高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一．單擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，可得：.故選：A2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：C3.設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.4.若不等式與關(guān)于x的不等式的解集相同，則的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】由得，則或.由題意可得則對(duì)應(yīng)方程的兩根分別為，則的解集是故選;D.5.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，，解得，，故，易知，為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，解得，?故的取值范圍為.故選：C.6.已知在R上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以，解得，故選：A.7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故.本題選擇C選項(xiàng).8.設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下面命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D.命題“”的否定為“”【答案】AB【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，不能得到；當(dāng)時(shí)，一定可以得出，即“”是“”的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B：若，則，所以一元二次方程有兩個(gè)根，且一正一負(fù)根，若一元二次方程有一正一負(fù)根，則，則，故B正確；對(duì)于C：若“”，則不一定有“且”，比如，滿足，但不滿足且；而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對(duì)于D：由否定的定義可知，命題“”的否定為“”，故D不正確；故選：AB10.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是2，故A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是1，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故D正確，故選:ABD.11.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，又函數(shù)，且與的函數(shù)圖象恰好有2024個(gè)不同的交點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C. D.【答案】BC【解析】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，則有，即，，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移可知，的函數(shù)圖象也關(guān)于對(duì)稱，所以與的函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，則有，，所以，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.__________.【答案】12【解析】易知.故答案為：1213.若冪函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，則___________.【答案】【解析】，解得或.當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞增，與已知不符，所以舍去.當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，與已知相符.故答案為：14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若對(duì)任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意的、且，都有成立，不妨令，則，即，所以，令，，則當(dāng)且時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集是.故答案為：四．解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù)，（1）判斷的奇偶性；（2）用定義證明在0,+∞上為減函數(shù).（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋帧嗥婧瘮?shù).（2）證明：設(shè)是上的任意兩數(shù)，且，則∵且，∴即.∴在上為減函數(shù).16.已知函數(shù)（1）求值；（2）求的最大值．解（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.綜上，有最大值為40．17.已知福州地鐵號(hào)線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵的載客量與發(fā)車的時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人，記地鐵的載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問：當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得.由題意可得.所以，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為（人）.（2）解：當(dāng)時(shí)，（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.18.設(shè)函數(shù)(，且)．（1）若，判斷的奇偶性和單調(diào)性；（2）若，求使不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又因?yàn)?，所以是上的奇函?shù)；任取，，且，，因?yàn)?，，所以，，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞減，（2）即，所以，因?yàn)?，所以，由?）知在上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，原不等式等價(jià)于，所以，即恒成立，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：（3），即，解得：或（舍）所以，令，則在單調(diào)遞增，所以，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，，解得：不符合題意，綜上所述：．19.已知函數(shù)和，定義集合．（1）設(shè)，，求；（2）設(shè)，，，若任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，若存在，使得且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）已知，由，即當(dāng)時(shí)，不等式化為，得，此時(shí)，不等式的解為．當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，恒成立，此時(shí)，不等式的解為．當(dāng)時(shí)，不等式化為，得．此時(shí)，不等式的解為．綜上所述，的解集為，即．（2）由題意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由①得，，則，解得；由②得，，當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得；綜上知，的取值范圍是．（3）已知，，，由題意得，不等式組有解，由，又，①當(dāng)，即時(shí)，上式為，對(duì)任意恒成立．此時(shí)不等式組有解，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，或，要使不等式組有解，則或，解得，則有；③當(dāng)，即時(shí)，或．要使不等式組有解，則或，解得，則有；綜上所述，的取值范圍是.湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一．單擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，可得：.故選：A2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：C3.設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.4.若不等式與關(guān)于x的不等式的解集相同，則的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】由得，則或.由題意可得則對(duì)應(yīng)方程的兩根分別為，則的解集是故選;D.5.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，，解得，，故，易知，為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，解得，?故的取值范圍為.故選：C.6.已知在R上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以，解得，故選：A.7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故.本題選擇C選項(xiàng).8.設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下面命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D.命題“”的否定為“”【答案】AB【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，不能得到；當(dāng)時(shí)，一定可以得出，即“”是“”的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B：若，則，所以一元二次方程有兩個(gè)根，且一正一負(fù)根，若一元二次方程有一正一負(fù)根，則，則，故B正確；對(duì)于C：若“”，則不一定有“且”，比如，滿足，但不滿足且；而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對(duì)于D：由否定的定義可知，命題“”的否定為“”，故D不正確；故選：AB10.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是2，故A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是1，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故D正確，故選:ABD.11.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，又函數(shù)，且與的函數(shù)圖象恰好有2024個(gè)不同的交點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C. D.【答案】BC【解析】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，則有，即，，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移可知，的函數(shù)圖象也關(guān)于對(duì)稱，所以與的函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，則有，，所以，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.__________.【答案】12【解析】易知.故答案為：1213.若冪函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，則___________.【答案】【解析】，解得或.當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞增，與已知不符，所以舍去.當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，與已知相符.故答案為：14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若對(duì)任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意的、且，都有成立，不妨令，則，即，所以，令，，則當(dāng)且時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集是.故答案為：四．解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù)，（1）判斷的奇偶性；（2）用定義證明在0,+∞上為減函數(shù).（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋帧嗥婧瘮?shù).（2）證明：設(shè)是上的任意兩數(shù)，且，則∵且，∴即.∴在上為減函數(shù).16.已知函數(shù)（1）求值；（2）求的最大值．解（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.綜上，有最大值為40．17.已知福州地鐵號(hào)線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵的載客量與發(fā)車的時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人，記地鐵的載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問：當(dāng)?shù)罔F發(fā)車時(shí)間間隔多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得.由題意可得.所以，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)地鐵的載客量為（人）.（2）解：當(dāng)時(shí)，（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)?shù)罔F