高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋云涮摬繛?故選：B.2.已知向量，，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】.故選：D.3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列是真命題的是（）A若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】C【解析】對于A，若，，則，或相交，或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，如下圖，，，，則不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，過做平面，與平面交于直線，所以，因?yàn)椋?，所以，，故C正確；對于D，如圖，，，，，則不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.氣象臺預(yù)報(bào)“本市明天中心城區(qū)的降雨概率為30%，郊區(qū)的降雨概率為70%.”基于這些信息，關(guān)于明天降雨情況的描述最為準(zhǔn)確的是（）A.整個(gè)城市明天的平均降雨概率為50%B.明天如果住在郊區(qū)不帶傘出門將很可能淋雨C.只有郊區(qū)可能出現(xiàn)降雨，而中心城區(qū)將不會(huì)有降雨D.如果明天降雨，郊區(qū)的降雨量一定比中心城區(qū)多【答案】B【解析】對于A，中心城區(qū)面積和郊區(qū)面積不一定相同，故整個(gè)城市明天的平均降雨概率不一定為50%，故A錯(cuò)誤；對于B，明天郊區(qū)的降雨概率比中心城區(qū)的降雨概率大，故B正確；對于C，不管郊區(qū)還是中心城區(qū)都可能會(huì)出現(xiàn)降雨，故C錯(cuò)誤；對于D，降雨量并不取決于降雨概率，反而是降雨時(shí)長以及有效覆蓋面積（即下雨的區(qū)域在該所參考區(qū)域的面積）會(huì)影響降雨量，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)椋?，，所以，還原直觀圖得到，如圖所示：此時(shí)，所以.故選：D.6.一個(gè)袋子中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，除顏色外沒有其他差異.現(xiàn)采用有放回的方式從袋中任意摸出兩球，設(shè)“第一次摸到黑球”，“第二次摸到紅球”，則A與B的關(guān)系為（）A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】因?yàn)锳=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到紅球”，A與B不相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，，A與B相互獨(dú)立，C選項(xiàng)正確；A與B可以同時(shí)發(fā)生，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以，又因?yàn)?，所以，在方向上的投影向量?故選：D.8.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為一個(gè)棱長為1的正八面體，則其內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，正八面體的棱長為1，點(diǎn)為中點(diǎn)（顯然根據(jù)對稱性可知點(diǎn)也是內(nèi)切球球心），顯然平面，因?yàn)橹本€平面，所以，在正方形中，，所以，正八面體的表面積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等體積法有，，解得，內(nèi)切球的表面積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角所對的邊為，則下列結(jié)論正確的是（）AB.C.若，則D.（為的外接圓半徑）【答案】BCD【解析】對于A，由于當(dāng)時(shí)，，從而，，故A錯(cuò)誤；對于B，由于三角形的內(nèi)角和為，所以，故B正確；對于C，若，由于，故，所以，這就得到，從而，再由得到，即，故C正確；對于D，有，故D正確.故選：BCD.10.已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最大值為2 D.【答案】ABC【解析】設(shè)，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；設(shè)，因?yàn)樗?，所以，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確.故選：ABC.11.小明與小紅兩人做游戲，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則下列游戲中不公平的是（）A.拋擲骰子一次，擲出的點(diǎn)數(shù)為1或2，小明獲勝；否則小紅獲勝B.拋擲骰子兩次，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，小明獲勝；否則小紅獲勝C.拋擲骰子兩次，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6，小明獲勝；點(diǎn)數(shù)之和為8，小紅獲勝；否則重新拋擲D.拋擲骰子三次，擲出的點(diǎn)數(shù)為連續(xù)三個(gè)自然數(shù)，小明獲勝；擲出的點(diǎn)數(shù)都相同，小紅獲勝；否則重新拋擲【答案】AD【解析】對于A，小明獲勝的概率為，故A符合題意；對于B，若要點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則只能是一奇一偶，而每拋一次出現(xiàn)奇數(shù)，偶數(shù)的概率都是，但可能是先出現(xiàn)奇數(shù)，有可能先出現(xiàn)偶數(shù)，故小明獲勝的概率為，故B不符合題意；對于C，若點(diǎn)數(shù)之和為6，則兩個(gè)加數(shù)可以是，即小明獲勝的概率為，若點(diǎn)數(shù)之和為8，則兩個(gè)加數(shù)可以是，即小紅獲勝概率為，故C不符合題意；對于D，拋擲骰子三次，擲出的點(diǎn)數(shù)為連續(xù)三個(gè)自然數(shù)，則這三個(gè)自然數(shù)可以是，所以小明獲勝的概率為，若擲出的點(diǎn)數(shù)都相同，則這三個(gè)自然數(shù)可以是，所以小紅獲勝的概率為，故D符合題意.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則______.【答案】【解析】，則.故答案為：.13.如圖，在中，，點(diǎn)P在線段上，若的面積為，，則的最小值為______.【答案】【解析】若的面積為，，則，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)P在線段上，所以，所以，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為.故答案為：.14.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，方差為12，現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)增加一個(gè)數(shù)據(jù)，此時(shí)新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則新樣本數(shù)據(jù)的方差為______.【答案】19.8【解析】設(shè)增加的數(shù)為，則，，所以，又因?yàn)榧此?故答案為：19.8.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，為單位向量.（1）若，求的最大值；（2）若，求與夾角的余弦值.解：（1）由于，且當(dāng)時(shí)，所以的最大值是.（2）由已知有，故，所以與夾角的余弦值是.16.在三棱錐中，兩兩垂直，，.（1）求三棱錐的表面積；（2）求P到平面的距離.解：（1）因?yàn)閮蓛纱怪?，，，所以，所以，從而三棱錐的表面積為.（2）設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，由（1）得三角形的面積為，由等體積法有，，即，解得，所以點(diǎn)P到平面的距離為.17.如圖，小明統(tǒng)計(jì)了他爸爸9月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次.小明按每次通話時(shí)間長短進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出了頻率分布直方圖.（1）通話時(shí)長在區(qū)間，內(nèi)的次數(shù)分別為多少？（2）若小明爸爸通話時(shí)間的眾數(shù)是第百分位數(shù)，求的值.解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)可得，解得：，所以通話時(shí)長在區(qū)間內(nèi)的次數(shù)為次；通話時(shí)長在區(qū)間內(nèi)的次數(shù)為次.（2）由圖可得通話時(shí)長眾數(shù)為，所以，則小明爸爸通話時(shí)間的眾數(shù)是第15百分位數(shù)，即.18.在中，，，.（1）求A；（2）D為邊的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，交于P.（i）若E為的中點(diǎn)，求的余弦值；（ii）當(dāng)時(shí)，求的面積.解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所?（2）（i）若E為的中點(diǎn)，D為邊的中點(diǎn)，則，，從而，，，所以，所以的余弦值為.（ii）由（2）（i）可知，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因三點(diǎn)共線，所以設(shè)，因?yàn)榕c是共線向量，且與不共線，所以，解得，所以，，所以點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比為，所以的面積為.19.已知矩形中，，，E為線段的中點(diǎn)，沿線段將翻折到，Q為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正切值；（3）當(dāng)在翻折過程中，是否存在點(diǎn)P使直線與直線所成角為？若存在，求出二面角平面角的余弦值；若不存在，請說明理由.解：（1）如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）如圖，過分別過點(diǎn)作，垂足分別為，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，所以是三角形的中位線，所以，而，所以，，也是三角形的中線，所以，，，，因?yàn)?，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正切值即為.（3）如圖，一方面：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因?yàn)椋?，所以二面角平面角的大小即為，而，所以，另一方面：若直線與直線所成角為，且注意到，所以或，又因?yàn)?，所以，即，令，解得滿足題意，，不滿足題意，舍去；綜上，存在點(diǎn)P使，且直線與直線所成角為，此時(shí)所求二面角平面角的余弦值為.浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋云涮摬繛?故選：B.2.已知向量，，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】.故選：D.3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列是真命題的是（）A若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】C【解析】對于A，若，，則，或相交，或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，如下圖，，，，則不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，過做平面，與平面交于直線，所以，因?yàn)?，，所以，，故C正確；對于D，如圖，，，，，則不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.氣象臺預(yù)報(bào)“本市明天中心城區(qū)的降雨概率為30%，郊區(qū)的降雨概率為70%.”基于這些信息，關(guān)于明天降雨情況的描述最為準(zhǔn)確的是（）A.整個(gè)城市明天的平均降雨概率為50%B.明天如果住在郊區(qū)不帶傘出門將很可能淋雨C.只有郊區(qū)可能出現(xiàn)降雨，而中心城區(qū)將不會(huì)有降雨D.如果明天降雨，郊區(qū)的降雨量一定比中心城區(qū)多【答案】B【解析】對于A，中心城區(qū)面積和郊區(qū)面積不一定相同，故整個(gè)城市明天的平均降雨概率不一定為50%，故A錯(cuò)誤；對于B，明天郊區(qū)的降雨概率比中心城區(qū)的降雨概率大，故B正確；對于C，不管郊區(qū)還是中心城區(qū)都可能會(huì)出現(xiàn)降雨，故C錯(cuò)誤；對于D，降雨量并不取決于降雨概率，反而是降雨時(shí)長以及有效覆蓋面積（即下雨的區(qū)域在該所參考區(qū)域的面積）會(huì)影響降雨量，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以，還原直觀圖得到，如圖所示：此時(shí)，所以.故選：D.6.一個(gè)袋子中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，除顏色外沒有其他差異.現(xiàn)采用有放回的方式從袋中任意摸出兩球，設(shè)“第一次摸到黑球”，“第二次摸到紅球”，則A與B的關(guān)系為（）A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】因?yàn)锳=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到紅球”，A與B不相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，，A與B相互獨(dú)立，C選項(xiàng)正確；A與B可以同時(shí)發(fā)生，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以，又因?yàn)?，所以，在方向上的投影向量?故選：D.8.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為一個(gè)棱長為1的正八面體，則其內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，正八面體的棱長為1，點(diǎn)為中點(diǎn)（顯然根據(jù)對稱性可知點(diǎn)也是內(nèi)切球球心），顯然平面，因?yàn)橹本€平面，所以，在正方形中，，所以，正八面體的表面積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等體積法有，，解得，內(nèi)切球的表面積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角所對的邊為，則下列結(jié)論正確的是（）AB.C.若，則D.（為的外接圓半徑）【答案】BCD【解析】對于A，由于當(dāng)時(shí)，，從而，，故A錯(cuò)誤；對于B，由于三角形的內(nèi)角和為，所以，故B正確；對于C，若，由于，故，所以，這就得到，從而，再由得到，即，故C正確；對于D，有，故D正確.故選：BCD.10.已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最大值為2 D.【答案】ABC【解析】設(shè)，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；設(shè)，因?yàn)樗?，所以，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確.故選：ABC.11.小明與小紅兩人做游戲，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則下列游戲中不公平的是（）A.拋擲骰子一次，擲出的點(diǎn)數(shù)為1或2，小明獲勝；否則小紅獲勝B.拋擲骰子兩次，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，小明獲勝；否則小紅獲勝C.拋擲骰子兩次，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6，小明獲勝；點(diǎn)數(shù)之和為8，小紅獲勝；否則重新拋擲D.拋擲骰子三次，擲出的點(diǎn)數(shù)為連續(xù)三個(gè)自然數(shù)，小明獲勝；擲出的點(diǎn)數(shù)都相同，小紅獲勝；否則重新拋擲【答案】AD【解析】對于A，小明獲勝的概率為，故A符合題意；對于B，若要點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則只能是一奇一偶，而每拋一次出現(xiàn)奇數(shù)，偶數(shù)的概率都是，但可能是先出現(xiàn)奇數(shù)，有可能先出現(xiàn)偶數(shù)，故小明獲勝的概率為，故B不符合題意；對于C，若點(diǎn)數(shù)之和為6，則兩個(gè)加數(shù)可以是，即小明獲勝的概率為，若點(diǎn)數(shù)之和為8，則兩個(gè)加數(shù)可以是，即小紅獲勝概率為，故C不符合題意；對于D，拋擲骰子三次，擲出的點(diǎn)數(shù)為連續(xù)三個(gè)自然數(shù)，則這三個(gè)自然數(shù)可以是，所以小明獲勝的概率為，若擲出的點(diǎn)數(shù)都相同，則這三個(gè)自然數(shù)可以是，所以小紅獲勝的概率為，故D符合題意.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則______.【答案】【解析】，則.故答案為：.13.如圖，在中，，點(diǎn)P在線段上，若的面積為，，則的最小值為______.【答案】【解析】若的面積為，，則，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)P在線段上，所以，所以，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為.故答案為：.14.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，方差為12，現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)增加一個(gè)數(shù)據(jù)，此時(shí)新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則新樣本數(shù)據(jù)的方差為______.【答案】19.8【解析】設(shè)增加的數(shù)為，則，，所以，又因?yàn)榧此?故答案為：19.8.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，為單位向量.（1）若，求的最大值；（2）若，求與夾角的余弦值.解：（1）由于，且當(dāng)時(shí)，所以的最大值是.（2）由已知有，故，所以與夾角的余弦值是.16.在三棱錐中，兩兩垂直，，.（1）求三棱錐的表面積；（2）求P到平面的距離.解：（1）因?yàn)閮蓛纱怪保?，，所以，所以，從而三棱錐的表面積為.（2）設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，由（1）得三角形的面積為，由等體積法有，，即，解得，所以點(diǎn)P到平面的距離為.17.如圖，小明統(tǒng)計(jì)了他爸爸9月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次.小明按每次通話時(shí)間長短進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出了頻率分布直方圖.（1）通話時(shí)長在區(qū)間，內(nèi)的次數(shù)分別為多少？（2）若小明爸爸通話時(shí)間的眾數(shù)是第百分位數(shù)，求的值.解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)可得，解得：，所以通話時(shí)長在區(qū)間內(nèi)的