高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題.1.已知集合，或，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，或，所以.故選：A.2.已知，且，下列不等式中一定成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】對于選項ABC，取，顯然滿足，此時，，，所以選項A、B和C錯誤；對于選項D，因為，所以，故選項D正確.故選：D.3.已知命題：，；命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是假命題C.是真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題【答案】C【解析】由，得到，解得或，所以命題為真命題，又當(dāng)時，，所以命題是假命題，故選項A，B和D錯誤，選項C正確.故選：C.4.將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，得到，再向下平移1個單位，得到，所以.故選：A.5.下列向量中，與向量共線的一個單位向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與向量共線的單位向量為，則，解得，所以或.故選：B.6.已知函數(shù)．下列區(qū)間中包含零點的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，則，，，因此在區(qū)間內(nèi)有函數(shù)的零點，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B7.甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫（單位：℃）如下：記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】依題意，，，則；，，.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，則，所以.故選：D.9.已知集合，．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先看充分性：因為，當(dāng)時，為偶數(shù)；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；則可表示所有奇數(shù)；綜上，可表示所有整數(shù)，即可表示所有偶數(shù).因為，則，所以“”是“”的充分條件；再看必要性：因為，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.所以“”是“”的充要條件.故選：C.10.已知是定義域為R旳奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)x∈0,1時．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點；③不等式的解集為，．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由題意，所以，所以，①正確；再結(jié)合，可得：，所以的周期為2，由時，，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)，，所以在一個周期內(nèi)，的解集為，在結(jié)合函數(shù)周期為2，可得：的解集為：，；③正確；通過，令，可得，則，結(jié)合函數(shù)的周期為2，在內(nèi)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)情況有，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有5個零點，②錯誤.故選：C.二、填空題.11.設(shè)方程的兩根為和，則______．【答案】5【解析】方程的兩根為和，則，所以.12.已知函數(shù)，則______；的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【解析】函數(shù)，則；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)是.13.已知正方形的邊長為，點滿足，則______．【答案】【解析】由題意可得，，因為，所以，所以，故.14.已知函數(shù)，．當(dāng)時，若曲線和有一個公共點，則實數(shù)的一個取值為______．【答案】1（答案不唯一，）【解析】令函數(shù)，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，函數(shù)在有一個零點，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，的一個取值為1.15.給定函數(shù)．若曲線上任意一點的坐標(biāo)滿足，則稱函數(shù)具有“線性控制”性質(zhì)．給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中具有“線性控制”性質(zhì)的函數(shù)的序號是______．【答案】①④【解析】對于①，當(dāng)時，因為恒成立，所以具有“線性控制”性質(zhì)，對于②，當(dāng)時，因為，當(dāng)時，，此時，即，所以不具有“線性控制”性質(zhì)，對于③，令，在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，由圖1知與相交于，不妨設(shè)點的橫坐標(biāo)為，易知當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不成立，故不具有“線性控制”性質(zhì)，對于④，令，在同一坐標(biāo)系中作出和圖象，如圖所示，由圖2知，當(dāng)時，的圖象恒在下方，即，所以具有“線性控制”性質(zhì).三、解答題.16.已知實數(shù)，滿足，．（1）求和的取值范圍；（2）證明：．解：（1）因為，，所以，當(dāng)，時，則，，此時，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，，又當(dāng)或時，，綜上，.（2）因為，又，，則，，所以，得到.17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.（2）不等式，則，即，解得或，所以原不等式的解集為.18.根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高一男生和女生50米跑單項等級如下（單位：秒）：從某校高一男生和女生中各隨機抽取12名同學(xué)，將其50米跑測試成績整理如下：男生：7.07.27.27.37.47.47.57.57.98.38.69.6女生：7.47.67.67.87.98.08.38.48.79.29.410.4假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立．（1）分別估計該校高一男生和女生50米跑單項的優(yōu)秀率；（2）從該校高一男生中隨機抽取1人，高一女生中隨機抽取1人，求2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的概率；（3）從該校高一女生中隨機抽取2人．記“2人的50米跑單項至少有1個是優(yōu)秀”為事件，記“2人的50米跑單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨立．（結(jié)論不要求證明）解：（1）由給定數(shù)據(jù)得，12名高一男生50米跑測試成績在7.3及以下的有4人，高一女生50米跑測試成績在8.0及以下的有6人，所以估計該校高一男生和女生50米跑單項的優(yōu)秀率分別為和.（2）該校高一男生中隨機抽取1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，高一女生中隨機抽取1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，抽取的2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，則，由（1）知，，顯然事件相互獨立，因此，所以2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的概率為.（3）依題意，，，，因此，所以與相互不獨立.19.已知函數(shù)，其中．（1）證明：；（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（3）求在區(qū)間上的取值范圍．解：（1）因為，所以，故.（2）因為在上單調(diào)遞減，則當(dāng)，有.所以設(shè)，，因為，所以，，要使，則，故的取值范圍為.（3）當(dāng)時，由小問2得在上單調(diào)遞減，，，故在區(qū)間上的取值范圍為；當(dāng)時，利用小問2的結(jié)論知，在上單調(diào)遞增，，，故在區(qū)間上的取值范圍為.綜上：當(dāng)時，取值范圍為；當(dāng)時，取值范圍為.20.兩地相距520km，貨車從A地勻速行駛到B地，全程限速100km/h．已知貨車每小時的運輸成本（單位：元）由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可變成本與車速的平方成正比，比例系數(shù)為．（1）把貨車的全程運輸成本（單位：元）表示為車速（km/h）的函數(shù)；（2）為使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？解：（1）依題意，貨車每小時的運輸成本的可變成本為，固定成本為400元，行駛時間小時，所以，.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)，即時，，取得最小值；當(dāng)，即時，，取得最小值，所以當(dāng)時，貨車應(yīng)以km/h的速度行駛，全程運輸成本最??；當(dāng)時，貨車應(yīng)以km/h的速度行駛，全程運輸成本最小.21.給定正整數(shù)，設(shè)集合．任取中兩個元素，，記，，；任取中兩個元素，，記，，；，以此類推：任取中兩個元素，，記，，，其中，規(guī)定．（1）當(dāng)時，寫出一組和；（2）是否存在集合與正整數(shù)，使？說明理由；（3）當(dāng)時，是否存在整數(shù)，使？若存在，寫出一組，，，；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可知，若，則；（若，則；若，則；寫出一組即可）.（2）不存在集合，使．下面用反證法證明.證明：假設(shè)存在集合，使．因為，故集合中必有1或同時有．①若時，不妨設(shè)，則．因為與必為一個奇數(shù)一個偶數(shù)，而，則，且，這與中元素均為奇數(shù)矛盾．②若且，則，這與矛盾．綜上所述，假設(shè)錯誤，故不存在集合，使．（3）當(dāng)時，存在，使．原因如下：當(dāng)時，令，，則；令，，則；令，，則；令，，則.北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題.1.已知集合，或，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，或，所以.故選：A.2.已知，且，下列不等式中一定成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】對于選項ABC，取，顯然滿足，此時，，，所以選項A、B和C錯誤；對于選項D，因為，所以，故選項D正確.故選：D.3.已知命題：，；命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是假命題C.是真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題【答案】C【解析】由，得到，解得或，所以命題為真命題，又當(dāng)時，，所以命題是假命題，故選項A，B和D錯誤，選項C正確.故選：C.4.將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，得到，再向下平移1個單位，得到，所以.故選：A.5.下列向量中，與向量共線的一個單位向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與向量共線的單位向量為，則，解得，所以或.故選：B.6.已知函數(shù)．下列區(qū)間中包含零點的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，則，，，因此在區(qū)間內(nèi)有函數(shù)的零點，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B7.甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫（單位：℃）如下：記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】依題意，，，則；，，.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，則，所以.故選：D.9.已知集合，．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先看充分性：因為，當(dāng)時，為偶數(shù)；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；則可表示所有奇數(shù)；綜上，可表示所有整數(shù)，即可表示所有偶數(shù).因為，則，所以“”是“”的充分條件；再看必要性：因為，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.所以“”是“”的充要條件.故選：C.10.已知是定義域為R旳奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)x∈0,1時．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點；③不等式的解集為，．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由題意，所以，所以，①正確；再結(jié)合，可得：，所以的周期為2，由時，，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)，，所以在一個周期內(nèi)，的解集為，在結(jié)合函數(shù)周期為2，可得：的解集為：，；③正確；通過，令，可得，則，結(jié)合函數(shù)的周期為2，在內(nèi)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)情況有，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有5個零點，②錯誤.故選：C.二、填空題.11.設(shè)方程的兩根為和，則______．【答案】5【解析】方程的兩根為和，則，所以.12.已知函數(shù)，則______；的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【解析】函數(shù)，則；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)是.13.已知正方形的邊長為，點滿足，則______．【答案】【解析】由題意可得，，因為，所以，所以，故.14.已知函數(shù)，．當(dāng)時，若曲線和有一個公共點，則實數(shù)的一個取值為______．【答案】1（答案不唯一，）【解析】令函數(shù)，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，函數(shù)在有一個零點，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，的一個取值為1.15.給定函數(shù)．若曲線上任意一點的坐標(biāo)滿足，則稱函數(shù)具有“線性控制”性質(zhì)．給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中具有“線性控制”性質(zhì)的函數(shù)的序號是______．【答案】①④【解析】對于①，當(dāng)時，因為恒成立，所以具有“線性控制”性質(zhì)，對于②，當(dāng)時，因為，當(dāng)時，，此時，即，所以不具有“線性控制”性質(zhì)，對于③，令，在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，由圖1知與相交于，不妨設(shè)點的橫坐標(biāo)為，易知當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不成立，故不具有“線性控制”性質(zhì)，對于④，令，在同一坐標(biāo)系中作出和圖象，如圖所示，由圖2知，當(dāng)時，的圖象恒在下方，即，所以具有“線性控制”性質(zhì).三、解答題.16.已知實數(shù)，滿足，．（1）求和的取值范圍；（2）證明：．解：（1）因為，，所以，當(dāng)，時，則，，此時，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，，又當(dāng)或時，，綜上，.（2）因為，又，，則，，所以，得到.17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.（2）不等式，則，即，解得或，所以原不等式的解集為.18.根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高一男生和女生50米跑單項等級如下（單位：秒）：從某校高一男生和女生中各隨機抽取12名同學(xué)，將其50米跑測試成績整理如下：男生：7.07.27.27.37.47.47.57.57.98.38.69.6女生：7.47.67.67.87.98.08.38.48.79.29.410.4假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立．（1）分別估計該校高一男生和女生50米跑單項的優(yōu)秀率；（2）從該校高一男生中隨機抽取1人，高一女生中隨機抽取1人，求2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的概率；（3）從該校高一女生中隨機抽取2人．記“2人的50米跑單項至少有1個是優(yōu)秀”為事件，記“2人的50米跑單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨立．（結(jié)論不要求證明）解：（1）由給定數(shù)據(jù)得，12名高一男生50米跑測試成績在7.3及以下的有4人，高一女生50米跑測試成績在8.0及以下的有6人，所以估計該校高一男生和女生50米跑單項的優(yōu)秀率分別為和.（2）該校高一男生中隨機抽取1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，高一女生中隨機抽取1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，抽取的2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的事件為，則，由（1）知，，顯然事件相互獨立，因此，所以2人中恰有1人50米跑單項等級是優(yōu)秀的概率為.（3）依題意，，，，因此，所以與相互不獨立.19.已知函數(shù)，其中．（1）證明：；（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（3）求在區(qū)間上的取值范圍．解：（1）因為，所以，故.（2）因為在上單調(diào)遞減，則當(dāng)，有.所以設(shè)，，因為，所以，，要使，則，故的取值范圍為.（3）當(dāng)時，由小問2得在上單調(diào)遞減，，，故在