/1.3探索三角形全等的條件（四~六）【推本溯源】1.如圖，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有關(guān)推理過程也可以用符號?來表述。如上面的推理過程也可這樣表示3.按下列作法,用直尺和圓規(guī)作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作線段BC=a、（2）分別以B、C為圓心，c、b的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A。（3）連接AB、AC。▲ABC是所求的三角形。通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．【解惑】例1：如圖，已知，，垂足分別為，，，且，那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．例3：用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明的依據(jù)是____（填，，，中的一種）．例4：如圖，已知，，為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線分別交，的延長線于點(diǎn)，．求證：．例5：如圖，平分，，則圖中的全等三角形有________對．【摩拳擦掌】1．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，且平分，則利用（

）可說明與全等．

B． C． D．2．（2022春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和刷才完全一樣的姿勢，這時(shí)視線落在水平地面的B處（A，O，B三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在和中，，，要利用“”證明，需增加的一個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可用尺規(guī)作等于已知，判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·七年級單元測試）如圖，已知，，分別是和的高，則圖中全等三角形共有_______對．

6．（2023春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，，，，于，，，則__．7．（2022秋·七年級單元測試）如圖，是任意一個(gè)角，在，邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點(diǎn)的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是_____用字母表示即可8．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，，求證：9．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，與交于點(diǎn)E，，，．求證：．10．（2023·廣東廣州·廣州市第八十九中學(xué)校考三模）如圖，在四邊形中，，，連接．求證．

11．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，已知．求證：．

12．（2023·廣東廣州·廣州四十七中?？既＃┤鐖D，平分，垂足分別為．求證：．

【知不足】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，，添加一個(gè)條件后能使用“邊角邊”基本事實(shí)判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東棗莊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明和，則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）2022年10月12日某中學(xué)八年級（4）班的同學(xué)在聽了“天宮課堂”第三課，即我國航天員在中國空間站進(jìn)行的太空授課后，組成數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計(jì)了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)傘完全打開后，測得，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，那么的依據(jù)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線交的延長線于點(diǎn)．若，，，則的長是________．6．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個(gè)條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個(gè)條件即可）．7．（2022秋·江西宜春·八年級校考階段練習(xí)）如圖，請你僅用無刻度直尺作圖．(1)在圖①中，畫出三角形邊上的中線；(2)在圖②中，找一格點(diǎn)D，使得．8．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．9．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，于點(diǎn)E，且．求證：．

10．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長．11．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在和中，，點(diǎn)在邊上，，求證：．12．（2022秋·七年級單元測試）如圖，已知點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是過點(diǎn)M的一條直線，且，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試說明：；(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．求證：．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．【一覽眾山小】1．（2022秋·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D所示，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．2.（2022秋·湖北宜昌·八年級?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)F，與延長線交于點(diǎn)E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．163．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，若，，則__________．4.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知：如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．求證：．

5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明．6．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）探究活動(dòng)（1）[知識(shí)回顧]如圖，王芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號是（）A．①

B．②

C．③（2）[直觀感知]如圖，李明不小心把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號是（）A．①②

B．①③

C．①④D．②③

E．②④

F．③④（3）[問題探究]在平面幾何里，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．類似的，我們把能夠完全重合的兩個(gè)四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個(gè)角都分別相等的兩個(gè)四邊形全等．①已知：如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．求證：四邊形與四邊形是全等四邊形．②請類比全等三角形的判定定理，用文字語言表述第①題的題設(shè)與結(jié)論：③請?jiān)賹懗鲆粋€(gè)判定四邊形全等的真命題．（用符號語言表達(dá)，不必證明）7．（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，，是邊上的中線，過作的垂線，垂足為，過作交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：：(2)，求的長．8．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）【提出問題】我們已經(jīng)知道了三角形全等的判定方法（，，，）和直角三角形全等的判定方法（HL），請你繼續(xù)對“兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個(gè)三角形（）”的情形進(jìn)行探究．【探索研究】已知：在和中，，，．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可知RtRt；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，請用直尺和圓規(guī)作出，通過作圖，可知與全等．（填“一定”或“不一定”）(3)如圖③，當(dāng)時(shí)，與是否全等？若全等，請加以證明：若不全等，請舉出反例．【歸納總結(jié)】(4)如果兩個(gè)三角形的兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等，那么當(dāng)這組對角是__________時(shí)，這兩個(gè)三角形一定全等．（填序號）①銳角；②直角；③鈍角．9．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_____________．

1.3探索三角形全等的條件（四~六）【推本溯源】1.如圖，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？解：全等。證：∵∠A=∠D，∠B=∠E∴∠C=∠F（三角形的內(nèi)角和為180°）在▲ABC和▲DEF中∴▲ABC≌▲DEF（ASA）通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“角邊角”或“AAS”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有關(guān)推理過程也可以用符號?來表述。如上面的推理過程也可這樣表示3.按下列作法,用直尺和圓規(guī)作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作線段BC=a、（2）分別以B、C為圓心，c、b的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A。（3）連接AB、AC?！鳤BC是所求的三角形。通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．【解惑】例1：如圖，已知，，垂足分別為，，，且，那么的理由是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，結(jié)合已知證明即可．【詳解】∵，，∴．∵，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．例3：用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明的依據(jù)是____（填，，，中的一種）．

【答案】【分析】利用可證得，那么．【詳解】解：由作圖知，∴，∴，所以利用的條件為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形“邊邊邊”的判定以及全等三角形的對應(yīng)角相等這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，已知，，為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線分別交，的延長線于點(diǎn)，．求證：．【答案】見解析【分析】先證明得到，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到，最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．例5：如圖，平分，，則圖中的全等三角形有________對．【答案】5【分析】由平分推出，從而證明出，得到，，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，得到，從而證明出，即可得到答案．【詳解】解：平分，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，，全等三角形共有5對，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．【摩拳擦掌】1．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，且平分，則利用（

）可說明與全等．

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)定理即可得．【詳解】解：，，平分，，在和中，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2022春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和刷才完全一樣的姿勢，這時(shí)視線落在水平地面的B處（A，O，B三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，在與中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在和中，，，要利用“”證明，需增加的一個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明三角形全等是通過證明兩個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)相等，已知兩條邊相等，還需增加第三條邊相等即可．【詳解】解：∵，，因此還需增加，A：，無法證明，不符合題意；B：，無法證明，不符合題意；C：，可證得，符合題意；D：，無法證明，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵正確理解“”的判定方法．4．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可用尺規(guī)作等于已知，判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法易得，根據(jù)得到三角形全等．【詳解】解：如圖，連接，∵在和中∴，∴（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法的運(yùn)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是正確解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·七年級單元測試）如圖，已知，，分別是和的高，則圖中全等三角形共有_______對．

【答案】3【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)高的定義求出，，根據(jù)推出兩個(gè)三角形全等即可．【詳解】解：∵，∴，∵分別是和的高，∴，，在和中，，∴，同理，除已知兩三角形全等外，有，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．6．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，，，，于，，，則__．【答案】0.8cm/cm【分析】求出，求出，根據(jù)證，推出，，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．7．（2022秋·七年級單元測試）如圖，是任意一個(gè)角，在，邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點(diǎn)的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是_____用字母表示即可【答案】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得到答案．【詳解】∵角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，∴，在和中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．8．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，，求證：【答案】見詳解【分析】連接，證明即可求得答案．【詳解】證明：連接，如圖所示，∵，，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．9．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，與交于點(diǎn)E，，，．求證：．【答案】見解析【分析】利用線段的和證明，再利用“邊邊邊”即可證明結(jié)論．【詳解】，，，即BC=AD，在和中，（SSS）【點(diǎn)睛】本題只要考查三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是找到兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系．10．（2023·廣東廣州·廣州市第八十九中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四邊形中，，，連接．求證．

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用即可證明．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法．11．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，已知．求證：．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用即可證明．【詳解】證明：∵，∴，在與中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·廣東廣州·廣州四十七中校考三模）如圖，平分，垂足分別為．求證：．

【答案】證明見解析【分析】由題意知，，，，進(jìn)而可證．【詳解】解：由題意知，，，∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，垂線的定義，全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握．【知不足】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，，添加一個(gè)條件后能使用“邊角邊”基本事實(shí)判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行依次判定即可.【詳解】已知A，時(shí)不構(gòu)成全等的條件，故錯(cuò)誤，不符題意；B，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(SAS)，使用了“邊角邊”，故符合題意；C，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(AAS)，使用了“角角邊”，故不符合題意；D，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(ASA)，使用了“角邊角”，故不符合題意，故選B【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定定理的應(yīng)用，理解區(qū)分各種判定定理是關(guān)鍵．2．（2023春·山東棗莊·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【詳解】解：，A、，滿足的條件，能證明，不符合題意；B、，不滿足證明三角形全等的條件，符合題意；C、，得到，滿足，能證明，不符合題意；D、，得到，滿足，能證明，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的幾種方法：．3．（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明和，則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得，再根據(jù)定理即可得．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，，在和中，，，即這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖、三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）2022年10月12日某中學(xué)八年級（4）班的同學(xué)在聽了“天宮課堂”第三課，即我國航天員在中國空間站進(jìn)行的太空授課后，組成數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計(jì)了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)傘完全打開后，測得，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，那么的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，得出；根據(jù)三邊對應(yīng)相等，證明．【詳解】∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴在與中∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．5．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線交的延長線于點(diǎn)．若，，，則的長是________．【答案】3【分析】證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：，，在和中，，，，，的長為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個(gè)條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個(gè)條件即可）．【答案】或或【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【詳解】解：，，即，又∵，，，∴當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，在和中，，∴．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．題目是開放型題目，根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．7．（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，請你僅用無刻度直尺作圖．(1)在圖①中，畫出三角形邊上的中線；(2)在圖②中，找一格點(diǎn)D，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，連接即可；（2）按如圖所示，找到點(diǎn)D，連接即可．【詳解】（1）（2）如圖，即為所求；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，三角形中線的性質(zhì)、全等三角形的判定方法，掌握中線的性質(zhì)及全等三角形判定的方法是關(guān)鍵．8．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．9．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，于點(diǎn)E，且．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)證明，再證明，利用“角角邊”證明即可．【詳解】證明：，，，，，，，在與中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的證明，證明是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)等式性質(zhì)求出，根據(jù)證明；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，再根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和全等的三個(gè)條件．11．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在和中，，點(diǎn)在邊上，，求證：．【答案】見解析【分析】利用同時(shí)加證出，利用和三角形內(nèi)角和可證出，進(jìn)而就可證出．【詳解】證明：∵∴∴

∵，∴∴

∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等判定，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．12．（2022秋·七年級單元測試）如圖，已知點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是過點(diǎn)M的一條直線，且，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試說明：；(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)猜想：，理由見解析．【分析】（1）由題意可得、，再結(jié)合運(yùn)用即可證明結(jié)論；（2）由題意可得，再根據(jù)可得，進(jìn)而證明可得，然后根據(jù)線段的和差以及等量代換即可解答．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．在和中，∴．（2）解：猜想：．理由如下：∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．∵．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】證明：∵，∴，即

∵，∴在和中∵∴，

∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】先證明，再由平行線的性質(zhì)得，利用即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2022秋·海南海口·八年級?？计谥校┤鐖D所示，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)ASA判定，由全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：，，在與中，，，故選項(xiàng)A、C、D正確，但不符合題意，而不一定成立，故選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2.（2022秋·湖北宜昌·八年級校考期中）如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)F，與延長線交于點(diǎn)E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．16【答案】D【分析】由四邊形為正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，進(jìn)一步得到，所以根據(jù)可以證明，所以，那么，據(jù)此求解即可．【詳解】解：四邊形為正方形，，，，，，，，，，∴，即：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，若，，則__________．【答案】6【分析】延長到E，使得，連接，可得，即可得，進(jìn)而解題即可．【詳解】如圖，延長到E，使得，連接，則又∵∴∵平分∴∵∴∴∵∴解得：故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．4.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知：如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．求證：．

【答案】證明見解析【分析】先證明，，結(jié)合，可得，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用證明兩個(gè)三角形全等是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)(3)【分析】（1）①用證明即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出；（2）先證明，可得，，進(jìn)而得出；（3）先證明，可得，，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵熟練掌握三角形全等的條件，證明．6．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）探究活動(dòng)（1）[知識(shí)回顧]如圖，王芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號是（）A．①

B．②

C．③（2）[直觀感知]如圖，李明不小心把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號是（）A．①②

B．①③

C．①④D．②③

E．②④

F．③④（3）[問題探究]在平面幾何里，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．類似的，我們把能夠完全重合的兩個(gè)四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個(gè)角都分別相等的兩個(gè)四邊形全等．①已知：如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．求證：四邊形與四邊形是全等四邊形．②請類比全等三角形的判定定理，用文字語言表述第①題的題設(shè)與結(jié)論：③請?jiān)賹懗鲆粋€(gè)判定四邊形全等的真命題．（用符號語言表達(dá)，不必證明）【答案】（1）C；（2）E（3）①見解析；②題設(shè)：四條邊都相等，且有一對角對應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)四邊形全等；③在四邊形與四邊形中，，，，，．則四邊形與四邊形是全等四邊形；【分析】（1）根據(jù)分析即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，找到能確定一條邊2個(gè)角的三角形，即可求解；（3）①連接，證明，得出，證明，即可求解．②根據(jù)①的命題，寫出題設(shè)與結(jié)論即可求解．③根據(jù)①結(jié)論寫出真命題，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的方法進(jìn)行證明即可求解．【詳解】（1）解：依題意，③玻璃碎片，含有條邊，個(gè)角，依據(jù)可得兩個(gè)三角形全等，故選：C；（2）解：帶②④，理由如下，如圖，∵根據(jù)碎片的形狀，可以確定長度的長度，且碎片②④保留了2個(gè)角，以為邊的左右兩邊的兩個(gè)三角形的兩個(gè)角確定了，根據(jù)（1）的結(jié)論可得出2對全等三角形，∴帶②④，故選：E．（3）①證明：如圖，連接∵在四邊形與四邊形中，，，．∴，∴又，，∴∴四邊形與四邊形是全等四邊形；②題設(shè)：四條邊都相等，且有一對角對應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)四邊形全等；③如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．則四邊形與四邊形是全等四邊形；證明：如圖，∵，，，∴，∴，，，∵，，∴，∴∴四邊形與四邊形是全等四邊形；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，，是邊上的中線，過作的垂線，垂足為，過作交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：：(2)，求的長．【答案】(1)見解析(2)7cm【分析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中