高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以,又,,所以,故選：C2.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，解得：或，故選：D3.函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)椋傻煤瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔬x：D．4.使“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，則選項(xiàng)中的的范圍組成的集合是0,1的真子集，由選項(xiàng)知，選項(xiàng)均不滿足，選項(xiàng)B滿足.故使“”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是“”.故選：B.5.命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】：，，否定是，，故選：B6.已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)為上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值6，最小值2，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】曲線的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知的取值范圍是，故選：D8.定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)任意，都有，不妨設(shè)，由，所以函數(shù)是上的減函數(shù).函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位變成函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)是以1,0為中心的“中心捺函數(shù)”，所以函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，因此函數(shù)是奇函數(shù).由，當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)沒有意義，當(dāng)時(shí)，由，，由，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，，，，，即，A正確；對(duì)于B，，，，，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.函數(shù)有最大值B.C.D.的解集為【答案】ABD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，函?shù)開口向下，有最大值，A正確；又，函數(shù)值即B正確；又是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯(cuò)誤；不等式即為，即，解得或，，D正確.故選：ABD.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，都有；③，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.，使得對(duì)恒成立【答案】CD【解析】由條件①得是偶函數(shù)，所以，條件②得在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；若，在0,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則或，因?yàn)?，所以或，所以或，故C正確；因?yàn)槎x在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，是偶函數(shù)，且0,+∞在上單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故D正確；故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，.故答案為：.13.已知，且，則＝________．【答案】或1【解析】因?yàn)?，所以①或②，解①得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；解②得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；所以?故答案為：或114.函數(shù)，，若，使成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由以及可得；再由以及可得；若，使成立可得，即，解得；又，因此的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，且，所以，解得，，綜上所述，的取值范圍為.（2）由題意，需分和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，或無解；綜上所述，的取值范圍為.16.函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷并證明的單調(diào)性；解：（1）由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又由，得，解得，則，此時(shí)滿足，所以.（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，由，得，即，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.17.（1）小萌和小新在討論一道題：“已知正數(shù)，滿足，求的最小值.”小萌認(rèn)為：因?yàn)榍?，所以，所以的最小值?2.你認(rèn)為小萌的解法是否正確，如果錯(cuò)誤，請給出正確解答過程.并說說從中你學(xué)到了什么？（應(yīng)用不等式時(shí)要注意什么？）（2）請幫助小萌和小新同學(xué)完成下面的問題.已知且，求的最小值.解：（1）不正確，理由如下：因?yàn)椋?又，均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為16，若多次連用基本不等式后，一定要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件；（2）法一：因?yàn)?，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為.法二：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.18已知函數(shù)，滿足.（1）求值；（2）在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求的解析式.解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，則，解得.（2）由（1）可知：，若在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）因?yàn)槭菍?duì)稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知；綜上所述：.19.對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個(gè)不相交二元子集和，滿足，則稱這個(gè)四元整數(shù)集為“有趣的”．（1）寫出集合的一個(gè)“有趣的”四元子集：（2）證明：集合不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)，集合不能劃分成個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集．（1）解：（符合要求即可）：（2）證明：假設(shè)可以劃分，和一定是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，中至多兩個(gè)偶數(shù).則對(duì)于的一種符合要求的劃分和每個(gè)四元子集中均有兩個(gè)偶數(shù)．若兩個(gè)集合分別為和則或，不存在使得符合要求：若兩個(gè)集合分別為和則或，不存在使得符合要求：若兩個(gè)集合分別為和則或，不存在使得符合要求；綜上所述，不能劃分為兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集，（3）證明：假設(shè)可以劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集．每個(gè)子集中至多兩個(gè)偶數(shù)，又中恰有個(gè)偶數(shù)，每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)，對(duì)于，可設(shè)其中是偶數(shù)，為奇數(shù)，再由奇偶性，只能是．且矛盾．不能劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集．遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以,又,,所以,故選：C2.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，解得：或，故選：D3.函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，可得函?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔬x：D．4.使“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，則選項(xiàng)中的的范圍組成的集合是0,1的真子集，由選項(xiàng)知，選項(xiàng)均不滿足，選項(xiàng)B滿足.故使“”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是“”.故選：B.5.命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】：，，否定是，，故選：B6.已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)為上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值6，最小值2，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】曲線的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知的取值范圍是，故選：D8.定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)任意，都有，不妨設(shè)，由，所以函數(shù)是上的減函數(shù).函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位變成函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)是以1,0為中心的“中心捺函數(shù)”，所以函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，因此函數(shù)是奇函數(shù).由，當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)沒有意義，當(dāng)時(shí)，由，，由，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，，，，，即，A正確；對(duì)于B，，，，，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.函數(shù)有最大值B.C.D.的解集為【答案】ABD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，函?shù)開口向下，有最大值，A正確；又，函數(shù)值即B正確；又是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯(cuò)誤；不等式即為，即，解得或，，D正確.故選：ABD.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，都有；③，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.，使得對(duì)恒成立【答案】CD【解析】由條件①得是偶函數(shù)，所以，條件②得在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；若，在0,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則或，因?yàn)?，所以或，所以或，故C正確；因?yàn)槎x在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，是偶函數(shù)，且0,+∞在上單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故D正確；故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，.故答案為：.13.已知，且，則＝________．【答案】或1【解析】因?yàn)?，所以①或②，解①得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；解②得或，其中不符合集合元素的互異性，舍去；所以?故答案為：或114.函數(shù)，，若，使成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由以及可得；再由以及可得；若，使成立可得，即，解得；又，因此的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，所以，解得，，綜上所述，的取值范圍為.（2）由題意，需分和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，或無解；綜上所述，的取值范圍為.16.函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷并證明的單調(diào)性；解：（1）由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又由，得，解得，則，此時(shí)滿足，所以.（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，由，得，即，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.17.（1）小萌和小新在討論一道題：“已知正數(shù)，滿足，求的最小值.”小萌認(rèn)為：因?yàn)榍?，所以，所以的最小值?2.你認(rèn)為小萌的解法是否正確，如果錯(cuò)誤，請給出正確解答過程.并說說從中你學(xué)到了什么？（應(yīng)用不等式時(shí)要注意什么？）（2）請幫助小萌和小新同學(xué)完成下面的問題.已知且，求的最小值.解：（1）不正確，理由如下：因?yàn)椋?又，均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為16，若多次連用基本不等式后，一定要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件；（2）法一：因?yàn)椋?，所?當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為.法二：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.18已知函數(shù)，滿足.（1）求值；（2）在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求的解析式.解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，則，解得.（2）由（1）可知：，若在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）因?yàn)槭菍?duì)稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知；綜上所述：.19.對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個(gè)不相交二元子集和，滿足，則稱這個(gè)四元整數(shù)集為“有趣的”．（1）寫出集合的一個(gè)“有趣的”四元子集：（2）證明：集合不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)，集合不能劃分成個(gè)兩兩不