4/6

7

1i4

=——ln(l+4r6)+C=——ln(l+—)+C.

2424x6

「dx

★★★★(35)JV(i-Y)

解：方法一：

思路：分項后湊積分。

rdx\-X+A.(1-X2)(I+X2)(1+X4),rdx

Jx\\-x2)一犬5EC

1+A1?+X，+X*,rdx

----------------

=1x8J(l-x)(l+x)

邛"十下分

11-X

111+C

InT+7

方法二：思路：利用第二類換元法的倒代換。

令X=一，則力;二---dto

“盜號二/7?那=-1為公-力辿

=J/+/+/+1)力-j=-j(r6+z4+r2+V)dtj(—!-j-——力

15131./—1.—11I1111

=--t7-t'——r-t——tIn——+C--In|總+c

7532r+17x75x53x3x2

3、求下列不定積分。

知識點：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習。

思路分析：題目特征是一一被枳函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中,

下列二恒等式起到了重要的作用。

sin2x+cos2x=1;see2x-tan2x=\.

為保證替換函數(shù)的單調性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調。不妨將角的范圍統(tǒng)

統(tǒng)限制在銳角范圍內，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可。

★★★(1)Jdx

1+Vl-x2

思路:令工=41144＜：］，先進行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降累公式。

JI

解：令R=sin，，W<—?則ar=cos〃”。

2

clxcostdtdtrdt

=t-\----------

J02，

1+cosr+cosf2cos—

2

tc.X.}—yJi-X2

=r-tan—+C=arcsmx-------,+C.(或二arcsinx---------------+C)

2l+Vl-T?x

tsinf1-cos/、.4r----

(萬能公式lan—=---------=----------,又sinf=x時，cost=\Jit-x)

21+costsin/

★★★(2)f9dx

J'xx

7T

思路：令x=3sec/"E（0.一）,三角換元。

2

解：令x=3sec/"w(0,3,則公=3secftan”"。

2

3份11%secttantdt=3Jtan2tdt=3J(sec)-Y)dt

3sect

=3tanr-3r+C=Vx2-9-3arccos—+C.

|x|

(x=3secx時，cos>，i…正6-9)

dx

★★★(3)

思路：令x=tan/,"v],二角換元八

解：令x=tanf,W<],則dx=sec2tdt。

rdxrsec2tdtrdtr,Y

/./=---------=-----=cos/Jr=sinr+C=-===+C

2J

JJ(x+1)3JsecfJseer

dx

★★★(4)

J*+/)3

思路:令工=@1211力|<],三角換元。

解：令x=alanf,"v則av=asec2〃，。

rdx_casec2tdt_rdt-4fcos^r=^5inr+C

Tyl(x2+a2)3J/s%"J

a~」a~

=—廣+C

X"+1.

★★★★⑸j—.dx

xvx4+1

思路:先令〃=/，進行第一次換元；然后令〃=tanf6|<],進行第二次換元。

X+L次,令"二f得;

解：...

+1

du,令u=tan/,，＜一,則du=sec2tdt,

2」“J”?+12

1+1_1ftan/+1sec"」尸標+1

sectdt

/+]2*1tanr-seerJ

4-12tanr

=g](cscr+secr)Jr=^-ln|secr+tanr|+^ln|csc/-cotr|+C

1

+1+x2+—InV7+T-1

,n+1+//+-\n+C=—In7+C.

4F2u22x~

(與課本后答案不同)

★★★(6)j>J5-4x-x2dx

思路:三角換元，關鍵配方要正確。

解：5-4x-f=9-(x+2)2,令x+2=3sinzjf|＜工,則公=3cos〃/r。

「J《5-4x-x?dx=J9cos2tdt=9,1+"dt=9(-1+^-sin2/)4-C

9.x+2x+2

=—arcsin——個5—4元一r+C.

232

★★4、求一個函數(shù)/(x)，滿足/OOnpL,且/(0)=1。

Ji+x

思路:求出—=的不定積分，由條件/(0)=1確定出常數(shù)C的值即可。

VI十A

解：?:f/1dx=[Jd(x+V)=2>/l+x+C.

JVl+x」Vl+x

令/5)=2jHM+C,又/(0)=1,可知。=一1,

f(x)=2jl+"-1.

H",

★★★5、設/〃=flan"xdx,,求證：In=---tanx-/〃.2?并求Jtan，xclx。

Jn—\

思路：由H標式子可以看出應將被積函數(shù)tan"X分開成tan〃-2_nan2x,進而寫成:

tan"-2x(sec2x-l)=tan'_2xsec2x-tanw-2x,分項積分即可。

證明：/〃=jtan"AZZT=j(tan0-2xsec2x-tan,,_2x)cbc=jtan//_2xs1;ec2xdxtan0-2xdx

/,-1

=ftan"。xdtanx-/M_2=——tanx-1n2.

Jn-\

〃=5時，Is=jtan5.vtZ￥=—tan4x-/^=—tan4x--tan2x+/,

442

=—tan4x--tan2x+ftanxdx=—tan4A--tan2x-InIcosx\+C.

42J4211

習題4-3

1、求下列不定積分：

知識點：基本的分部積分法的練習。

思路分析：嚴格按照“'反、對、基、三、指‘順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微

分?！钡脑瓌t進行分部積分的練習。

★(1)\arcsinxdx

思路:被積函數(shù)的形式看作arcsinx,按照“反、對、察、三、指”順序，幕函數(shù)d優(yōu)先

納入到微分號下，湊微分后仍為公。

解：[arcsinxdx=xarcsinx-fx——dx=xarcsinx+—[—=^=d(y-x1)

」JVT72、

=xarcsinx+\J\-x2+C.

★★(2)jln(l+W世

思路：同上題。

解:jln(l+x2Xr=jrlnd+x2)-jx=xln(l+x2)-

xln(l+x2)-j2(x+?-2公=.口(1+%2)一[2公+2]~^

1+r'J\+x~

=x\n(\+X2)-2X+2arctanx+C.

★(3)

思路：同上題。

.r.rclx1rt/(l+x2)

解Ax：arctanxax-xarctanx—x-----xarctanx——-----；—

JJ1+/T2Jl+x2

=xarctanx-萬ln(l+x~)+C

★★(4)je2vsin^dx

思路：嚴格按照“反、對、某、三、指”順序湊微分即可。

1_，X.X1_，xX1f-2r.X,

=——esin----e'cos------e-sin—ar

228216J2

fe~2xsin—dx=-——(4sin—+cos—)+C.

J21722

★★⑸jx2arctanxdx

思路：嚴格按照“反、對、皋、三、指”順序湊微分即可。

解：jx2arctanxdx=Jarctanxd(^-)=~x3arctanx-Jg/112dx

11rx3+x-x.11r.x,.

=-x3arctanx——-----：-ax=-x3arctanx——(x-------)ax

33J1+x233J1+x2

=-x3arctanx——f+-f—^-rdx=-xiarctanx--x2+—f—!—rJ(l+x2)

33J3J1+x2366J1+x2

=-x3arctanx--x2+—ln(l+x2)+C.

366

rx

★(6)xcos-dx

J2

思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。

解：fxcos—dx=2(AZ/sin—=2xsin--2fsin^-clx=2xsin—-4卜咽

J2J22J22

XX

-2xsin—+4cos—+C.

22

★★(7)Jxtan2AzZv

思路：嚴格按照“反、對、轅、三、指”順序湊微分即可。

解：Jxtan2.￥dLr=Jx(sec2x-l)dt=J(xsec2x-x)dx=Jxsec2xdx-jxdx

=jxJ(tanx)-^xdx=xtanx-jtanxtZr-^x2=xtanx+In|cosx|-x2+C.

★★(8)j\n2xdx

思路：嚴格按照“反、對、恭、三、指”順序湊微分即可。

解：JlnA小=xln?x-[x-2\x\x^-dx=x\vrx-2jlnx<tZr=xln2x-2xlnx+2jx-clx

XX

=xln2x-2xlnx+2jclx=x\n2x-lxXnx+lx+C.

★★⑼[xln(x-lyZr

思路：嚴格按照“反、對、轅、三、指”順序湊微分即可。

解：|xln(x-lXv=Jimx-lW,=gx?ln(x-1)-jXdx

=—x2In(x-l)--j-——上以=—x2In(x-l)-—J(x+1+—!—Xr

=—x2In(x-l)-—x2--x-—In(x-1)+C

2422

★★(10)I*In*小.

JJC

思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。

解:-2\nx-dx=—In2x+2

xxx

=--In2x+2

x

=--(In2戈+lnx+2)+C

x

★★(11)jcoslnAZZV

思路：嚴格按照“反、對、累、三、指”順序湊微分即可。

^-cbc=xcosInx+JsinInxdx

解:,/JcosInxdx=xcoslnx+jxsinInx?

=xcosInx+xsinInx-jxcosInx-^-dx=xcoslnx+xsinInx-jcosInxdx

/.jcosln.xzZr=(coslnx+sinInx)+C.

★★(12)

思路：詳見第（10）小題解答中間，解答略。

★★(13)\nxdx(〃工-1)

思路：嚴格按照“反、對、鼎、三、指”順序湊微分即可。

丫”+111

解：fxnInxdx=fInxd----=----x,,+l\nx-f----xn+i.%

JJn+17?4-lJ〃+lx

=1xrt+,\nxf1xndx^—xnAin%1IC.

〃+lJ〃+l〃+lI(/?+l)>

★★(14)|x2e~xclx

思路：嚴格按照“反、對、哥、三、指”順序湊微分即可。

解：fx2e~xdz=-x2e~x+j2xdx=一3-丫-2xe~x+2Je~xdx

=一/6一_2xe~x-2e-x+C=-e-v(x2+2x+2)+C

★★(15)1x3(lnx)2dhr

思路：嚴格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。

解：jx3(lnx)26tr=j(lnx)2^/(—x4)