高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C.2.命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】，的否定是：，.故選：D.3.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：A.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，圖象在第一象限單調(diào)遞增，且，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.故選：B.5.“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，等價(jià)于，即，若，等價(jià)于，可知等價(jià)于，所以“”是“”的充分必要條件.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以.故選：C.7.設(shè)，且，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)椋詴r(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，與題意矛盾，綜上所述，a的取值范圍是.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B.1 C.或1 D.2【答案】B【解析】易知函數(shù)，均為偶函數(shù)，除對(duì)稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，由曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)可知，，即，解得或1．當(dāng)時(shí)，，，由圖象分析可知恰有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，，，由圖象分析可知符合題意．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由單調(diào)遞增可知：正確；對(duì)于B，取，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C：因，所以正確，對(duì)于D：由，因?yàn)椋?，所以，所以，正確.故選：ACD.10.已知，分別為第一、第三象限角，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】已知為第一象限角，且，則，所以，同理為第三象限角，則，所以，，C正確，D錯(cuò)誤，，A錯(cuò)誤；，B正確.故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由C可知，所以，即，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________．【答案】【解析】.13.設(shè)，若，則__________．【答案】【解析】，即，即，又，所以，解得：.14.如圖所示，齒輪A和齒輪B相互嚙合（齒的尺寸忽略不計(jì)），其半徑之比為，當(dāng)時(shí)，齒輪A上的點(diǎn)和齒輪B上的點(diǎn)均與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．當(dāng)兩齒輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)相等，則，運(yùn)動(dòng)的角速度之比為__________．若，則關(guān)于t的一個(gè)函數(shù)解析式為__________．【答案】（或2）（答案不唯一）【解析】因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間t內(nèi)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的弧長(zhǎng)，且和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)相等，所以和在運(yùn)動(dòng)的角速度之比等于運(yùn)動(dòng)半徑之比的倒數(shù)，即，所以周期之比為二者的旋轉(zhuǎn)方向相反．設(shè)，由可知．又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋札X輪A的半徑為1，的取值范圍為．所以，解得．當(dāng)時(shí)，，得，所以．．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）補(bǔ)全下列表格，用“五點(diǎn)法”畫出在區(qū)間的大致圖象；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心的坐標(biāo)．解：（1）（2）易知，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，解得，所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.16.如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，某城鎮(zhèn)位于的正東方向，且與的距離為．甲乘坐小船從小島前往小鎮(zhèn)，先到達(dá)海岸線上的點(diǎn)處（其中，之間的距離為），再從出發(fā)步行到達(dá)該城鎮(zhèn)．已知小船的平均速度為，甲的步行速度為．（1）當(dāng)，時(shí)，求甲從小島到城鎮(zhèn)所用時(shí)間；（2）若，求甲從小島到城鎮(zhèn)所需的最短時(shí)間與相應(yīng)的，．解：（1）由題意知，小島距離上岸點(diǎn)的距離，小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)的距離，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，故甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為．（2）小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，記甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，其中，所以，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，，．答：當(dāng)，時(shí)，小島到城鎮(zhèn)所需時(shí)間最短，為3小時(shí)．17.設(shè)函數(shù)，其中，且．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若在區(qū)間和內(nèi)均存在零點(diǎn)，寫出一個(gè)滿足題意的a（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并說明理由．參考數(shù)據(jù)：…．解：（1）時(shí)，，因?yàn)?，，所以，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹途趩握{(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，是增函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)有，，符合題意；此時(shí)，，解得，，因?yàn)?，（或也可）且，所以a的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74．18.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程有解，證明：．解：（1）是奇函數(shù)，下面給出證明：的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋云婧瘮?shù).（2），且，則，因?yàn)椋?，，所以，所以是R上的減函數(shù)，等價(jià)于，即，因?yàn)槭荝上的減函數(shù)，所以，整理得，解得.（3）因?yàn)椋?，所以，設(shè)，可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，無解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，整理可得，，設(shè)，，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，只需考慮，①若，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，②若，則，則在單調(diào)遞減，若，則，所以，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，所以，即，即，所以．19.定義的“區(qū)間長(zhǎng)度”為，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式解集的“區(qū)間長(zhǎng)度”；（2）已知，設(shè)關(guān)于x不等式解集的“區(qū)間長(zhǎng)度”為I．（?。┤?，求t；（ⅱ）求I的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，由解得或，因，可解得：，或，所以不等式解集的“區(qū)間長(zhǎng)度”為．（2）（ⅰ）因?yàn)?，，由，解得或，設(shè)的兩個(gè)根為，，其中，且，同理，設(shè)的兩個(gè)根為，，其中，且，所以，又，所以，所以，即，，即，解得或，所以或．（ⅱ）方法1：由（ⅰ）可得，，則，因?yàn)?，，所以，所以，即，所以，或（舍），所以，所以，因?yàn)?，，所以，由可知，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，I的最大值為．方法2：由（ⅰ）可得，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，由可知，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，I的最大值為．福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C.2.命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】，的否定是：，.故選：D.3.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：A.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，圖象在第一象限單調(diào)遞增，且，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.故選：B.5.“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，等價(jià)于，即，若，等價(jià)于，可知等價(jià)于，所以“”是“”的充分必要條件.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以.故選：C.7.設(shè)，且，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，與題意矛盾，綜上所述，a的取值范圍是.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B.1 C.或1 D.2【答案】B【解析】易知函數(shù)，均為偶函數(shù)，除對(duì)稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，由曲線與恰有3個(gè)交點(diǎn)可知，，即，解得或1．當(dāng)時(shí)，，，由圖象分析可知恰有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，，，由圖象分析可知符合題意．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由單調(diào)遞增可知：正確；對(duì)于B，取，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C：因，所以正確，對(duì)于D：由，因?yàn)椋?，所以，所以，正確.故選：ACD.10.已知，分別為第一、第三象限角，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】已知為第一象限角，且，則，所以，同理為第三象限角，則，所以，，C正確，D錯(cuò)誤，，A錯(cuò)誤；，B正確.故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋x項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由C可知，所以，即，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________．【答案】【解析】.13.設(shè)，若，則__________．【答案】【解析】，即，即，又，所以，解得：.14.如圖所示，齒輪A和齒輪B相互嚙合（齒的尺寸忽略不計(jì)），其半徑之比為，當(dāng)時(shí)，齒輪A上的點(diǎn)和齒輪B上的點(diǎn)均與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．當(dāng)兩齒輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)相等，則，運(yùn)動(dòng)的角速度之比為__________．若，則關(guān)于t的一個(gè)函數(shù)解析式為__________．【答案】（或2）（答案不唯一）【解析】因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間t內(nèi)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的弧長(zhǎng)，且和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)相等，所以和在運(yùn)動(dòng)的角速度之比等于運(yùn)動(dòng)半徑之比的倒數(shù)，即，所以周期之比為二者的旋轉(zhuǎn)方向相反．設(shè)，由可知．又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以齒輪A的半徑為1，的取值范圍為．所以，解得．當(dāng)時(shí)，，得，所以．．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）補(bǔ)全下列表格，用“五點(diǎn)法”畫出在區(qū)間的大致圖象；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心的坐標(biāo)．解：（1）（2）易知，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，解得，所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.16.如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，某城鎮(zhèn)位于的正東方向，且與的距離為．甲乘坐小船從小島前往小鎮(zhèn)，先到達(dá)海岸線上的點(diǎn)處（其中，之間的距離為），再從出發(fā)步行到達(dá)該城鎮(zhèn)．已知小船的平均速度為，甲的步行速度為．（1）當(dāng)，時(shí)，求甲從小島到城鎮(zhèn)所用時(shí)間；（2）若，求甲從小島到城鎮(zhèn)所需的最短時(shí)間與相應(yīng)的，．解：（1）由題意知，小島距離上岸點(diǎn)的距離，小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)的距離，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，故甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為．（2）小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，記甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，其中，所以，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，，．答：當(dāng)，時(shí)，小島到城鎮(zhèn)所需時(shí)間最短，為3小時(shí)．17.設(shè)函數(shù)，其中，且．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若在區(qū)間和內(nèi)均存在零點(diǎn)，寫出一個(gè)滿足題意的a（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并說明理由．參考數(shù)據(jù)：…．解：（1）時(shí)，，因?yàn)?，，所以，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹途趩握{(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，是增函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)有，，符合題意；此時(shí)，，解得，，因?yàn)椋ɑ蛞部桑┣遥詀的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74．18.已知函數(shù)．（1）