高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，或，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，但，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D正確，故選：D2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故選：A3.若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則，故，故B正確，ACD錯(cuò)誤，故選：B4.已知向量滿足，則向量與夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，從而，所以即，故，故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，平方得，即，解得，又，，且，則，即，所以由，得，故，所以.故選：C.6.將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球，則不同的放法種數(shù)是（）A.2640 B.2160 C.1800 D.1560【答案】D【解析】分兩類解決這個(gè)問(wèn)題：第一類，一個(gè)盒中3個(gè)球，另外三個(gè)盒中每個(gè)盒1個(gè)球，共有種；第二類，其中兩個(gè)盒每個(gè)盒2個(gè)球，另外兩個(gè)盒每個(gè)盒1個(gè)球，共有種；按照分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的方法種數(shù)共有種.故選：D.7.設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件概率可得所以，，所以，故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)定義域內(nèi)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.函數(shù)和在上有相同的單調(diào)性【答案】C【解析】對(duì)于A：，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以恒成立，又因?yàn)椴幌嗟?，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以恒成立，所以，又因?yàn)椴幌嗟?，，所以，又，，，，所以，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:因?yàn)椴幌嗟龋环猎O(shè)，因?yàn)?，所以，所以，C選項(xiàng)正確，對(duì)于D：不妨設(shè)在上單調(diào)遞增，任取，滿足，則，因?yàn)?，所以，所以，所以單調(diào)遞減，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知都是正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】都是正實(shí)數(shù),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故正確；當(dāng)時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，，即，即，即，所以成立，故正確.故選：.10.四位同學(xué)各擲大小一致、質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).四位同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下，則可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.平均數(shù)為2，方差為2.4C.中位數(shù)3，眾數(shù)為2 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以A正確；對(duì)于B，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，則平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以D正確故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.恒成立 B.在上單調(diào)遞增C.在上有4個(gè)零點(diǎn) D.是周期函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,令，記，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，且，而，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象如下：故兩函數(shù)圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，因此函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，C正確，對(duì)于D，由于為周期函數(shù)，且最小正周期為，而也為周期函數(shù)，且最小正周期為，由于為無(wú)理數(shù)，而2為有理數(shù)，則不存在整數(shù)使得，所以不是周期函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】3【解析】故答案為：.13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積是_____________.【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為2的正方體中，所以三棱柱是直三棱柱，又因?yàn)槠矫妫运拿骟w的外接球即為直三棱柱的外接球，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，在中，，又是銳角，所以，由正弦定理得外接圓的半徑為，所以直三棱柱的外接球半徑為，所以四面體的外接球的表面積為.故答案為：.14.在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值是____________.【答案】【解析】在中，由余弦定理得：，即，所以①，在中，由余弦定理得：，即，所以②，又因?yàn)樵谥?，，在中，，所以所以由②﹣①得：，因?yàn)?，所以故．故答案為：四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求;（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，則.（2）由（1）可知，，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為16.有A和兩道謎語(yǔ)，張某猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元;猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金20元.每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若張某猜完了這兩道謎語(yǔ)，記張某猜對(duì)謎語(yǔ)的道數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列與期望;（2）現(xiàn)規(guī)定：只有在猜對(duì)第一道謎語(yǔ)的情況下，才有資格猜第二道.如果猜謎順序由張某選擇，為了獲得更多的獎(jiǎng)金，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語(yǔ)?解：（1）由題意可得，的可能取值為，，，，則分布列為則.（2）設(shè)選擇先猜A謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，選擇先猜B謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，則隨機(jī)變量的可能取值為：0，10，30，可得，，，所以隨機(jī)變量的的分布列為：Y01030P0.20.40.4所以期望；又由隨機(jī)變量的可能取值為：0，20，30，可得，，，隨機(jī)變量的分布列為：Z02030P0.50.10.4所以期望為，∴，所以小明應(yīng)該先猜A.17.如圖1，在四邊形ABCD中，，現(xiàn)將沿著AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐，且平面平面，如圖2.（1）若與平面所成的角為，證明：;（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）過(guò)作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，在中，，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）過(guò)作于，由（1）可知平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接，取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，且，所以切線方程為，即.（2）由題意可知，，且，令，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，令，，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，由因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以存在，有，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因?yàn)?，且，所以所以函?shù)在恒成立.19.已知集合,對(duì)于,，定義與之間的距離為.（1）若，求所有滿足的點(diǎn)所圍成的圖形的面積;（2）當(dāng)時(shí)，，并且，求的最大值（用表示);（3）當(dāng)時(shí)，求集合中任意兩個(gè)元素之間的距離的和.解：（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故圍成圖形為正方形,其中,如下：故面積為（2）設(shè)，，，所以，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，綜上所述，；（3），設(shè)其中中均有個(gè)元素，,共有個(gè)不同的元素，從的個(gè)不同的元素任取2個(gè)不同的元素共有種選法，從中任選一個(gè)元素，對(duì)第一個(gè)位置的數(shù)字兩兩作差并取絕對(duì)值，可得個(gè)，可得個(gè)，可得個(gè)，其中個(gè)，所以中所有元素的第一位的數(shù)字之和為，對(duì)于中所有元素的其他同等位置的數(shù)字之和為均為，故集合中任意兩個(gè)元素之間的距離的和.浙江省紹興市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，或，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，但，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D正確，故選：D2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故選：A3.若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則，故，故B正確，ACD錯(cuò)誤，故選：B4.已知向量滿足，則向量與夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，從而，所以即，故，故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，平方得，即，解得，又，，且，則，即，所以由，得，故，所以.故選：C.6.將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球，則不同的放法種數(shù)是（）A.2640 B.2160 C.1800 D.1560【答案】D【解析】分兩類解決這個(gè)問(wèn)題：第一類，一個(gè)盒中3個(gè)球，另外三個(gè)盒中每個(gè)盒1個(gè)球，共有種；第二類，其中兩個(gè)盒每個(gè)盒2個(gè)球，另外兩個(gè)盒每個(gè)盒1個(gè)球，共有種；按照分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的方法種數(shù)共有種.故選：D.7.設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件概率可得所以，，所以，故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)定義域內(nèi)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.函數(shù)和在上有相同的單調(diào)性【答案】C【解析】對(duì)于A：，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以恒成立，又因?yàn)椴幌嗟?，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以恒成立，所以，又因?yàn)椴幌嗟?，，所以，又，，，，所以，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:因?yàn)椴幌嗟?，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，C選項(xiàng)正確，對(duì)于D：不妨設(shè)在上單調(diào)遞增，任取，滿足，則，因?yàn)?，所以，所以，所以單調(diào)遞減，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知都是正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】都是正實(shí)數(shù),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故正確；當(dāng)時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，，即，即，即，所以成立，故正確.故選：.10.四位同學(xué)各擲大小一致、質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).四位同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下，則可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.平均數(shù)為2，方差為2.4C.中位數(shù)3，眾數(shù)為2 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以A正確；對(duì)于B，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，則平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以D正確故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.恒成立 B.在上單調(diào)遞增C.在上有4個(gè)零點(diǎn) D.是周期函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,令，記，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，且，而，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象如下：故兩函數(shù)圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，因此函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，C正確，對(duì)于D，由于為周期函數(shù)，且最小正周期為，而也為周期函數(shù)，且最小正周期為，由于為無(wú)理數(shù)，而2為有理數(shù)，則不存在整數(shù)使得，所以不是周期函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】3【解析】故答案為：.13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積是_____________.【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為2的正方體中，所以三棱柱是直三棱柱，又因?yàn)槠矫妫运拿骟w的外接球即為直三棱柱的外接球，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，在中，，又是銳角，所以，由正弦定理得外接圓的半徑為，所以直三棱柱的外接球半徑為，所以四面體的外接球的表面積為.故答案為：.14.在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值是____________.【答案】【解析】在中，由余弦定理得：，即，所以①，在中，由余弦定理得：，即，所以②，又因?yàn)樵谥?，，在中，，所以所以由②﹣①得：，因?yàn)?，所以故．故答案為：四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求;（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，則.（2）由（1）可知，，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為16.有A和兩道謎語(yǔ)，張某猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元;猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金20元.每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若張某猜完了這兩道謎語(yǔ)，記張某猜對(duì)謎語(yǔ)的道數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列與期望;（2）現(xiàn)規(guī)定：只有在猜對(duì)第一道謎語(yǔ)的情況下，才有資格猜第二道.如果猜謎順序由張某選擇，為了獲得更多的獎(jiǎng)金，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語(yǔ)?解：（1）由題意可得，的可能取值為，，，，則分布列為則.（2）設(shè)選擇先猜A謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，選擇先猜B謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，則隨機(jī)變量的可能取值為：0，10，30，可得，，，所以隨機(jī)變量的的分布列為：Y01030P0.20.40.4所以期望；又由隨機(jī)變量的可能取值為：0，20，30，可得，，，隨機(jī)變量的分布列為：Z02030P0.50.10.4所以期望為，∴，所以小明應(yīng)該先猜A.17.如圖1，在四邊形ABCD中，，現(xiàn)將沿著AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐，且平面平面，如圖2.（1）若與平面所成的角為，證明：;（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）過(guò)作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，在中，，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋矫?，?/p>