/第14講實數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解實數(shù)的概念，知道無理數(shù)是客觀存在的；2．知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；3.會用計算器比較實數(shù)的大小，進行簡單的實數(shù)的運算。1.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個數(shù)。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？周長為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號、含有Π的數(shù)都是無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。無理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來。如圖A表示的數(shù)為每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。2.（1）實數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）一個正實數(shù)的絕對值是是本身，一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0；（3）乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)。3.有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)大小比較的方法，有理數(shù)的運算性質(zhì)、運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)都仍然適用。在實數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且可以進行開立方運算以及非負實數(shù)的開立方運算。4.實數(shù)的大小比較：任意兩個實數(shù)都可以比較大小，正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)中絕對值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數(shù)法：考點一：實數(shù)的概念例1．實數(shù)的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實數(shù)包括正實數(shù)和負實數(shù) B．數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)C．兩邊及其中一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 D．若兩個三角形全等，則對應(yīng)邊所對的角是對【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)．()(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)．()(3)無限小數(shù)都是無理數(shù)．()(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù)．()(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)．()(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．()(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．()(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù)．()【變式1-3】把下列實數(shù)表示在如圖所示的數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”連接），，0，，，．考點二：實數(shù)的分類例2．下列說法正確的是（

）A．無理數(shù)是無限小數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù) B．是無理數(shù)C．實數(shù)包括正實數(shù)和負實數(shù) D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)【變式2-1】如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關(guān)于m和n的說法，正確的是（

）A．m為有理數(shù)，n為無理數(shù) B．m為無理數(shù)，n為有理數(shù)C．m，n都為有理數(shù) D．m，n都為無理數(shù)【變式2-2】在下列數(shù)中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0），⑧．非負整數(shù)有；無理數(shù)有．（填寫序號）【變式2-3】已知的立方根是，的算術(shù)平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數(shù)，求的平方根．考點三：實數(shù)的大小比較例3.比大，比小的整數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】如圖，實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離為5．下列各數(shù)中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】比較大?。?（填“”，“”或“”）．【變式3-3】計算：(1)(2)考點四：無理數(shù)的估算例4．已知，則估計a的值應(yīng)在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【變式4-1】點在數(shù)軸上的位置如圖所示，這四個點中有一個點表示實數(shù)，這個點是（

）A．M B．N C．P D．Q【變式4-2】已知，則整數(shù)n的值是．【變式4-3】運行程序如圖所示，從“輸入實數(shù)x”到“結(jié)果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進行了一次就輸出結(jié)果，求a的取值范圍；(2)當時，輸入x后程序操作進行了兩次輸出結(jié)果，求x的取值范圍；考點五：實數(shù)的混合運算例5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】下列運算一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-2】計算：．【變式5-3】計算：(1)(2)考點六：程序下的運算例6.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的的值為時，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【變式6-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．24 B． C．25 D．【變式6-2】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【變式6-3】如圖1，有一個底面積為，高為的圓柱魔方，現(xiàn)打算把它放進一個如圖2的底面正方形邊長為，高為的長方體的盒子里．(1)這個魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進去嗎？為什么？1．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．2．公元前年，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長為的正方形的對角線長不能用有理數(shù)表示，為了紀念他，人們把這些數(shù)取名為無理數(shù)．下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在數(shù)軸上與表示的點距離最近的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點4．我們定義：若一個三角形的兩個內(nèi)角與，滿足，則這樣的三角形稱為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數(shù)，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)和，規(guī)定，如：．則的結(jié)果是（

）A．9 B．11 C．13 D．157．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計算：其結(jié)果為（）A． B． C． D．9．在實數(shù)，，，中，最小的無理數(shù)是．10．、為兩個連續(xù)的整數(shù)，，則．11．寫出比大且比小的整數(shù)是．12．用“@”表示一種新運算；對于任意正實數(shù)a，b，都有，如，則的結(jié)果是．13．已知，則的整數(shù)部分為．14．已知是的整數(shù)部分，，其中是整數(shù)，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是．15．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實數(shù)集合：；負實數(shù)集合：．16．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里：，，0，，2013，，，0.010010001（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1），，整數(shù)集合{

}；非負數(shù)集合{

}；分數(shù)集合{

}；無理數(shù)集合{

}．17．【閱讀理解】的整數(shù)部分是2，則的小數(shù)部分可以表示為．【問題解決】(1)若，且是整數(shù)，求的值；(2)已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，且，求的值．18．我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中m，n為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么，，運用上述知識解決下列問題：(1)若m，n為有理數(shù)，且，求m，n的值；(2)若m，n為有理數(shù)，且，求的立方根；(3)若m，n為有理數(shù)，且，則______．

第14講實數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解實數(shù)的概念，知道無理數(shù)是客觀存在的；2．知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；3.會用計算器比較實數(shù)的大小，進行簡單的實數(shù)的運算。1.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個數(shù)。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？周長為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號、含有Π的數(shù)都是無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。無理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來。如圖A表示的數(shù)為每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。2.（1）實數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）一個正實數(shù)的絕對值是是本身，一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0；（3）乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)。3.有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)大小比較的方法，有理數(shù)的運算性質(zhì)、運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)都仍然適用。在實數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且可以進行開立方運算以及非負實數(shù)的開立方運算。4.實數(shù)的大小比較：任意兩個實數(shù)都可以比較大小，正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)中絕對值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數(shù)法：考點一：實數(shù)的概念例1．實數(shù)的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本題主要考查實數(shù)與倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)的定義可直接進行求解．【詳解】解：∵∴實數(shù)的倒數(shù)是，故選：C．【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實數(shù)包括正實數(shù)和負實數(shù) B．數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)C．兩邊及其中一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 D．若兩個三角形全等，則對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角【答案】D【分析】本題考查的知識點是判斷命題的真假、實數(shù)的定義、數(shù)軸上的點與實數(shù)的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)實數(shù)的定義、數(shù)軸上的點與實數(shù)的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定判斷命題真假．根據(jù)實數(shù)的定義可得A選項錯誤，根據(jù)數(shù)軸上的點與實數(shù)的關(guān)系可得B選項錯誤，根據(jù)全等三角形的判定可得C選項錯誤，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得D選項正確．【詳解】A選項，實數(shù)包括正實數(shù)、零和負實數(shù)，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，A選項錯誤；B選項，數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，B選項錯誤；C選項，兩邊及其中一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，C選項錯誤；D選項，若兩個三角形全等，則對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，故原命題正確，是真命題，符合題意，D選項正確．故選：D．【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)．()(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)．()(3)無限小數(shù)都是無理數(shù)．()(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù)．()(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)．()(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．()(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．()(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù)．()【答案】錯誤正確錯誤錯誤錯誤錯誤錯誤正確【分析】根據(jù)有理數(shù)，無理數(shù)，實數(shù)的概念逐項判斷即可【詳解】(1)(錯誤)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1．020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù)；故答案為：錯誤．(2)(正確)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)；故答案為：正確．(3)(錯誤)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)；故答案為：錯誤．(4)(錯誤)0是有理數(shù)；故答案為：錯誤．(5)(錯誤)如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù)；故答案為：錯誤．(6)(錯誤)如，雖然帶根號，但＝9，這是有理數(shù)；故答案為：錯誤．(7)(錯誤)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù)；故答案為：錯誤．(8)(正確)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以

實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示；故答案為：正確．【點睛】本題考查了有理數(shù)，無理數(shù)，實數(shù)的概念，理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】把下列實數(shù)表示在如圖所示的數(shù)軸上，并比較它們的大小．（用“<”連接），，0，，，．【答案】數(shù)軸表示見解析，【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，立方根，實數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的特點．首先求出，，然后根據(jù)數(shù)軸的特點，將各個點表示在數(shù)軸上，利用數(shù)軸比較大小即可．【詳解】解：，，用“”連接為：．考點二：實數(shù)的分類例2．下列說法正確的是（

）A．無理數(shù)是無限小數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù) B．是無理數(shù)C．實數(shù)包括正實數(shù)和負實數(shù) D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類以及無理數(shù)的定義，根據(jù)實數(shù)的分類以及無理數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，原說法錯誤，故該選項不符合題意；B．是無理數(shù)，正確，故該選項符合題意；C．實數(shù)分為正實數(shù)．負實數(shù)和零，原說法錯誤，故該選項不符合題意；D．帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù)，例如，，2是有理數(shù)，原說法錯誤，故該選項不符合題意；故選：B．【變式2-1】如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關(guān)于m和n的說法，正確的是（

）A．m為有理數(shù)，n為無理數(shù) B．m為無理數(shù)，n為有理數(shù)C．m，n都為有理數(shù) D．m，n都為無理數(shù)【答案】A【分析】本題考查算術(shù)平方根、實數(shù)的分類，先根據(jù)正方形面積公式求得邊長m、n，再根據(jù)實數(shù)的分類判斷即可．【詳解】解：由題意，，，∴，，∴m為有理數(shù)，n為無理數(shù)，故選：A．【變式2-2】在下列數(shù)中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0），⑧．非負整數(shù)有；無理數(shù)有．（填寫序號）【答案】⑥⑧①⑤⑦【分析】根據(jù)實數(shù)的分類及定義即可求得答案．本題考查實數(shù)的分類及定義，無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，大于等于0的整數(shù)為非負整數(shù)；必須熟練掌握．【詳解】解：，非負整數(shù)有⑥⑧；無理數(shù)有①⑤⑦；故答案為：⑥⑧；①⑤⑦．【變式2-3】已知的立方根是，的算術(shù)平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數(shù)，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根的定義以及無理數(shù)的估算，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義即可求出a，b的值；（2）根據(jù)無理數(shù)的估算求出c的值，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得：；（2），，由（1）得，，.的平方根是，的平方根是．考點三：實數(shù)的大小比較例3.比大，比小的整數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，分別估算出和的取值范圍即可．【詳解】解：，，比大，比小的整數(shù)是2．故選：B．【變式3-1】如圖，實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離為5．下列各數(shù)中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，，繼而得到，解答即可．本題考查了絕對值，實數(shù)大小比較，熟練掌握兩點間距離越小，兩個數(shù)越靠近是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得到，因為所以所以在之間，所以所以數(shù)軸上表示數(shù)m與的距離小于表示數(shù)m與的距離，即數(shù)m與?

最接近，故選A．【變式3-2】比較大?。?（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本題主要考查實數(shù)的大小比較，先求出兩個實數(shù)的平方是關(guān)鍵．先求兩個數(shù)的平方，進而即可比較大小．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．【變式3-3】計算：(1)(2)【答案】(1)8(2)6【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先計算算術(shù)平方根、立方根和絕對值，再計算加減即可；（2）先算乘方、絕對值、算術(shù)平方根和去括號，再計算加減即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．考點四：無理數(shù)的估算例4．已知，則估計a的值應(yīng)在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【答案】C【分析】此題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算的方法是解本題的關(guān)鍵．先估算出的范圍，再估算出的范圍即可求解．【詳解】解：，即，，a的值應(yīng)在之間，故選：C．【變式4-1】點在數(shù)軸上的位置如圖所示，這四個點中有一個點表示實數(shù)，這個點是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】C【分析】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)，無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的估算，先確定的范圍，再根據(jù)數(shù)軸與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，由數(shù)軸可知，只有點的取值范圍在1和2之間，故選：C．【變式4-2】已知，則整數(shù)n的值是．【答案】7【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，估算出的大小即可求解．【詳解】解：，，即，故；故答案為：7．【變式4-3】運行程序如圖所示，從“輸入實數(shù)x”到“結(jié)果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進行了一次就輸出結(jié)果，求a的取值范圍；(2)當時，輸入x后程序操作進行了兩次輸出結(jié)果，求x的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)進行了一次運算，列出不等式，解之即可；（2）根據(jù)運行了兩次，可得第一次沒有停止，第二次停止，分別列出不等式，解之即可．【詳解】（1）解：由題意可列不等式為，解得：；（2）當時，第一次沒有停止，則可列式為：，解得：，則第二次輸入的值為，第二次停止了，輸出結(jié)果，則可列式為，解得：，故的取值范圍為．【點睛】本題考查一元一次不等式（組）的應(yīng)用，通過給出的操作過程來列一元一次不等式并求出對應(yīng)的解．考點五：實數(shù)的混合運算例5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了實數(shù)的運算，算術(shù)平方根以及立方根；根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)以及實數(shù)的加減，算術(shù)平方根，立方根進行計算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【變式5-1】下列運算一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了實數(shù)的運算，算術(shù)平方根，立方根，根據(jù)實數(shù)的運算法則，進行計算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項正確，符合題意；故選：D．【變式5-2】計算：．【答案】1【分析】此題主要考查實數(shù)的混合運算，計算負整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，以及平方運算，最后再算加減法即可．【詳解】解：故答案為：1．【變式5-3】計算：(1)(2)【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了實數(shù)的運算，整式的加法，乘法運算，完全平方公式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪分別計算，再進行加減運算；（2）利用完全平方公式展開，單項式乘以多項式計算，最后再合并同類項．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．考點六：程序下的運算例6.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當輸入的的值為時，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了與流程圖有關(guān)的實數(shù)運算、求一個數(shù)的算術(shù)平方根、無理數(shù)的概念．先將輸入，求出算術(shù)平方根，若結(jié)果是無理數(shù)則輸出，若結(jié)果是有理數(shù)，則將有理數(shù)輸入，直到求出的算術(shù)平方根是無理數(shù)為止．【詳解】解：輸入的的值為時，；∵是有理數(shù)，∴將輸入，輸出的是無理數(shù)，故輸出．故選：B．【變式6-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．24 B． C．25 D．【答案】B【分析】本題以程序計算考查實數(shù)的運算，將代入計算，再判斷即可．【詳解】解：將代入計算，第一次：，進行第二次計算，第二次：，∴輸出結(jié)果，故選：B．【變式6-2】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【答案】【分析】本題考查實數(shù)的分類及運算．根據(jù)已知判斷每一步輸出結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：由所示的程序可得：25的算術(shù)平方根是5，5是有理數(shù)，再取5的平方根，是無理數(shù)，輸出為y，∴開始輸入的x值為25，則最后輸出的y值是．故答案為：．【變式6-3】如圖1，有一個底面積為，高為的圓柱魔方，現(xiàn)打算把它放進一個如圖2的底面正方形邊長為，高為的長方體的盒子里．(1)這個魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進去嗎？為什么？【答案】(1)這個魔方底面圓的直徑為(2)能放進去，理由見解析【分析】本題考查了圓的計算和圓柱體的計算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓的面積公式求解即可；（2）分別比較圓的直徑和長方體底面邊長，圓柱的高和長方體的高，即可判斷，【詳解】（1）設(shè)這個魔方底面圓的半徑為，根據(jù)半徑與面積的關(guān)系得，，，∴直徑為，答：這個魔方底面圓的直徑為；（2）能放進去．理由如下：∵∴，∴，又∵，即魔方底面圓的直徑小于長方體盒子底面的邊長，且高小于長方體的高，所以能放進去．1．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。鶕?jù)實數(shù)的大小比較方法解答即可.【詳解】解：∵，∴，∴最小的數(shù)為．故選：A．2．公元前年，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長為的正方形的對角線長不能用有理數(shù)表示，為了紀念他，人們把這些數(shù)取名為無理數(shù)．下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，判斷每個選項是否符合無限不循環(huán)小數(shù)的特征即可解答．本題考查了無理數(shù)的定義，理解無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是有限小數(shù)，∴是有理數(shù)，∴項不符合題意；∵是無限不循環(huán)小數(shù)，∴是無理數(shù)，∴項符合題意；∵是分數(shù)，屬于有理數(shù)，不是無理數(shù)，∴項不符合題意；∵，屬于有理數(shù)，不是無理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴項不符合題意；故選．3．如圖，在數(shù)軸上與表示的點距離最近的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】C【分析】此題考查了無理數(shù)大小的估計，實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵正確估算出無理數(shù)的大小．估算出無理數(shù)的大小，然后結(jié)合數(shù)軸即可求解．【詳解】解：，，點與表示的點距離最近，符合題意．故選：C．4．我們定義：若一個三角形的兩個內(nèi)角與，滿足，則這樣的三角形稱為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了新定義和三角形內(nèi)角和定理理解新定義是解題的關(guān)鍵．通過和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解∶是“奇妙互余三角形”，，，故選∶B．5．已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數(shù)，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查無理數(shù)的估算，三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，再估算出第三邊的范圍，結(jié)合整數(shù)直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，設(shè)第三邊為x，即，∵，即∴，∵第三條邊長為整數(shù)，∴x可能為：2，3，4，則第三邊長不可能為1，故選：A6．用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)和，規(guī)定，如：．則的結(jié)果是（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，理解新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)定義的新運算發(fā)展進行計算即可．【詳解】解：由題意得：．故選：B．7．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，即，由，可得，則答案可得．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了立方和公式，關(guān)鍵是進行合理的變形，難度較大．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計算：其結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由上述規(guī)律可知，，，，同理，然后將各式相加后即可求解．【詳解】由題意可知：=．故選：A．【點睛】本題考查的是實數(shù)的計算規(guī)律，此題為積化和差題型，有一定的難度，弄明白了計算規(guī)律就容易求解．能夠理解題意，看懂運算規(guī)律，并能運用規(guī)律求解是前提，解決此類題型的關(guān)鍵是會裂項相消．9．在實數(shù)，，，中，最小的無理數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義及實數(shù)大小比較的法則即可解答．本題考查了無理數(shù)的定義，實數(shù)大小比較的法則，理解無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是有理數(shù)，，，∴，∵與是有理數(shù)，與是無理數(shù)，∴最小的無理數(shù)是，故答案為．10．、為兩個連續(xù)的整數(shù)，，則．【答案】7【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，結(jié)合，、為兩個連續(xù)的整數(shù)，可得，，問題即可作答．【詳解】，，，∵、為兩個連續(xù)的整數(shù)，，，，故答案為：．11．寫出比大且比小的整數(shù)是．【答案】2【分析】此題主要考查了估算無理數(shù)大小，直接利用，接近的整數(shù)是2，進而得出答案，正確得出無理數(shù)接近的有理數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個數(shù)為，，為整數(shù)，且，．故答案為：2．12．用“@”表示一種新運算；對于任意正實數(shù)a，b，都有，如，則的結(jié)果是．【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：．故答案為：3．13．已知，則的整數(shù)部分為．【答案】2【分析】本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)和無理數(shù)的估算，先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出的值，再求出的整數(shù)部分即可．【詳解】解：∵，且，∵解得，∴，∵∴∴的整數(shù)部分為2，故答案為：2．14．已知是的整數(shù)部分，，其中是整數(shù)，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是．【答案】或【分析】本題考查無理數(shù)的整數(shù)部分、勾股定理等知識，由題中條件，分別得到、，分類討論，利用勾股定理求出以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度即可，熟記無理數(shù)估算及勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的整數(shù)部分，，，，，，即，其中是整數(shù)，，，，當為直角三角形的兩直角邊時，第三邊長為；當為直角三角形的直角邊、為直角三角形的斜邊時，第三邊長為；綜上所述，以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是或，故答案為：或．15．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實數(shù)集合：；負實數(shù)集合：．【答案