/限時(shí)練習(xí)：06min完成時(shí)間：月日天氣：暑假作業(yè)05矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)01矩形的性質(zhì)與判定1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2）性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：４）判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識(shí)點(diǎn)02菱形的性質(zhì)與判定1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2）性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：4）判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識(shí)點(diǎn)03正方形的性質(zhì)與判定1）定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2）性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4）判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.注意：矩形、菱形、正方形的判定只寫出了其中一些常見的判定方法。題型一矩形的判定1．在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，下列選項(xiàng)中，能判定四邊形是矩形的是（

）A． B．，C．， D．2．如圖，已知在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，且，要使四邊形是矩形，可添加一個(gè)條件是．3．如圖,在中,點(diǎn)E,F分別在,上,連接,,,,且．請從以下三個(gè)選項(xiàng)中:①;②;③,選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件,使四邊形是矩形．（不再添加其他線條和字母）．(1)你添加的條件是:;（填序號，填一個(gè)即可）(2)添加條件后,請證明四邊形是矩形．題型二矩形的性質(zhì)（求角度、線段長、面積）1．如圖，在矩形中，，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．2．在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)M，若，則的度數(shù)為．3．如圖，、是矩形邊上的兩點(diǎn)，．

(1)若，則______°；(2)求證：．題型三矩形與折疊問題1．如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知是矩形的對角線，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對角線上的點(diǎn)G，H處，連接．則．3．如圖，把矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，已知．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的長度；(3)求的長度；題型四菱形的判定1．在中，、是對角線，補(bǔ)充一個(gè)條件使得四邊形為菱形，這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．2．如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使平行四邊形是菱形．3．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在延長線上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由．題型五菱形的性質(zhì)1．如圖，菱形的邊長為，對角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．如圖，在菱形中，、為對角線，平分，若，則的度數(shù)為．3．如圖1，，平分，且交于點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，連接

(1)求證：四邊形是菱形；(2)如圖2，若交于點(diǎn)，且，，求菱形的邊長．題型六正方形的判定1．在四邊形中，，如果添加一個(gè)條件，即可得出四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．2．如圖所示，菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形成為正方形，則這個(gè)條件是．（只填一個(gè)條件即可）3．如圖，在中，，的平分線交于D，過點(diǎn)B作交的外角平分線于E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)直接寫出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形．題型七正方形的性質(zhì)1．如圖，正方形中，，直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，是正方形的對角線，點(diǎn)E是延長線上的點(diǎn)，且，則．3．如圖，、分別是正方形的邊、上一點(diǎn)，且，求．

題型八正方形折疊問題1．如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，將沿對折至，延長交于點(diǎn)，則的長是（

）A．4 B． C．3 D．2．如圖，在正方形的邊上取一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)恰好與對角線上的點(diǎn)重合，連接，若，則的面積是．3．如圖，在中，，于，將沿折疊為，將沿折疊為，延長和相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為正方形；(2)若，，求的長．題型九中點(diǎn)四邊形1．在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，、分別是對角線，的中點(diǎn)，依次連接，，、得到的四邊形一定是()A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．在四邊形中，，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形的形狀是．3．已知：如圖四邊形四條邊上的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接、、、，得到四邊形，四邊形的形狀是什么？并證明結(jié)論．題型十特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題1．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，或D．當(dāng)時(shí)，或2．如圖，在四邊形中，，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．秒時(shí)四邊形是平行四邊形？

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)終點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)______，點(diǎn)坐標(biāo)______．(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？題型十一四邊形綜合1．如圖，在四邊形中，對角線，且，則該四邊形的面積是（

）A．30 B．54 C． D．602．一張矩形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作…若在第次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為階奇異矩形，如圖1，矩形中，若，，則稱矩形為2階奇異矩形．已知矩形的一邊長為20，另一邊長為（），且它是3階奇異矩形，則的值為．3．已知，在矩形中，，，四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別在矩形邊，，上，．(1)如圖，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的面積；(2)如圖，當(dāng)四邊形為菱形，設(shè)，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，的面積能否等于？請說明理由．1．如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)，添加下列條件不能判定是菱形的只有（

）A． B． C． D．2．在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，，分別交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形是矩形B．若垂直平分，則四邊形是矩形C．若，則四邊形是菱形D．若平分，則四邊形是菱形4．如圖，在正方形中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)E、F分別在邊上，，若平分．則E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）

A．5 B． C． D．65．如圖，矩形的邊、分別在x軸、y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．如圖，矩形中，，，折疊長方形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，則的長為．7．如圖，在Rt中，，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的最小值為．8．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)在對角線上且，若，，則．

9．如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，、分別是、的中點(diǎn)，若，，則的長為．

10．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是射線上一點(diǎn)，且，連接，將沿翻折至，使D恰好落在上，則．11．已知：如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)，，．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)已知矩形的面積為20，求四邊形的面積．12．已知：如圖，平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，的延長線交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．13．如圖，四邊形是矩形．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作一個(gè)菱形，其中F在直線上，E在直線上；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求所作菱形的面積．14．實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．15．如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將矩形沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的對角線上時(shí)，求線段的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的邊的延長線上時(shí)，連接，取的中點(diǎn)M，求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的對角線的延長線上時(shí)，求的面積．1．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線交于點(diǎn)G，若，則等于（

）A． B． C． D．2．（2021·江蘇宿遷·中考真題）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（

）A． B．2 C． D．43．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α4．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．5．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

6．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝．7．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．8．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝．9．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．10．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，垂足為，連接，求證：四邊形是菱形．

11．（2022·江蘇常州·中考真題）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)．若，則點(diǎn)叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形中，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”．已知，，，連接，求的長；(3)在四邊形中，EH//FG．若邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，求的值．12．（2023·江蘇·中考真題）對于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)，使得該四邊形的一條對角線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．例如，在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是矩形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．

(1)若菱形為“可旋四邊形”，其面積是，則菱形的邊長是_______；(2)如圖1，四邊形為“可旋四邊形”，邊的中點(diǎn)是四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．求的度數(shù)；(3)如圖2，在四邊形中，，與不平行．四邊形是否為“可旋四邊形”？請說明理由．

限時(shí)練習(xí)：06min完成時(shí)間：月日天氣：暑假作業(yè)05矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)01矩形的性質(zhì)與判定1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2）性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：４）判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識(shí)點(diǎn)02菱形的性質(zhì)與判定1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2）性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：4）判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識(shí)點(diǎn)03正方形的性質(zhì)與判定1）定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2）性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3）面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4）判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.注意：矩形、菱形、正方形的判定只寫出了其中一些常見的判定方法。題型一矩形的判定1．在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，下列選項(xiàng)中，能判定四邊形是矩形的是（

）A． B．，C．， D．【答案】A【分析】此題考查了矩形的判定方法．根據(jù)矩形的判定定理求解即可．【詳解】解：A、，根據(jù)對角線相等且平分的四邊形是矩形，能判定四邊形是矩形，本選項(xiàng)符合題意；B、，，能判定四邊形是平行四邊形，不能判定四邊形是矩形，本選項(xiàng)不符合題意；C、，，不能判定四邊形是矩形，本選項(xiàng)不符合題意；D、，不能判定四邊形是矩形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．如圖，已知在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，且，要使四邊形是矩形，可添加一個(gè)條件是．【答案】不唯一【分析】根據(jù)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，添加條件即可．本題考查了矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴四邊形是矩形，故答案為：．3．如圖,在中,點(diǎn)E,F分別在,上,連接,,,,且．請從以下三個(gè)選項(xiàng)中:①;②;③,選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件,使四邊形是矩形．（不再添加其他線條和字母）．(1)你添加的條件是:;（填序號，填一個(gè)即可）(2)添加條件后,請證明四邊形是矩形．【答案】(1)①（或②）(2)證明見解析【分析】本題考查矩形的判定及平行四邊形判定及性質(zhì)．（1）根據(jù)題意,先分析平行四邊形的性質(zhì)有哪些,思考平行四邊形和矩形的區(qū)別,可知“對角線相等的平行四邊形為矩形”繼而解出本題;（2）根據(jù)（1）所得結(jié)論證明出是矩形即可．【詳解】（1）解:根據(jù)平行四邊形性質(zhì)與判定,矩形的判定,選擇①（或②）,選擇其中一個(gè)序號填寫即可．（2）解:證明:若選①判定如下:∵四邊形是平行四邊形,∴,,,∵,∴在和中,,∴,∴,∵,∴為平行四邊形,∵,∴為矩形;若選②判定如下:解:∵四邊形是平行四邊形,∴,∵,∴為平行四邊形,∵,∴為矩形．題型二矩形的性質(zhì)（求角度、線段長、面積）1．如圖，在矩形中，，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及等積法，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理及等積法是解題的關(guān)鍵；連接，由題意易得，，然后根據(jù)等積法可進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，∴在中，由勾股定理可得，∵，∴，∴；故選B．2．在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)M，若，則的度數(shù)為．【答案】/60度【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；由矩形的性質(zhì)可得，，由可求，再由等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可；【詳解】四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．3．如圖，、是矩形邊上的兩點(diǎn)，．

(1)若，則______°；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形得，，根據(jù)得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；（2）根據(jù)四邊形是矩形得，，根據(jù)可證明，得，即可得．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴．（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．題型三矩形與折疊問題1．如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形與折疊，根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，推出為等邊三角形，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵矩形，，∵沿折疊，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；故選C．2．如圖，已知是矩形的對角線，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對角線上的點(diǎn)G，H處，連接．則．【答案】2【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理求解，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：是矩形的對角線，，，將沿翻折，將沿翻折，，，故答案為：3．如圖，把矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，已知．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的長度；(3)求的長度；【答案】(1)見解析；(2)的長度為；(3)．【分析】（1）利用翻折得出，利用平行得出，從而得出，最終得出結(jié)果；（2）設(shè)長，得出，在中，利用勾股定理得到，即，計(jì)算求解即可；（3）根據(jù)已知再結(jié)合（1）易得，過點(diǎn)F作的垂線，垂足為Q，得到，，結(jié)合第（2）問得出，再由勾股定理得出結(jié)果；本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，此題利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：由題意知：折疊后為，∴，又∵，∴，∴綜上可得：，∴是等腰三角形；（2）解：設(shè)長，∵折疊后是，∴由題意知，，則在中，由勾股定理得：，即，解得，∴的長度為．（3）解：由第（1）問知：，又∵，∴，∴，過點(diǎn)F作的垂線，垂足為Q，∴，，由第（2）問知∴，∴．題型四菱形的判定1．在中，、是對角線，補(bǔ)充一個(gè)條件使得四邊形為菱形，這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的判定．根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷．【詳解】解：添加一個(gè)條件為，理由如下：四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形．故選：B．2．如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使平行四邊形是菱形．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了菱形的判定，根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形．故答案為：（答案不唯一）．3．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在延長線上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由見詳解【分析】（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，，得到，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：在中，是邊的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：滿足條件時(shí)四邊形為菱形．理由：若時(shí)，為等腰三角形，為中線，，即，平行四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型五菱形的性質(zhì)1．如圖，菱形的邊長為，對角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，，由勾股定理得，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是菱形，=，∴，，，∴，∴，∵，∴故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)勾股定理及求算術(shù)平方根；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在菱形中，、為對角線，平分，若，則的度數(shù)為．【答案】52【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用平分得出，再根據(jù)四邊形是菱形推出，，然后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴．故答案為：52．3．如圖1，，平分，且交于點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，連接

(1)求證：四邊形是菱形；(2)如圖2，若交于點(diǎn)，且，，求菱形的邊長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證出，得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理可得出答案．【詳解】（1）證明：平分，，又，，，同理，平分，，又，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：菱形中，，，，，，，．題型六正方形的判定1．在四邊形中，，如果添加一個(gè)條件，即可得出四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的判定可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴四邊形是菱形，若添加，則該四邊形是正方形．故選：A．2．如圖所示，菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形成為正方形，則這個(gè)條件是．（只填一個(gè)條件即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了正方形的判定．根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件，即可．【詳解】解：添加，理由：∵四邊形是菱形，，∴四邊形是正方形．故答案為：（答案不唯一）3．如圖，在中，，的平分線交于D，過點(diǎn)B作交的外角平分線于E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)直接寫出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由見解析【分析】本題主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三線合一：（1）先根據(jù)平分，得，然后根據(jù)是的外角平分線，可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到得到，即可證明四邊形ADBE為矩形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，則°，利用等腰三角形的性質(zhì)定理可知對應(yīng)邊，再運(yùn)用鄰邊相等的矩形是正方形，問題得證．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，，∵是的外角平分線，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由如下：∵，平分，，∴，∴，又∵四邊形是矩形，∴矩形為正方形．題型七正方形的性質(zhì)1．如圖，正方形中，，直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，先由正方形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)等邊對等角得到，設(shè)，則，則可推出，，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，故選：B．2．如圖，是正方形的對角線，點(diǎn)E是延長線上的點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊對等角，先由正方形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．3．如圖，、分別是正方形的邊、上一點(diǎn)，且，求．

【答案】【分析】延長使得，證明可得，進(jìn)而求證可得，再求出即可解題．【詳解】解：延長使得，連接，在和中，，∴，，，又，，在和中，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具體的是關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．題型八正方形折疊問題1．如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，將沿對折至，延長交于點(diǎn)，則的長是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題主要考查勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，利用勾股定理得出，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：如圖，連接，在正方形中，，，將沿對折至，，，，，，，，設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，，在中，由勾股定理，得，，解得，．故選：B．2．如圖，在正方形的邊上取一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)恰好與對角線上的點(diǎn)重合，連接，若，則的面積是．【答案】/【分析】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．由折疊可得，，且，可得，即可求對角線的長，則可求面積．【詳解】解：如圖，連接交于，為正方形，，，，，．沿翻折，，，，，，，，，，．．故答案為：．3．如圖，在中，，于，將沿折疊為，將沿折疊為，延長和相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為正方形；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了正方形的判定及性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理：（1）由折疊的性質(zhì)可得到的條件是：①，②，且；由②可判定四邊形是矩形，由可證得四邊形是正方形；（2）設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得：（即正方形的邊長為x），，；進(jìn)而可用x表示出的長，即可在中，由勾股定理求得的長，進(jìn)而可求出的長；熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，；由折疊可知，，，，，；；四邊形是正方形．（2）四邊形是正方形，，又，，，設(shè)的長為，則，．在中，由勾股定理得：，即，解得，，．題型九中點(diǎn)四邊形1．在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，、分別是對角線，的中點(diǎn)，依次連接，，、得到的四邊形一定是()A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定定理；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，．，，得出，，進(jìn)而根據(jù)一組對邊平行且相等，證明四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】解：四邊形中，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，，．，．，，四邊形是平行四邊形．故選：A．2．在四邊形中，，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形的形狀是．【答案】正方形【分析】由三角形中位線的性質(zhì)，可判斷，，可得四邊形是菱形，四邊形的對角線，滿足，且，四邊形是正方形．本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，中位線的定理，解題中需要理清思路，屬于中檔題．【詳解】解：如圖所示：在中，，分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理，，．∵，∴，∴四邊形是菱形，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，在中，，分別是，的中點(diǎn)，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是正方形．故答案為：正方形3．已知：如圖四邊形四條邊上的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接、、、，得到四邊形，四邊形的形狀是什么？并證明結(jié)論．【答案】平行四邊形，證明見解析【分析】連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形．【詳解】解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形病正確的運(yùn)用中位線定理，難度不大．題型十特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題1．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，或D．當(dāng)時(shí)，或【答案】D【分析】對于選項(xiàng)A、B，分別計(jì)算當(dāng)與時(shí)相應(yīng)線段的長度結(jié)合平行四邊形的判定方法判斷即可；對于C、D選項(xiàng)，作，垂足分別為E、F，如圖，證明，得出，進(jìn)而得出關(guān)于t的方程，解方程判定即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，cm，，∴，∴四邊形不為矩形，故選項(xiàng)A結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，cm，∴，∴四邊形不為平行四邊形，故選項(xiàng)B結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，作，垂足分別為E、F，如圖，∵，∴，∴四邊形，都是矩形，∴，，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，∵，∴，解得：或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤、選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、善于動(dòng)中取靜是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在四邊形中，，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．秒時(shí)四邊形是平行四邊形？

【答案】3【分析】由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，而四邊形是平行四邊形，所以，則得方程求解．【詳解】解：設(shè)秒后，四邊形是平行四邊形，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，秒時(shí)四邊形是平行四邊形．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是由，得到．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)終點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)______，點(diǎn)坐標(biāo)______．(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了矩形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)、的坐標(biāo)求出、、，再根據(jù)路程速度時(shí)間求出、，然后求出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，然后列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)，；故答案為：；；（2）解：根據(jù)題意：，，則，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，，解得：，時(shí)，四邊形是矩形．題型十一四邊形綜合1．如圖，在四邊形中，對角線，且，則該四邊形的面積是（

）A．30 B．54 C． D．60【答案】B【分析】設(shè)兩對角線的交點(diǎn)為E，由即可完成．【詳解】設(shè)兩對角線的交點(diǎn)為E∵=54故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形面積的和，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．一般地，如果四邊形的兩條對角線相互垂直，則四邊形的面積與菱形面積計(jì)算一樣，等于兩對角線乘積的一半．2．一張矩形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作…若在第次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為階奇異矩形，如圖1，矩形中，若，，則稱矩形為2階奇異矩形．已知矩形的一邊長為20，另一邊長為（），且它是3階奇異矩形，則的值為．【答案】5【分析】先根據(jù)題意分析出階奇異矩形邊長滿足的一般規(guī)律，然后即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意分析可知，階奇異矩形中較長邊為b，較短邊為a，，因此，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題是四邊形相關(guān)題目，主要考查了矩形性質(zhì)、正方形性質(zhì)、尋找規(guī)律的應(yīng)用等知識(shí)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．已知，在矩形中，，，四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別在矩形邊，，上，．(1)如圖，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的面積；(2)如圖，當(dāng)四邊形為菱形，設(shè)，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，的面積能否等于？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)作于，證明，，由此即可求解；（2）過點(diǎn)作延長線于，連接，證明，，由此即可求解；（3）假設(shè)，則，分別求出，比較大小即可求解．【詳解】（1）解：∵如圖所示，過點(diǎn)作于，∴在正方形中，，，∴，∵，∴，又∵，，同理可證：，∴，∴，則．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作延長線于，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（3）解：面積不能等于，理由如下：若，則，∴，此時(shí)在中，，在中，，∴，即點(diǎn)已經(jīng)不在邊上，故不能有．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形，正方形，菱形的性質(zhì)，及三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合，掌握幾何圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)，添加下列條件不能判定是菱形的只有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)．菱形的判定方法即可一一判斷．【詳解】解：A、正確．對角線垂直的平行四邊形是菱形．B、正確．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．C、錯(cuò)誤．對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形．D、正確．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以平行四邊形是菱形．故選：C．2．在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．由菱形的性質(zhì)得，而，即可根據(jù)“”證明，得，則，由，，得，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：D．3．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，，分別交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形是矩形B．若垂直平分，則四邊形是矩形C．若，則四邊形是菱形D．若平分，則四邊形是菱形【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的判定；熟記菱形和矩形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的判定和菱形的判定進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形．A、若，則四邊形不一定是矩形；故錯(cuò)誤，不符合題意；B、若垂直平分，則四邊形是菱形，不一定是矩形；故錯(cuò)誤，不符合題意；C、若，則四邊形不一定是菱形；故錯(cuò)誤，不符合題意；D、若平分，則．∵，∴，∴，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故正確，符合題意．故選：D．4．如圖，在正方形中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)E、F分別在邊上，，若平分．則E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）

A．5 B． C． D．6【答案】B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)和正方形的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理解得的值，進(jìn)而確定得值；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，，由全等三角形的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，，然后根據(jù)勾股定理得到方程，解得的值，得，即可確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形為正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，，∵，∴在中，，∴，∵，，平分，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴∴，設(shè)，則，，∴，在中，由勾股定理得，∴解得，∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．5．如圖，矩形的邊、分別在x軸、y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，坐標(biāo)與圖形，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，連接交x軸于點(diǎn)，則最小值為，此時(shí)點(diǎn)P位于處，利用矩形的性質(zhì)得到，則，再求出直線的解析式為，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，連接交x軸于點(diǎn)，∴，∵，∴最小值為，此時(shí)點(diǎn)P位于處，∵四邊形是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，即當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選：A．6．如圖，矩形中，，，折疊長方形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，則的長為．【答案】3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出，，求出，在中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．其中根據(jù)已知設(shè)出未知數(shù)，用代數(shù)法解決幾何問題是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，由翻折的性質(zhì)可知．設(shè)，則．在中，由勾股定理可得，∴，在中，，∴，解得，∴．故答案為：3．7．如圖，在Rt中，，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，連接，證明四邊形為矩形，得到，根據(jù)垂線段最短，得到時(shí)，最小，即最小，等積法求出的長即可．【詳解】解：連接，∵，，，∴，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，，∴四邊形為矩形，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最小，此時(shí)，即：，∴；∴的最小值為；故答案為：．8．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)在對角線上且，若，，則．

【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即，連接，求出，證明，得到即可．【詳解】解：將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，∴，，∴，，在和中，∴，∴，故答案為：．9．如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，、分別是、的中點(diǎn)，若，，則的長為．

【答案】5【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用勾股定理求出的長，再利用直角三角形斜邊上的中線可得，最后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：連接，，

四邊形是矩形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，故答案為：510．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是射線上一點(diǎn)，且，連接，將沿翻折至，使D恰好落在上，則．【答案】8或2【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長線時(shí)，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到根據(jù)折疊的性質(zhì)得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，連接,∵四邊形是矩形,，∵點(diǎn)是的中點(diǎn),，∵將沿翻折至，使恰好落在上，，，∴，，在與中,，，，，，，，(負(fù)值舍去)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線時(shí)，連接,∵四邊形是矩形,，∵點(diǎn)是的中點(diǎn),，∵將沿翻折至，使恰好落在上，，，，，在與中,，，，，，，解得(負(fù)值舍去)，綜上所述，或,故答案為:或.11．已知：如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)，，．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)已知矩形的面積為20，求四邊形的面積．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)10【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)，，得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)矩形性質(zhì)得，由此可得出四邊形的形狀；（2）由（1）可知四邊形為菱形，則，根據(jù)四邊形為矩形得，然后由得，據(jù)此可得四邊形的面積．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴平行四邊形為菱形；（2）∵四邊形為菱形，∴，∴，∵四邊形為矩形，面積為20，∴，∵，∴，∴．12．已知：如圖，平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，的延長線交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)矩形，證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得出，，因?yàn)椋?，，即．?）因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以，所以四邊形是矩形．【詳解】?）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）四邊形的形狀是矩形．∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．13．如圖，四邊形是矩形．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作一個(gè)菱形，其中F在直線上，E在直線上；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求所作菱形的面積．【答案】(1)見解析；(2)菱形的面積為15．【分析】（1）作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，連接，即可．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得．由矩形的性質(zhì)可得，，．設(shè)，則．在中，由勾股定理建立等式求解，再結(jié)合菱形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（1）如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，連接，，則四邊形即為所求．（2）解：四邊形為菱形，．四邊形是矩形，，，．設(shè)，則．在中，由勾股定理得，，即，解得，，菱形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線作圖、垂直平分線性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．14．實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)的面積是【分析】（1）由折疊性質(zhì)得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定得到四邊形是菱形，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)角為直角條件得四邊形為正方形；（2）連接，證明，得，從而有，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面積．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，

∵四邊形是矩形，∴，，由折疊知，，，∴，，在和中，∴，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，，，解得，即，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線．15．如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將矩形沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的對角線上時(shí)，求線段的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的邊的延長線上時(shí)，連接，取的中點(diǎn)M，求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形的對角線的延長線上時(shí)，求的面積．【答案】(1)1(2)見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋轉(zhuǎn)可知：，即可求出線段的長；（2）利用證明，得出，，由得出，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得證；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，由矩形旋轉(zhuǎn)可知：，根據(jù)，利用三角形面積公式求出，由勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，在中，，由矩形旋轉(zhuǎn)可知：，，則線段的長為1；（2）證明：連接，，旋轉(zhuǎn)，，，，，，，又，即，M是中點(diǎn)，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，由矩形旋轉(zhuǎn)可知：，，，，，在中，，，，，則的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線交于點(diǎn)G，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由與折疊的性質(zhì)得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形紙片沿折疊，∴∠DEF=∠GEF，又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64?，∵是△EFG的外角，∴=∠GEF+∠EFG=128?故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵在于折疊得出角相等，再由平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由三角形外角的性質(zhì)求解．2．（2021·江蘇宿遷·中考真題）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接BM，利用折疊的性質(zhì)證明四邊形BMDN為菱形，設(shè)DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形計(jì)算面積的兩種方法，建立等式求MN．【詳解】解：如圖，連接BM，由折疊可知，MN垂直平分BD，又AB∥CD，∴BON≌DOM，∴ON＝OM，∴四邊形BMDN為菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形），設(shè)DN＝NB＝x，則AN＝8﹣x，在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，根據(jù)菱形計(jì)算面積的公式，得BN×AD＝×MN×BD，即5×4＝×MN×，解得MN＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，勾股定理，菱形的面積公式的運(yùn)用，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)線段相等．3．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．【詳解】解：連接、

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．∴，則，依題意，，∴，則，∴∴，∴，∵，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理求兩點(diǎn)坐標(biāo)距離，矩形的性質(zhì)，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性質(zhì)得到即可解答．【詳解】解：作軸，軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝．【答案】/【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．7．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】不會(huì)【分析】設(shè)扭動(dòng)后對角線的交點(diǎn)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動(dòng)后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．【詳解】解：設(shè)扭動(dòng)后對角線的交點(diǎn)為，如下圖：，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動(dòng)后的四邊形四邊相等為菱形，cm，為等邊三角形，cm，cm，cm，根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)：(cm)，，不會(huì)斷裂，故答案為：不會(huì)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．8．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝．【答案】1【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得AG=EG，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長為8，∴∠B=∠C=