第二章方程（組）與不等式（組）第7課時(shí)一元二次方程及其應(yīng)用課前循環(huán)練（限時(shí)5分鐘）1.

（廣東真題）下列所述圖形中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是

（

）A.矩形

B.平行四邊形

C.正五邊形

D.正三角形A2.

（廣東真題）如圖2-7-1，直線a∥b，∠1=40°，則∠2=（

）A.30°B.40°C.50°D.60°B

B

x>35.

（廣東真題）如圖2-7-2，AB與☉O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交☉O于點(diǎn)C，連接BC.若∠A=40°，則∠C=

.

25°

①能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問題列出方程；理解方程解的意義，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程.

②理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

③會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等.

④了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

課標(biāo)要求對(duì)接教材

人教：九上第二十一章

一元二次方程

北師：九上第二章

一元二次方程

考點(diǎn)梳理考點(diǎn)復(fù)習(xí)1.一元二次方程（1）等號(hào)兩邊都是

，只含有

個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的方程，叫做一元二次方程.

（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）整式一2

③2.用直接開平方法解一元二次方程形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，兩邊開平方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解例2.

填空（直接開平方法）：（1）方程x2=49的根是

；

（2）方程2x2=6的根是

；

（3）方程（x-1）2=2的根是

.

x1=7，x2=-7

3.用配方法解一元二次方程把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通過配方化成（x+m）2=n（n≥0）的形式，再直接開平方例3.

用配方法解方程：2x2-5x-3=0.

解：方程兩邊同除以2，得

.

移項(xiàng)，得

.

配方，得

.

兩邊開平方，得

.

∴x1=

，x2=

.

3

4.用公式法解一元二次方程當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足b2-4ac≥0時(shí)，可利用求根公式x=

求解

28

5.用因式分解法解一元二次方程當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，即可化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解之即可

x2-x=0x（x-1）

xx-1016.一元二次方程根的判別式

叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它.判別式的符號(hào)決定了方程根的情況，具體如下：

Δ>0?方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根；

Δ=0?方程有兩個(gè)

的實(shí)數(shù)根；

Δ<0?方程

實(shí)數(shù)根

b2-4ac

不相等

相等沒有例6.

已知關(guān)于x的方程x2-4x+k=0.

（1）當(dāng)k

時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)k

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）當(dāng)k

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

≤4=4>47.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1+x2=

，x1x2=

例7.

已知α，β是方程x2+2x-5=0的兩根，則（1）α+β=

；

（2）αβ=

.

-2-58.一元二次方程的應(yīng)用（1）變化率問題①設(shè)a為基礎(chǔ)量，m為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則b=a（1+m）n；②設(shè)a為基礎(chǔ)量，p為平均下降率，q為下降次數(shù)，c為下降后的量，則c=

.

a（1-p）q

（2）傳播問題設(shè)a為傳播源數(shù)，m為每個(gè)傳播源每輪傳播的數(shù)量，n為傳播的輪次，b為傳播后的總數(shù)量.分析如下：aa+ama+am+m（a+am）=a（1+m）2總結(jié)：b=

.

a（1+m）n

（5）面積問題注：圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變.

設(shè)圖①、圖②、圖③中大矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，陰影部分的寬為x；圖④是由一面墻和籬笆圍成，設(shè)籬笆總長(zhǎng)度為m，平行于墻的一邊長(zhǎng)為y.①S空白=

②S空白=

③S空白=

④S空白=

（a-2x）（b-2x）（a-x）（b-x）（a-x）（b-x）

（6）動(dòng)點(diǎn)問題：①一般設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，表示出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；②通過幾何性質(zhì)表示出其他所需的線段；③根據(jù)面積、勾股定理等數(shù)量關(guān)系建立方程；④通過解方程找出動(dòng)點(diǎn)的位置或其他相關(guān)信息例8.（1）某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500t，三月份的總產(chǎn)量為720t，平均每月增長(zhǎng)率是x，則可列方程為

（

）A.500（1+2x）=720

B.720（1+x）2=500C.500（1+x2）=720

D.500（1+x）2=720D（2）有一人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人.如果設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么依題意可得方程為

（

）A.1+x+x2=121

B.1+x+x（1+x）=121C.x2=121

D.1+2x=121B

A（4）某商場(chǎng)銷售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件獲利28元.受氣溫影響，商場(chǎng)決定適當(dāng)降價(jià)出售.據(jù)調(diào)查，毛衣單價(jià)每降低1元，每天可多售出3件.要使每天獲利1080元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件降價(jià)x元，則可列方程為

.

（28-x）（30+3x）=1080（5）如圖2-7-3，在長(zhǎng)為30m，寬為20m的長(zhǎng)方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為468m2，求道路的寬度.設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程為

.

（30-2x）（20-x）=468

廣東中考1.

（2024·廣東題13，3分，根的判別式）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c=

.

2.

（2022·廣東題14，3分，一元二次方程的解）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，則a=

.

3.

（2021·廣東題14，4分，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足-3<x1<-1，1<x2<3，則符合條件的一個(gè)方程為

.

11x2-2=0（答案不唯一）

高分擊破

溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的第17題，分值一般為7分，答題時(shí)要注意書寫格式，分步書寫，慢做會(huì)求全對(duì)，評(píng)卷老師是分步給分的哦！【典型考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用2.

（2024·深圳模擬）某品牌畫冊(cè)每本成本為40元，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，平均每天的銷售量為100本.

為了吸引消費(fèi)者，商家決定采取降價(jià)措施.

經(jīng)試銷統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)畫冊(cè)售價(jià)每降低1元時(shí)，平均每天就能多售出10本.

設(shè)這種畫冊(cè)每本降價(jià)x元.

（1）平均每天的銷售量為

本；（用含x的代數(shù)式表示）

（100+10x）

（2）商家想要使這種畫冊(cè)的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到2240元，且要求每本售價(jià)不低于55元，求每本畫冊(cè)應(yīng)降價(jià)多少元.解：（2）由題意，得（60-40-x）（100+10x）=2

240.

整理，得x2-10x+24=0.

解得x1=4，x2=6.

∵要求每本售價(jià)不低于55元，∴60-x≥55，即x≤5.∴x=4.答：每本畫冊(cè)應(yīng)降價(jià)4元.

【典型錯(cuò)例】用配方法時(shí)，配方前沒有把二次項(xiàng)系數(shù)化為1而導(dǎo)致配方錯(cuò)誤3.

用配方法解方程：2x2-8x+3=0.

【生長(zhǎng)式訓(xùn)練】知識(shí)生長(zhǎng)→變式創(chuàng)新4.

（中考創(chuàng)新，原創(chuàng)題）已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-18x+3m=0（m>0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

知識(shí)種子：基本概念（1）m的取值范圍是

；

0<m≤27

生長(zhǎng)變式：求值變式（3）若（a-1）（b-1）=13，求m的值；解：由題意，得a+b=18，ab=3m.

∵（a-1）（b-1）=ab-（a+b）+1=13，∴3m-18+1=13.

解得m=10.

∴m的值為10.

種子成樹：綜合創(chuàng)新（4）為了便于勞動(dòng)課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園ABCD（如圖2-7-5），生態(tài)園一面靠墻（墻長(zhǎng)9m），另外三面用籬笆圍成.

已知當(dāng)AD的長(zhǎng)為am，CD的長(zhǎng)為bm時(shí)，生態(tài)園的面積為80m2，求此時(shí)AD的長(zhǎng).

解：由題意，得a+b=18.

∴b=18-a.

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=a

m，AB=CD=（18-a）

m.

∵生態(tài)園的面積為80

m2，∴a（18-a）=80.

解得a1=8，a2=10.

當(dāng)a=8時(shí)，AB=18-a=10>9，不合題意，舍去；當(dāng)a=10時(shí)，AB=18-a=8<9，符合題意.

答：此時(shí)AD的長(zhǎng)為10

m.

中考演練（限時(shí)15分鐘）

B

A

B4.

（2024·牡丹江）一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為

（

）A.20%B.22%C.25%D.28%C5.

（2024·通遼）如圖2-7-6，小程的爸爸用一段10m長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)1m寬的門（由其他材料制成），則BC長(zhǎng)為

（

）A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3mC二、填空題6.

（2024·深圳）一元二次方程x2-3x+a=0的一個(gè)解為x=1，則a=

.

7.

（2024·新疆）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為

.

8.

（2024·煙臺(tái)）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m，n，則3m2-4m+n2的值為

.

2

6

10.

（2023·郴州）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人.

（1）求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；解：（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x.由題意，得1.6（1+x）2=2.5.解得x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合題意，舍去）.答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為25%.（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率.

已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬人.由題意，得2.125+10a≤2.5×（1+25%）.解得