高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)、寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，整理可得.故選：C.2.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）A. B.9 C. D.12【答案】B【解析】由題意可知：，所以，解得：，故選：B3.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A.21 B.20 C.19 D.18【答案】A【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選：A.4.點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得：，即，結(jié)合傾斜角與斜率的變化關(guān)系可知取值范圍為，故選：B5.若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實(shí)軸長(zhǎng)為6且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為或，即得或，解得或..故選：D.6.已知m，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.若，則【答案】A【解析】，，，A錯(cuò)誤；，B正確；，，C正確，由，可得，即，又，解得：，D正確；故選：A7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)的積為，若，當(dāng)取最小值時(shí)，（）A.10 B.11 C.12 D.12或13【答案】C【解析】，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，而，解得，因此數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是遞增正項(xiàng)數(shù)列，，因此，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故選：C8.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所?故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，圓，則下列命題正確的有（）A.直線l過(guò)定點(diǎn)B.若直線l過(guò)C點(diǎn)，則C.存在實(shí)數(shù)t，使得直線l與圓C相切D.若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的最短距離為【答案】AB【解析】對(duì)于A，直線顯然經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線l過(guò)點(diǎn)，則有，則，故B正確；對(duì)于C，由圓心到直線的距離，可得，顯然的值不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由垂徑定理，要使弦長(zhǎng)最短，需使圓心到直線的距離最長(zhǎng)，而直線l過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，但是，此時(shí)軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有.則下列結(jié)論正確是（）A. B.（，1，…，9）的最大值為C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，令，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則展開式的通項(xiàng)公式為，所以為負(fù)，為正，當(dāng)時(shí)，計(jì)算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對(duì)于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對(duì)于D，由B可知，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)（）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且，.設(shè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為n，則（）A. B.n的取值為2、3、4C. D.mn的取值為3、6、9【答案】AD【解析】由，可得為二次函數(shù)，（）為的零點(diǎn)，由，得或，因?yàn)椋?，解得或；令，解得，所以在和?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，所以，又，，即，若，則，此時(shí)，與矛盾，故A正確；因?yàn)?，所以?個(gè)解，有1個(gè)解，所以有3個(gè)解，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖所示，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓和圓，則兩圓的公共弦長(zhǎng)為_______.【答案】【解析】如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式，可得兩圓的公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.13.某高中為開展新質(zhì)課堂，豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了若干個(gè)社團(tuán)，高二年級(jí)有5名同學(xué)打算參加“書法協(xié)會(huì)”、“舞動(dòng)青春”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”四個(gè)社團(tuán).若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這5個(gè)同學(xué)中至多有1人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】360【解析】(1)計(jì)算0人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：將名同學(xué)分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加.可先將人分成，，三組，有種，再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，可得，故方法數(shù)為種；(2)計(jì)算人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：先從人中選人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)，有種.然后將剩下的人分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，可將人按照，或，，分組①若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個(gè)社團(tuán)中的兩個(gè)，則有種，故方法數(shù)為種；②若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，則有，故方法數(shù)為種.故有人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)為種.綜上(1)，(2)，這5個(gè)同學(xué)中至多有1人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為：種.故答案為：360.14.已知且，集合和集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【解析】或，當(dāng)，對(duì)于等價(jià)于，若，則，故此時(shí)不等式不成立，即此時(shí)一定落在的內(nèi)部，滿足，若，要滿足，需滿足對(duì)于在恒成立，即，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：，由，可得，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為，所以，即，綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知的展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值.（2）記，求被除的余數(shù).解：（1）的展開式的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為、和，由題意有，即，整理得，因?yàn)椋獾?（2）因?yàn)?，所以，，所以能被整除因此，被除的余?shù)為.16.已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）設(shè)，求.解：（1）數(shù)列滿足，（），則，∴，又∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則（），∴，∴.17.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)有最小值，且的最小值大于，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，故∴曲線在處的切線方程為：，即.（2）因的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；故.由得，由得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，依題意，，即，∵，∴，設(shè)，（），則，因，則在上單調(diào)遞增，又，故由可得，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知以為焦點(diǎn)的拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別是和.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程.（2）求證：為定值.（3）求面積的最小值.解：（1）由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）且，∴，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由題意知過(guò)點(diǎn)P與拋物線C相切的直線的斜率存在且不為0，設(shè)切線的斜率為k，則切線的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，∴得（*），又∵、為方程（*）的兩根，由韋達(dá)定理得為定值；（3）由題知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴AB：，故直線AB過(guò)定點(diǎn).∴，，∴，點(diǎn)P到直線AB的距離為，∴，因函數(shù)在單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，所以面積的最小值為.19.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，令.（?。┯懻摰膯握{(diào)性.（ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.解：（1）在定義域內(nèi)是增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，要證，只需證設(shè)（）∴∵在上單調(diào)遞增且∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴故時(shí)，.（2）（?。┊?dāng)時(shí)，.定義域?yàn)椤啖佼?dāng)時(shí)，在上恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)）∴恒成立，故在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，令，則有兩不等正實(shí)根當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，由（ⅰ）知.∵的兩個(gè)極值點(diǎn)、為方程的兩根.∴，，∴，要證等價(jià)于證明.設(shè)（）∴∴在上單調(diào)遞增∴∴.即.湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)、寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，整理可得.故選：C.2.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）A. B.9 C. D.12【答案】B【解析】由題意可知：，所以，解得：，故選：B3.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A.21 B.20 C.19 D.18【答案】A【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選：A.4.點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得：，即，結(jié)合傾斜角與斜率的變化關(guān)系可知取值范圍為，故選：B5.若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實(shí)軸長(zhǎng)為6且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為或，即得或，解得或..故選：D.6.已知m，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.若，則【答案】A【解析】，，，A錯(cuò)誤；，B正確；，，C正確，由，可得，即，又，解得：，D正確；故選：A7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)的積為，若，當(dāng)取最小值時(shí)，（）A.10 B.11 C.12 D.12或13【答案】C【解析】，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，而，解得，因此數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是遞增正項(xiàng)數(shù)列，，因此，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故選：C8.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，所?故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，圓，則下列命題正確的有（）A.直線l過(guò)定點(diǎn)B.若直線l過(guò)C點(diǎn)，則C.存在實(shí)數(shù)t，使得直線l與圓C相切D.若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的最短距離為【答案】AB【解析】對(duì)于A，直線顯然經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線l過(guò)點(diǎn)，則有，則，故B正確；對(duì)于C，由圓心到直線的距離，可得，顯然的值不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由垂徑定理，要使弦長(zhǎng)最短，需使圓心到直線的距離最長(zhǎng)，而直線l過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，但是，此時(shí)軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有.則下列結(jié)論正確是（）A. B.（，1，…，9）的最大值為C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，令，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則展開式的通項(xiàng)公式為，所以為負(fù)，為正，當(dāng)時(shí)，計(jì)算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對(duì)于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對(duì)于D，由B可知，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)（）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且，.設(shè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為n，則（）A. B.n的取值為2、3、4C. D.mn的取值為3、6、9【答案】AD【解析】由，可得為二次函數(shù)，（）為的零點(diǎn)，由，得或，因?yàn)椋?，解得或；令，解得，所以在和?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，所以，又，，即，若，則，此時(shí)，與矛盾，故A正確；因?yàn)?，所以?個(gè)解，有1個(gè)解，所以有3個(gè)解，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖所示，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，故，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓和圓，則兩圓的公共弦長(zhǎng)為_______.【答案】【解析】如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式，可得兩圓的公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.13.某高中為開展新質(zhì)課堂，豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了若干個(gè)社團(tuán)，高二年級(jí)有5名同學(xué)打算參加“書法協(xié)會(huì)”、“舞動(dòng)青春”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”四個(gè)社團(tuán).若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這5個(gè)同學(xué)中至多有1人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】360【解析】(1)計(jì)算0人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：將名同學(xué)分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加.可先將人分成，，三組，有種，再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，可得，故方法數(shù)為種；(2)計(jì)算人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：先從人中選人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)，有種.然后將剩下的人分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，可將人按照，或，，分組①若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個(gè)社團(tuán)中的兩個(gè)，則有種，故方法數(shù)為種；②若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，則有，故方法數(shù)為種.故有人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)為種.綜上(1)，(2)，這5個(gè)同學(xué)中至多有1人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為：種.故答案為：360.14.已知且，集合和集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【解析】或，當(dāng)，對(duì)于等價(jià)于，若，則，故此時(shí)不等式不成立，即此時(shí)一定落在的內(nèi)部，滿足，若，要滿足，需滿足對(duì)于在恒成立，即，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：，由，可得，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為，所以，即，綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知的展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值.（2）記，求被除的余數(shù).解：（1）的展開式的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為、和，由題意有，即，整理得，因?yàn)椋獾?（2）因?yàn)?，所以，，所以能被整除因此，被除的余?shù)為.16.已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）設(shè)，求.解：（1）數(shù)列滿足，（），則，∴，又∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則（），∴，∴.17.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)有最小值，且的最小值大于，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，故∴曲