/期末必刷題02熱考題與壓軸題（24題型76題）題型一幾何圖形的角度計算問題題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用題型六利用平移的性質(zhì)求解題型七與平行線有關(guān)的折疊問題題型八平行線與三角板綜合題型九與平行線有關(guān)的動點(diǎn)問題題型十二元一次方程組的特殊解法題型十一已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型十二二元一次方程組的應(yīng)用題型十三解三元一次方程組及應(yīng)用題型十四整式/分式的化簡求值題型十五整式的乘除與幾何圖形中的應(yīng)用題型十六配方法的應(yīng)用題型十七選用合適的方法分解因式題型十八因式分解的應(yīng)用題型十九特殊方法分解因式題型二十分式加減的實際應(yīng)用題型二十一根據(jù)分式方程解的情況求解題型二十二與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題題型二十三從統(tǒng)計圖中獲取信息題型二十四統(tǒng)計圖綜合題型一幾何圖形的角度計算問題1．“蒼南1號”是我國第一個平價海上風(fēng)電項目，服務(wù)于國家“雙碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)濟(jì)效益．如圖1所示，風(fēng)電機(jī)的塔架垂直于海平面，葉片，，可繞著軸心旋轉(zhuǎn)，且．(1)如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)．(2)葉片從圖3位置（與重合）開始繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后與互補(bǔ)，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是多少度？【答案】(1)(2)旋轉(zhuǎn)的最小角度是【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角定義的應(yīng)用，角的計算，認(rèn)識圖形，正確進(jìn)行角的計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)垂直的定義，結(jié)合圖形，得到的度數(shù)；（2）根據(jù)題意，設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是，由與互為補(bǔ)角，求出的值，得到結(jié)果．【詳解】（1）解：因為，又因為，所以．因為，所以，所以，所以．（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是，則，，因為與互補(bǔ)，所以，即，解得，所以旋轉(zhuǎn)的最小角度是．2．如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，，平分．(1)若，求和的度數(shù)．(2)若恰好平分，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了角平分線的定義、幾何圖中角度的計算，熟練掌握角平分線的定義是解此題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)垂直的概念得到，根據(jù)角的和差關(guān)系和平角的概念求出的度數(shù)；然后結(jié)合角平分線的概念求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）；，平分（2）平分平分．3．如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，射線，，在直線的上方，射線在直線的下方，且平分，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用垂線和角平分線的性質(zhì)即可解答；（2）設(shè)，則，得出，結(jié)合平分，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合圖形可知，列方程，解方程即可解答．【詳解】（1）平分，，，又，，，∴，；（2）設(shè)，則，∴，∴，平分，，，∴，∵，∴，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想，簡化問題是解題的關(guān)鍵．題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解4．如圖，已知于點(diǎn)A，．(1)試說明．（填空）已知，得，所以______，又已知，根據(jù)______，得，根據(jù)______，得，根據(jù)______，得．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)互余關(guān)系，平行線的判定和性質(zhì)，作答即可；（2）根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：已知，得，所以，又已知，根據(jù)同角的余角相等，得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得；故答案為：，同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∵，∴，∴，由（1）知：，∴．5．如圖，在三角形中，是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)平行，見解析(2)度【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，等量代換得出，根據(jù)平行線的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由（1）可得，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下；已知，兩直線平行，同位角相等，已知，等量代換，同位角相等，兩直線平行；（2）已知，，由（1）得，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知，．

(1)試問與相等嗎？請說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)相等，理由見解析(2)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合即可得出內(nèi)錯角相等，進(jìn)而得出；（2）由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)題意求出的度數(shù)即可解答．【詳解】（1）解：與相等，理由如下：∵，，，同角的補(bǔ)角相等，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等，（2）解：∵，，，，，即，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題關(guān)鍵．題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)7．如圖，點(diǎn)在的延長線上，連接，作的角平分線分別交線段，于點(diǎn)，點(diǎn)，已知，．

(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵∴，（2）解：∵，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，，，分別是，上的點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．

(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義可得；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，再由角平分線的定義求出，則．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴．（2）解：∵平分，，∴，∵，∴，．∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知，．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，連接，若點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，且滿足，并且平分，求的度數(shù)；（用含m的代數(shù)式表示）(3)如圖③，在（2）的條件下，將線段沿著射線的方向向右平移，當(dāng)時，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，即可證明；（2）先由平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知條件可證明；（3）證明，再由，可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系10．已知：如圖，直線，點(diǎn)A，B分別是a，b上的點(diǎn)，是a，b之間的一條折線，且，Q是a，b之間且在折線左側(cè)的一點(diǎn)．(1)若，，則______度；(2)若的一邊與平行，另一邊與平行，請?zhí)骄浚?，間滿足的數(shù)量關(guān)系并說明理由：(3)若的一邊與垂直，另一邊與平行，請直接寫出，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或，理由見解析(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，過P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）如圖2，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到，從而有，由根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（3）由垂直的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，過P作，∴，∴∵，∴，∴；（2）如圖2，∵，∴，∴，∵由（1）知，，∴∴；即或；（3）解：如圖3，∵，∴，∵，∴，∵由（1）知，，∴，∴．11．【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”．如圖1，已知點(diǎn)A是外一點(diǎn)，連接，．求的度數(shù)．解：過點(diǎn)A作，∴_____，______，又∵．∴______．【問題解決】（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過程．【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．【方法運(yùn)用】（2）如圖2，已知，、交于點(diǎn)E，，求的度數(shù)．（3）如圖3，若，點(diǎn)P在，外部，請直接寫出，，之間的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3），理由見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；（1）過點(diǎn)A作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平角定義可得，然后利用等量代換可得，即可解答；（2）過點(diǎn)E作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，再利用平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答；（3）過點(diǎn)P作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，再利用平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作，∴，，又∵，∴，故答案為：；；；（2）過點(diǎn)E作，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3），理由：過點(diǎn)P作，∴，∵，∴，∴，∵，∴．12．如圖，已知，分別探索下列四個圖形中與，的關(guān)系．

(1)如圖①，_______；如圖②，_______；如圖③，______；如圖④，______．(2)得到圖②結(jié)論的過程如下：（補(bǔ)足理由）過P點(diǎn)作，又∵，∴（同平行于第三條直線的兩直線平行）∵，∴_______，________（

）∵（圖形性質(zhì)）∴_______（等量代換）(3)仿照（2），在圖③、④中，選一個寫出得到結(jié)論的過程（給出理由）．【答案】(1)，，，(2)，，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，(3)選④，結(jié)論的過程（理由）見解析【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練的利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；（1）過的作的平行線，再利用平行線的性質(zhì)逐一分析即可；（2）過P點(diǎn)作，如圖②；再利用內(nèi)錯角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論；（3）如圖④，過點(diǎn)P作，再利用內(nèi)錯角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論；【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)P作．∴，∵，∴，∴，∴∴；∴圖①結(jié)論：，過P點(diǎn)作，又∵，如圖②；∴（同平行于第三條直線的兩直線平行）∵，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵（圖形性質(zhì)）∴（等量代換）圖②結(jié)論：，如圖③，過點(diǎn)P作，∴，∵，．∴，∴，∴，即．∴圖③結(jié)論為：；如圖④，過點(diǎn)P作，∴，∵，．∴，∴，∴，即．圖④結(jié)論：（2）過P點(diǎn)作，又∵，如圖②；∴（同平行于第三條直線的兩直線平行）∵，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵（圖形性質(zhì)）∴（等量代換）（3）如圖④，過點(diǎn)P作，∴，∵，．∴，∴，∴，即．13．如圖，，點(diǎn)、分別在直線，上，為直線和之間的一個動點(diǎn)，且滿足．(1)如圖1，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)如圖2，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，，分別平分和，點(diǎn)在左側(cè)，點(diǎn)在右側(cè)．①若，求的度數(shù)．②猜想規(guī)律：與的數(shù)量關(guān)系可表示為．③如圖4，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，……依此類推，則與的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)(2)(3)①；②；③【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系以及角平分線的有關(guān)計算，掌握相關(guān)結(jié)論，學(xué)會舉一反三是解題關(guān)鍵．（1）作，根據(jù)、即可求解；（2）作，根據(jù)、即可求解；（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論即可求解；【詳解】（1）解：作，如圖所示：∵，∴，∴、∴、故答案為：（2）解：作，如圖所示：∵，∴，∴、∴即：故答案為：（3）解：作，，如圖所示：∵，∴，若，由（1）可得：∴∵，分別平分和，∴由（2）可得：即：∴由（1）可得：∴∵，分別平分和，∴由（2）可得：即：∴故答案為：由②得：∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴…依此類推：，，….,∴故答案為：題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用14．如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】過點(diǎn)作，因為，所以，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出，，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，，，，，．，．．．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計算．15．在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學(xué)習(xí)活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)【問題初探】如圖1，，，求證：．(2)【拓展探究】在（1）的條件下，試問與之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)【遷移應(yīng)用】①路燈維護(hù)工程車的工作示意圖如圖2，工作籃底部與支撐平臺平行，已知，則；②一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角，頂部支架與燈桿所成銳角，求與所成銳角的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)①；②與所成銳角的度數(shù)為【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，平行線的應(yīng)用，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理可得，結(jié)合可得，即可證明；（2）過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；（3）①參照（2）中方法，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解；②過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：，證明：過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，∵，∴，∴，，∵，∴；（3）解：①如圖，作，則，，，，故答案為：；②過點(diǎn)E作，由題意可知：，，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即：與所成銳角的度數(shù)為．16．（1）如圖1，在A、B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東，如果A、B兩地同時開工，直接寫出為多少度時，才能使公路準(zhǔn)確接通？（2）如圖2，經(jīng)測量，B處在A處的南偏西的方向，C處在A處的南偏東的方向，C處在B處的北偏東的方向，求的度數(shù)．

【答案】（1）為時，才能使公路準(zhǔn)確接通；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可求出答案；（2）利用方向角以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）如圖1，，，，答：當(dāng)時，才能使公路準(zhǔn)確接通；（2）如圖2，由題意得，，，，，，，，即：．

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，平行線的性質(zhì)，理解方向角的意義，掌握平行線的性質(zhì)是正確解答的前提．17．【數(shù)學(xué)抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角為多少度？【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換、平角的概念即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的概念及等量代換即可求得答案．【詳解】（1）證明：由題可知，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；（2），由題可知，，，∵，∴，又∵，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平角的概念，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．題型六利用平移的性質(zhì)求解18．如圖1，在中，，的周長為，邊在直線上，將沿著直線平移得到，（，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，），(1)如圖1，連接，若平移距離為，則陰影部分的周長為；(2)如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)在整個運(yùn)動中，當(dāng)時，則的度數(shù)為．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)平移可得，，進(jìn)而可得根據(jù)陰影部分周長等于的周長，即可求解；（2）根據(jù)平移可得，，根據(jù)垂線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出，由，即可求解；（3）根據(jù)，設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)得出，進(jìn)而列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，∵的周長為，∴∴陰影部分的周長為故答案為：．（2）解：∵，∴，依題意，，∴，（3）解：∵，設(shè)，則如圖，連接，∵，∴∴解得：即故答案為：．19．（1）觀察計算：如圖1，在的網(wǎng)格中，將線段向右平移，得到線段，連接，，①線段平移的距離是______，②四邊形的面積為______；（2）動手操作：如圖2，在的網(wǎng)格中，將折線向右平移3個單位長度，得到折線．①面出平移后的折線；②連接，，多邊形的面積為______；[說明：在正方形網(wǎng)格中，1個格長為1個單位長度]（3）類比探索：如圖3，在一塊長為米，寬為米的長方形草坪上，修建一條寬為米的小路（小路寬度處處相同），請直接寫出小路的面積．【答案】（1）①3；②6；（2）①見解析；②6；（3）【分析】本題考查作圖－平移變換，解趣的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題（1）①利用平移變換的性質(zhì)判斷即可；②利用平行四邊形的面積公式求解；（2）①根據(jù)要求畫出圖形；②利用分割法求解；（3）利用平行四邊形的面積公式求解；【詳解】解：（1）①線段AB平移的距離是3；②四邊形的面積為．故答案為：3，6；（2）①折線即為所求；②多邊形的面積為．故答案為：6；（3）小路的面積為．20．在圖①中，將線段向右平移1個單位得到線段，從而得到封閉圖形（即陰影部分）：在圖②中，將折線向右平移1個單位得到折線，從而得到封閉圖形（即陰影部分）．(1)圖①，圖②圖形中，除去陰影部分后，將剩余部分拼在一起就是如圖③的圖形，若剩余部分的面積分別是（圖①，圖②長方形的長均為個單位，寬均為個單位），則___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；(2)如圖④，一塊長方形場地由一條彎曲的小路和草地組成．這條彎曲的小路（即陰影部分）任何地方的水平寬度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的圖形可拼在一起形成一個正方形，若這個正方形的面積是，則原長方形場地的長為___________，寬為___________？(3)如圖⑤，一塊長方形場地由兩條彎曲的小路（陰影部分）和草地組成．豎直方向小路任何地方的水平寬度都是，水平方向小路任何地方的豎直寬度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的圖形拼在一起形成一個長方形，且這個長方形的長是寬的2倍，面積是．計劃用不超過5100元的總費(fèi)用將兩條小路改鋪成鵝卵石路面，若每平方米路面的鋪設(shè)費(fèi)用（人工費(fèi)材料費(fèi)）約為200元，請問總預(yù)算5100元夠嗎？并說明理由．【答案】(1)；；(2)長：，寬(3)總預(yù)算5100元不夠；理由見解析【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握平移的性質(zhì)．（1）根據(jù)長方形面積公式進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為，根據(jù)正方形的面積是列出方程，求出x的值即可；（3）設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為，長為，根據(jù)這個長方形的面積為，列出方程，解方程得出y的值，然后求出兩條小路的總面積，再求出需要的費(fèi)用，即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；；∴，故答案為：；；；（2）解：設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為，則：，（負(fù)值舍負(fù)），長方形場地的長，長方形場地的寬．（3）解：設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為，長為，則，（負(fù)值舍去），長方形場地的寬，長方形場地的長，則兩條小路的總面積為：，將兩條小路改鋪成鵝卵石路面的總費(fèi)用元，∵，∴∴∴答：總預(yù)算5100元不夠．題型七與平行線有關(guān)的折疊問題21．如圖1是一張長方形紙片，將該紙片沿折疊得到圖2．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，則的度數(shù)為_______（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求出的度數(shù)，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可得到答案；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求出的度數(shù)，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1，

，，，如圖2，

，，，，；（2）解：如圖1，

，，，如圖2，

，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．22．如圖1，將一條對邊互相平行的紙條進(jìn)行兩次折疊，第一次折疊的折痕為，且，第二次折疊的折痕為．(1)如圖2，若，則______．(2)如圖3，若，則______．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求解即可；（2）由平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）如圖3，由折疊的性質(zhì)，可得，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)，可得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．23．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)落在邊的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)不成立，數(shù)量關(guān)系應(yīng)為：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平行線的性質(zhì)，算出，再結(jié)合折疊、四邊形內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)計算即可；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，，，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，，（四邊形內(nèi)角和為），故答案為：（2）解：如下圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)

則，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應(yīng)角相等）（3）解：如下圖，過點(diǎn)作，則，

，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應(yīng)角相等），即【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八平行線與三角板綜合24．如圖①所示的是一副三角尺，，，，．(1)將兩個三角尺按如圖②所示的方式擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在直角邊上，斜邊與斜邊相交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(2)如圖③，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線上，使，三角尺的頂點(diǎn)在直線上，直角邊與斜邊相交于點(diǎn)，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)直線，三角板和三角板按照圖④所示放置，直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，并且在直線上，直角頂點(diǎn)在直線上，，直角邊與重合．若將三角板繞點(diǎn)以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊與三角板的一條邊平行時，求出所有滿足條件的的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)所有滿足條件的的值為或或或或或．【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)，也是易錯點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作，則，進(jìn)而得，，由此可得的度數(shù)；（2）過點(diǎn)作，則，進(jìn)而得，，再根據(jù)可得出答案；（3）分情況討論，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)列式計算即可得出所有滿足條件的的值．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，如圖2所示，依題意得：，，，，，，又，，，；（2）解：，理由如下：過點(diǎn)作，如圖3所示，，，，，，且，；（3）解：設(shè)邊旋轉(zhuǎn)的角度為，則邊旋轉(zhuǎn)的角度為，下面分類討論：如圖⑤，，則，所以，解得；如圖⑥，，則，所以，解得；如圖⑦，，則，所以，解得；如圖⑧，，則，因為，所以，解得；如圖⑨，，則，因為，所以，解得；如圖⑩，，則，所以，解得，綜上，所有滿足條件的的值為或或或或或．25．綜合與探究：將一副三角板中的兩個直角頂點(diǎn)疊放在一起，其中，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證；(3)若按住三角板不動，三角板繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動一周，當(dāng)時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】本題考查了平行線的判定，角度的和差計算，熟練掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)，即可得到的度數(shù)，即可求解；（2）依據(jù)，即可得到的度數(shù)，即可得證；（3）依據(jù)平行線的判定，分兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）證明：，；（3）解：分兩種情況：如圖所示，當(dāng)時，，所以，如圖所示，當(dāng)時，，所以，綜上所述，的度數(shù)等于或時，．26．在數(shù)學(xué)活動課，同學(xué)們用一副直角三角板（分別記為三角形和三角形，其中，，，且）開展數(shù)學(xué)活動．操作發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，將三角形沿方向移動，得到三角形，，如果，，那么______；(2)將這副三角板如圖2擺放，并過點(diǎn)作直線平行于邊所在的直線，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的度數(shù)為____________度（直接寫出結(jié)果）；(3)在（2）的條件下，如圖3，固定三角形，將三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時，請判斷直線和直線是否垂直，并說明理由．【答案】(1)3(2)15(3)垂直，理由見解析【分析】本題考查的是平移的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．（1）由平移的性質(zhì)可得答案；（2）過A作直線，交于G，而，則，可得，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）分兩種情況討論，由平行線的判定與性質(zhì)的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：由平移的性質(zhì)得，，∴，∴．∵，∴．故答案為：3；（2）解：過A作直線，交于G，而，∴，，同理，；故答案為：15；（3）解：垂直，理由如下如圖，延長交于H，交于N，延長交于M，交直線a于G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴直線a，∵，∴直線b；如圖所示，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)到如下位置，延長交于點(diǎn)H∵，∴，∴，．題型九與平行線有關(guān)的動點(diǎn)問題27．如圖，射線，連接，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．(1)當(dāng)時，求證：；(2)用含的式子表示為________（直接寫出答案）；(3)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動時，與之間的數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請寫出它們關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義；理解角平分線的定義，能靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再結(jié)合角平分線的定義，可得，即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再結(jié)合角平分線的定義，可得，即可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合角平分線的定義，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，∴，（3）解：與之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：∵，∴，，∵平分，∴，∴．28．如圖，，定點(diǎn)，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點(diǎn)，滿足．(1)試問，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)是平行線，之間有一動點(diǎn)，因此需要對點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為______________________，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為______________________．(2)如圖3，，分別平分和，且點(diǎn)在左側(cè)．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)；此次類推，則與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求解即可；（2）①根據(jù)角平分線的定義設(shè)，，再結(jié)合（1）所得數(shù)量關(guān)系求解即可；②同①可得，，，……從而推出，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時，過點(diǎn)作，，，，，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，，，，，，；（2）解：①，分別平分和，設(shè)，，，，由（1）可知，，，，，，，；②與的角平分線交于點(diǎn)，，，，同理可得，，，……則，，，，．29．已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)為一動點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)在與之間時，點(diǎn)在上，連接、、，若，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，平分交于點(diǎn)K，，平分，且有．①當(dāng)，時，求的度數(shù)；②當(dāng)平分，，交于點(diǎn)時，若，求的值．(3)如圖3，當(dāng)H在上方，交于點(diǎn)，的角平分線的反向延長線和的角平分線相交于點(diǎn)，的角平分線和的角平分線相交于點(diǎn)，依此類推，請論證與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含n的式子表示）【答案】(1)見解析(2)①；②(3)【分析】（1）直接根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；（2）①過點(diǎn)作，可得，由，可設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出方程，求解即可；②如圖，過點(diǎn)作．可設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得方程組，求解即可．（3）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作．設(shè)，，同理可知，，進(jìn)而可得，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）①如圖，過點(diǎn)作，∴．由題意可知：，故可設(shè)，則．∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，∴，由（1）可知，，∴，∴，解得：，∴，．∵，∴，∴．②如圖，過點(diǎn)作．由題意可設(shè)，則．∵，平分，∴，．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，，∴．∵，∴．∴，即．由（1）可知，∴，∴，即，解得：，∴．（3）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作．設(shè)，，同理（2）可得：，，∴，∵的角平分線的反向延長線和的角平分線相交于點(diǎn)，∴，，由（2）得，∴.∵的角平分線和的角平分線相交于點(diǎn)。同理可得：∴，∴，∴題型十二元一次方程組的特殊解法30．情境

珍珍在學(xué)習(xí)解二元一次方程組時遇到了這樣一個問題，解方程組：嘗試

（1）若用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元法，可以解決問題，具體如下.請將下面解題過程補(bǔ)充完整．解：設(shè)，，則原方程組可化為______，解關(guān)于，的方程組，得，所以解這個方程組，得______；應(yīng)用

（2）利用上述方法解方程組【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，掌握整體換元法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，∴，解方程組，得，故答案為：，；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，∴，解方程組，得．31．閱讀下列一段材料，運(yùn)用相關(guān)知識解決問題．換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復(fù)雜問題簡單化．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．例如解方程組，設(shè)m，n，則原方程組可化為，解化簡之后的方程組得，即，所以原方程組的解為．運(yùn)用以上知識解決下列問題：(1)求方程組的解．(2)關(guān)于x，y二元一次方程組的解為，則方程組的解為．(3)舉一反三：方程組的解為．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查給新信息的閱讀材料題目，關(guān)鍵在于運(yùn)用題目所給定義解決問題，本題所給信息是換元法，適當(dāng)換元可使得運(yùn)算簡便．（1）設(shè)，，將原方程組可化為，解二元一次方程求得，從而可求得原方程組的解；（2）由已知得，求解即可得答案；（3）利用換元思想設(shè)，，然后解方程組即可得到未知數(shù)的值．【詳解】（1）解：（1）設(shè)m，n，則原方程組可化為，解得，，即，解得，；（2）解：根據(jù)題意得，解得，；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，解得，，∴，解得，．題型十一已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)32．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題：已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足③，求的值．

(1)按照小云的方法，的值為_________，的值為_________；(2)請按照小輝的思路求出的值．【答案】(1)5；(2)【分析】（1）將①③聯(lián)立得到，得，，解得，把代入①求得即可；（2）得，則，得到，即可得到，求出的值即可．【詳解】（1）解：將①③聯(lián)立得到得，，解得，把代入①得，，解得，∴，故答案為：5；（2），得，即,∴，∵，

∴，解得．即的值為1．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．33．若方程組的解滿足，求的值．【答案】【分析】根據(jù)加減消元法求得的值，根據(jù)方程組的解滿足，進(jìn)而得出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：，②①得：，將代入①得：，解得：，∴，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．34．如果關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，求m的值．【答案】5【分析】根據(jù)方程組的解互為相反數(shù)得出，利用代入消元法分別用m表示出x、y的值，再代入另一個方程求解m即可．【詳解】解：∵的解互為相反數(shù)，

∴③，將③代入①得，將代入③得，將，代入②中得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是用參數(shù)分別表示出未知數(shù)．35．若方程組和方程組有相同的解．(1)求方程組正確的解．(2)求a，b的值．【答案】(1)(2)a的值是，b的值是【分析】本題考查了二元一次方程組的解，能使方程組中每個方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解，解題的關(guān)鍵是要知道兩個方程組之間解得關(guān)系．（1）由題意得，解方程組即可解答．（2）首先聯(lián)立兩個方程組不含a、b的兩個方程求得方程組的解，然后代入兩個方程組含a、b的兩個方程從而得到一共關(guān)于a、b的方程組求解即可．【詳解】（1）∵方程組和方程組有相同的解，∴，①+②得，解得，將代入①得，∴方程組的解為．（2）∵方程組和方程組有相同的解，∴可得新方程組，解得：，把，代入，得，解得．故a的值是，b的值是．題型十二二元一次方程組的應(yīng)用36．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車4S店計劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售．據(jù)了解，購進(jìn)2輛型新能源汽車、3輛型新能源汽車共需85萬元；購進(jìn)3輛型新能源汽車、2輛型新能源汽車共需90萬元．(1)問、兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用180萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），請你設(shè)計出符合要求的購買方案．(3)銷售1輛型汽車可獲利1.8萬元，銷售1輛型汽車可獲利1.2萬元．假如這些新能源汽車全部售出，在（2）中的購買方案中，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)、兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為20萬元，15萬元(2)共有兩種購買方案：方案一：購進(jìn)3輛型號的新能源汽車，購進(jìn)8輛型號的新能源汽車；方案二：購進(jìn)6輛型號的新能源汽車，購進(jìn)4輛型號的新能源汽車(3)第二種方案獲得的利潤最大，為15.6萬元【分析】本題主要考查二元一次方程（組）的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列出方程（組）求解是關(guān)鍵．（1）設(shè)、兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為萬元和萬元，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)輛型號的新能源汽車，購進(jìn)輛型號的新能源汽車，由數(shù)量關(guān)系列二元一次方程，根據(jù)二元一次方程的解的方法代入求值即可；（3）根據(jù)題意，分別算出方案一、二的利潤即可．【詳解】（1）解：設(shè)、兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為萬元和萬元，根據(jù)題意可列方程組為，解得，∴、兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為20萬元，15萬元．（2）解：設(shè)購進(jìn)輛型號的新能源汽車，購進(jìn)輛型號的新能源汽車，根據(jù)題意得：，且，均為正整數(shù)，或，共有兩種購買方案：方案一：購進(jìn)3輛型號的新能源汽車，購進(jìn)8輛型號的新能源汽車；方案二：購進(jìn)6輛型號的新能源汽車，購進(jìn)4輛型號的新能源汽車．（3）解：方案一：獲得的利潤為：（萬元），方案二：獲得的利潤為：（萬元），∴第二種方案獲得的利潤最大，為15.6萬元．37．初春是甲型流感病毒的高發(fā)期．為做好防控措施，某校欲購置規(guī)格為的甲品牌消毒液和規(guī)格為的乙品牌消毒液若干瓶．已知購買1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；購買3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元．(1)求甲、乙兩種品牌消毒液每瓶的價格．(2)若該校需要購買甲、乙兩種品牌消毒液總共，則需要購買甲、乙兩種品牌消毒液各多少瓶（兩種消毒液都需要購買）？請求出所有的購買方案．(3)若該校采購甲、乙兩種品牌消毒液共花費(fèi)5000元，該校在校師生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，則這批消毒液可使用多少天？【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的價格為10元，乙品牌消毒液每瓶的價格為25元(2)見解析(3)10天【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)每瓶甲品牌消毒液的價格為x元，每瓶乙品牌消毒液的價格為y元，根據(jù)“購買1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；購買3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)需要購買甲消毒液a瓶，購買乙消毒液b瓶，根據(jù)該校需要購買甲、乙兩種品牌消毒液總共，可列出關(guān)于a、b的二元一次方程，再根據(jù)a、b均為正整數(shù)，即可得出購買方案；（3）設(shè)購買甲消毒液m瓶，購買乙消毒液n瓶，設(shè)使用t天，根據(jù)“校采購甲、乙兩種品牌消毒液共花費(fèi)5000元，該校在校師生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出對應(yīng)的方程，求出t的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲品牌消毒液每瓶的價格為x元，乙品牌消毒液每瓶的價格為y元，根據(jù)題意得：，解得，答：甲品牌消毒液每瓶的價格為10元，乙品牌消毒液每瓶的價格為25元；（2）解：設(shè)需要購買甲消毒液a瓶，購買乙消毒液b瓶，根據(jù)題意得：，整理得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，共有三種方案：方案一：購買15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；方案二：購買10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案三：購買5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；（3）解：設(shè)購買甲消毒液m瓶，購買乙消毒液n瓶，設(shè)使用t天，則，由①得③，把③代入②得：，解得，答：這批消毒液可使用10天．38．某校七年級為了表彰“數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平測試”中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)，準(zhǔn)備用480元錢購進(jìn)筆記本作為獎品．若種筆記本買20本，本筆記本買30本，則錢還缺40元；若種筆記本買30本，種筆記本買20本，則錢恰好用完．(1)求，兩種筆記本的單價；(2)由于實際需要，需要增加購買單價為6元的種筆記本若干本．若購買，，三種筆記本共75本（每種筆記本都有購買），錢恰好全部用完，求種筆記本購買了多少本．【答案】(1)種筆記本的單價為元，種筆記本的單價為2元(2)A種筆記本購買了本或本或本或本．【分析】本題考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種筆記本的單價為元，種筆記本的單價為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)購買種筆記本本，種筆記本本，則購買種筆記本本，根據(jù)題意列出二元一次方程，根據(jù)整數(shù)解求得的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)種筆記本的單價為元，種筆記本的單價為元，依題意，得：，解得：，答：種筆記本的單價為元，種筆記本的單價為元．（2）解：設(shè)購買種筆記本本，種筆記本本，則購買種筆記本本，依題意，得：，∴，則，∵，均為正整數(shù)，∴，或，或，或，，答：A種筆記本購買了本或本或本或本．39．某廣告公司要利用長為240cm、寬為40cm的板裁切甲、乙兩種廣告牌，已知甲廣告牌尺寸為，乙廣告牌尺寸為．(1)若該廣告公司用1塊板裁切出的甲廣告牌的數(shù)量是乙廣告牌的數(shù)量的3倍，在不造成板材浪費(fèi)的前提下，求此時裁切出的甲、乙廣告牌的數(shù)量；(2)求1塊板的所有無浪費(fèi)裁切方案；(3)現(xiàn)需要甲、乙兩種廣告牌各500塊，該公司倉庫已有488塊乙廣告牌，還需要購買該型號板材多少塊（恰好全部用完）？寫出購買數(shù)量，并說明如何裁切．【答案】(1)裁切甲廣告牌9塊，乙廣告牌3塊(2)有三種裁切方案：方案1：甲廣告牌16塊，乙廣告牌0塊；方案2：甲廣告牌9塊，乙廣告牌3塊；方案3：甲廣告牌2塊，乙廣告牌6塊(3)需要購買該型號板材33張；裁切辦法：用其中29張板材裁切甲廣告牌464張，用4張板材裁切甲廣告牌36張和乙廣告牌12塊；或者用其中31張板材裁切甲廣告牌496塊，用2張板材裁切甲廣告牌4塊和乙廣告牌12塊【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出二元一次方程和二元一次方程組．（1）根據(jù)“甲乙廣告牌的尺寸”和“用1塊板裁切出的甲廣告牌的數(shù)量是乙廣告牌的數(shù)量的3倍”，建立等量關(guān)系，列出二元一次方程求解即可；（2）設(shè)一張該板裁切甲廣告牌m塊，乙廣告牌n塊，可得，求出非負(fù)整數(shù)解即可；（3）根據(jù)題意，需裁切甲廣告牌500塊，乙廣告牌塊，且板材恰好全部用完，可分三種情況討論，①單獨(dú)采用方案3，直接列示求解即可得購買板材數(shù)量；②采用方案1和2相結(jié)合，設(shè)用x張板材裁切，每張裁切甲廣告牌16塊，用y張板材裁切，每張裁切甲廣告牌9塊和乙廣告牌3塊，可得二元一次方程組，解方程組可得答案；③采用方案1和3相結(jié)合，設(shè)用x張板材裁切，每張甲廣告牌16塊，用y張板材裁切，每張裁切甲廣告牌2塊和乙廣告牌6塊，同樣的方法求解即可．最后對比即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)裁切甲廣告牌x塊，乙廣告牌y塊，依題意得：解得答：裁切甲廣告牌9塊，乙廣告牌3塊．（2）解：設(shè)該板材裁切甲廣告牌m塊，乙廣告牌n塊，根據(jù)題意得：可得，∵，為非負(fù)整數(shù)，∴或或答：有以下三種裁切方案：方案1：甲廣告牌16塊，乙廣告牌0塊；方案2：甲廣告牌9塊，乙廣告牌3塊；方案3：甲廣告牌2塊，乙廣告牌6塊．（3）解：①采用方案3，根據(jù)題意，得：（張）（張）（張）需要購買該型號板材252張，用其中250張板材裁切甲廣告牌500塊，用2張板材裁切乙廣告牌12塊．②采用方案1和2相結(jié)合，設(shè)用x張板材裁切，每張裁切甲廣告牌16塊，用y張板材裁切，每張裁切甲廣告牌9塊和乙廣告牌3塊，根據(jù)題意，得：解得：（張）（張）（張）（張）需要購買該型號板材33張，用其中29張板材裁切甲廣告牌464張，用4張板材裁切甲廣告牌36張，乙廣告牌12塊．③采用方案1和3相結(jié)合，設(shè)用x張板材裁切，每張甲廣告牌16塊，用y張板材裁切，每張裁切甲廣告牌2塊和乙廣告牌6塊根據(jù)題意,得：解得：（張）（張）（張）（張）需要購買該型號板材33張，用其中31張板材裁切甲廣告牌496塊，用2張板材裁切甲廣告牌4塊和乙廣告牌12塊．綜上，采用②③兩種情況購買，需要購買該型號板材33張；裁切辦法：用其中29張板材裁切甲廣告牌464張，用4張板材裁切甲廣告牌36張和乙廣告牌12塊；或者用其中31張板材裁切甲廣告牌496塊，用2張板材裁切甲廣告牌4塊和乙廣告牌12塊．題型十三解三元一次方程組及應(yīng)用40．解方程組：【答案】【分析】本題考查的是三元一次方程組的解法，先消去未知數(shù)z，得到關(guān)于x、y的方程組，再進(jìn)一步解答，即可得答案．【詳解】解：，①②得：④，①③得：⑤，⑤④得：，解得：，把代入⑤得：，把，代入③得：，∴方程組的解為：．41．某次智力競賽共有3題：第一題30分，第二題30分，第三題40分．每題只有兩種情況：答對得滿分，答錯得0分．結(jié)束后統(tǒng)計如下：（1）答對3題的有4人，答對2題的有17人，3題全錯的有5人；（2）答對第一題與答對第二題的人數(shù)之和是44，答對第二題與答對第三題的人數(shù)之和是36，答對第一題與答對第三題的人數(shù)之和是40．求這次智力競賽的平均成績．【答案】49分【分析】考查三元一次方程組的應(yīng)用，先算出答對第1題，第2題，第3題的人數(shù)，等量關(guān)系為：答對第1題的人數(shù)答對第2題的人數(shù)；答對第2題的人數(shù)答對第3題的人數(shù)；答對第1題的人數(shù)答對第3題的人數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；進(jìn)而算出參加競賽的總?cè)藬?shù)，讓總分?jǐn)?shù)除以總?cè)藬?shù)即為競賽的平均成績．【詳解】解：設(shè)答對第1題，第2題，第3題的人數(shù)分別為，，．，解得，，．題全答對的只有4人，答對兩題的有17人，3題全錯的有5人參賽總?cè)藬?shù)為：人，平均得分為：分，答：這次競賽的平均得分為49分．題型十四整式/分式的化簡求值42．先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】本題考查單項式乘多項式法則、整式加減運(yùn)算及代數(shù)式求值；解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用法則展開式子，合并同類項化簡后再代入求值．利用單項式乘多項式法則去括號，合并同類項法則進(jìn)行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：；當(dāng)時，原式．43．先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】本題考查了整式的化簡求值，涉及平方差公式的運(yùn)用，多項式除以單項式，單項式乘以多項式．先利用平方差公式，單項式乘以多項式合并同類項將括號里的式子化簡，再根據(jù)多項式除以單項式化簡，最后代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．44．先化簡，再求值：，其中從、、中選一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再根據(jù)分式有意義的條件確定的值，最后把的值代入化簡后的結(jié)果中計算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，∵，∴且，∴，∴原式．45．先化簡，再求值∶，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則先對分式進(jìn)行化簡，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的值，最后代入化簡后的結(jié)果中計算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，∵，∴，，∴，，∴原式．題型十五整式的乘除與幾何圖形中的應(yīng)用46．如圖1，在長方形中放入邊長分別為和的兩張正方形紙片，，陰影部分面積分別記為．(1)如圖2，當(dāng)長方形為正方形時，，①___________，___________，___________（用含，，的式子分別表示）；②若，試證明：；(2)如圖3，若，且，試探究長方形的周長和正方形的周長之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①

②見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查代數(shù)式和等式的基本性質(zhì)：（1）①根據(jù)，，，即可求得答案；②根據(jù)題意可得，化簡即可求得答案；（2）設(shè)，，可得，化簡可得，進(jìn)而可求得答案．【詳解】（1）①．．．故答案為：

②．．根據(jù)題意，得（2），理由如下：設(shè)，，則，．根據(jù)題意，得化簡，得因為，可得根據(jù)題意，得，，，則，則47．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1)，然后將剩余部分拼成一個長方形(如圖2)．(1)上述操作能驗證的等式是(請選擇正確的一個)A．B．C．(2)應(yīng)用你從(1)選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：．【答案】(1)B(2)①3；②【分析】本題考查平方差公式的幾何背景．（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；（2）①根據(jù)平方差公式將化為，再整體代入計算即可；②利用平方差公式將原式變形即可求解．【詳解】（1）解：圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，所以，故答案為：B；（2）解：①∵，∴，又∵，∴，答：的值為3；②原式．48．圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計算：若m、n為實數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中，各個部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)行應(yīng)用即可；（3）設(shè)，，得出，，根據(jù)完全平方公式計算出的值即可．【詳解】（1）解：由圖形面積得，故答案為：；（2）由（1）題所得，∴，∴當(dāng)，時，，∴或-2；（3）解：設(shè)，，則，，又由，得，∴圖中陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中面積之間的關(guān)系是解決問題的前提．題型十六配方法的應(yīng)用49．閱讀材料：在求多項式的最小值時，小明的解法如下：，因為，所以，即的最小值為4．請仿照以上解法，解決以下問題：(1)求多項式的最小值；(2)猜想多項式有最大值還是最小值，并求出這個最值．【答案】(1)(2)多項式有最大值，最大值為11，理由見解析【分析】（1）仿照閱讀材料，把原式化為完全平方式與一個數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答；（2）利用完全平方式把原式進(jìn)行變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值為；（2）解：多項式有最大值，最大值為11，理由如下：，∵，∴，∴，∴多項式有最大值，最大值為11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式的應(yīng)用，正確理解題意把給的多項式變形成一個完全平方式與一個數(shù)的和或差的形式是解題的關(guān)鍵．50．在學(xué)習(xí)了乘法公式“”的應(yīng)用后，李老師提出問題：求代數(shù)式的最大值.同學(xué)們經(jīng)過探索、合作交流，最后得到如下的解法：解：∵，∴當(dāng)時，的值最大，最大值為3∴的最大值是3．請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最大值.(2)求代數(shù)式的最大值．(3)若，求的最大值．【答案】(1)的最大值為11(2)的最大值為5(3)的最大值為11【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；（3）由，可得，再將等式右邊利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】（1），，．的最大值是11．（2），，．的最大值是5．（3），，，．的最大值是11．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．題型十七選用合適的方法分解因式51．利用分解因式簡便運(yùn)算：．【答案】4【分析】本題考查因式分解中的完全平方公式法，掌握公式是解題的關(guān)鍵．利用完全平方公式，進(jìn)行因式分解即可解答．【詳解】解：．52．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵：（1）綜合提公因式和公式法進(jìn)行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．53．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．題型十八因式分解的應(yīng)用54．（1）已知是三角形的三邊長，且滿足，求三角形的最長邊c的取值范圍；（2）已知是三角形的三邊長，且滿足，求三角形的周長．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，（1）將原式整理成完全平方公式和的形式，求出a，b，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出答案；（2）將原式整理成完全平方公式和的形式，求出a，b，c，可得答案．【詳解】解：（1）因為，所以，即，所以．因為是三角形的三邊長，所以，即．因為c是三角形的最長邊，所以．（2）因為，所以，即，所以，所以三角形的周長．55．某串聯(lián)電路中電流（單位：）、電阻、、（單位：）、時間（單位：）與熱量（單位：）有下列關(guān)系：，如圖，當(dāng)，，，，時，求電流流經(jīng)電阻所產(chǎn)生的熱量．【答案】108J【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，先將公式因式分解，然后將已知數(shù)據(jù)代入求值，即可求解．【詳解】解：由題意得，答：電流流經(jīng)電阻所產(chǎn)生的熱量為56．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，因式分解的應(yīng)用，熟知完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式可得，據(jù)此計算求解即可；（2）根據(jù)代值計算即可；（3）根據(jù)代值計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，∴，∴．57．求證：對于任意整數(shù)，多項式的值都能被16整除．【答案】見解析【分析】本題主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，據(jù)此可證明結(jié)論．【詳解】證明：，多項式的值都能被16整除．58．在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：如何將代數(shù)式進(jìn)行因式分解呢？小季同學(xué)經(jīng)過思考后作如下解答：小戴同學(xué)在仔細(xì)研讀上述解答過程后，獲得如下結(jié)論：，在代數(shù)式中，，即無論取何值，都大于等于0，所以，則有最小值為．(1)請仿照小季的解答過程，將代數(shù)式分解因式；(2)求代數(shù)式的最大值．【答案】(1)(2)18【分析】題目主要考查新定義，理解新定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中方法進(jìn)行配方法，分解因式即可；（2）根據(jù)題中的方法進(jìn)行因式分解，然后即可求解．【詳解】（1）解：；（2）因為無論m取何值時，都小于等于0，所以，則有最大值為18．題型十九特殊方法分解因式59．閱讀：換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具．下面是對多項式進(jìn)行因式分解的解題思路：將“”看成一個整體，設(shè)，則：原式再將“”還原為“”即可．解題過程如下：解：設(shè)，則：原式問題：(1)以上解答過程因式分解的結(jié)果是否徹底？如果沒有徹底，請寫出完整的解答過程；(2)請你模仿以上方法，將多項式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)不徹底；見解析(2)【分析】本題考查公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵．（1）最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；（2）根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式即可．【詳解】（1）解：分解不徹底；分解過程如下：設(shè)則：原式；（2）解：設(shè)，則．60．閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數(shù)項：，．②交叉相乘，驗中項：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查分解因式—十字相乘法，（1）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（2）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；掌握十字相乘法分解因式的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①豎分二次項與常數(shù)項：，，②交叉相乘，驗中項：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?；?）①豎分二次項與常數(shù)項：，．②交叉相乘，驗中項：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?1．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．同學(xué)們經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式．解法二：原式．小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的，這種方法可以稱為分組分解法（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）．請你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解．(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)因式分解：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了因式分解，用提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）先分組，再用提公因式法因式分解即可；（2）先分組，再用公式法和提公因式法因式分解即可；（3）先分組，再用公式法和提公因式法因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．題型二十分式加減的實際應(yīng)用62．小明在探究并聯(lián)電阻的總電阻時，發(fā)現(xiàn)：總電阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻，的倒數(shù)和，即．(1)請用含R和的式子表示及．(2)若，均為正整數(shù)，探究，分別取多少Ω時，總電阻R恰好為？【答案】(1)(2)①，；②，；③，【分析】本題考查了分式的加減，分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．（1）先移項再通分得，再取倒數(shù)即可；（2）先將代入，再化簡得，再根據(jù)，均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，均為正整數(shù)，∴①當(dāng)時，則，；②當(dāng)時，則，；③當(dāng)時，則，．63．從甲地到乙地有兩條路，每條路的長度都是，其中第一條路是平路，第二條有的上坡路、的下坡路．小強(qiáng)在上坡路上的騎車速度為，在平路上的騎車速度為，在下坡路上的騎車速度為．(1)當(dāng)小強(qiáng)走第二條路時，他從甲地到乙地需要多少時間？(2)他走哪條路花費(fèi)時間少？少用多少時間？【答案】(1)(2)走第一條路花費(fèi)時間少，少【分析】本題考查了速度，路程，時間之間的關(guān)系，異分母分式的加減運(yùn)算的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握速度，路程，時間之間的關(guān)系．（1）分別表示出上坡路的時間和下坡路的時間，然后相加即可；（2）表示出走第一條路所用時間，然后作差求解即可．【詳解】（1）解：走第二條路所用時間：；（2）解：走第一條路所用時間：∴∴走第一條路花費(fèi)時間少，少．64．【閱讀理解】“作差法”是解決某些數(shù)學(xué)問題常用的方法之一：比較代數(shù)式的大小，作差，若，則；若，則；若，則．【方法應(yīng)用】（1）若，試比較與的大小；【解決問題】（2）嘉嘉和琪琪兩次購物均買了同一種商品，嘉嘉兩次都買了該商品，琪琪兩次購買該商品均花費(fèi)n元．已知第一次購買該商品的價格為，第二次購買該商品的價格為（均是整數(shù)，且）．請用作差法比較嘉嘉和琪琪兩次所購買商品的平均價格的高低．【答案】（1）；（2）嘉嘉兩次所購買商品的平均價格高于琪琪兩次所購買商品的平均價格【分析】本題考查分式減法的實際應(yīng)用：（1）作差法比較大小即可；（2）求出兩人購買商品的平均價格，作差法比較大小即可．【詳解】解：（1）；∵，∴，∴，∴；（2）由題意，嘉嘉兩次所購買商品的平均價格為：（元），琪琪兩次購買該商品的平均價格為：（元），∵，，∴，，∴，∴，∴嘉嘉兩次所購買商品的平均價格高于琪琪兩次所購買商品的平均價格題型二十一根據(jù)分式方程解的情況求解65．已知，關(guān)于的方程：．(1)若方程無解，求的取值；(2)若方程的解為整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】(1)或或(2)或【分析】本題考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)分式方程的解法得出，分當(dāng)時方程有增根，當(dāng)時原分式方程無解，從而求解；（）由，得，然后根據(jù)方程的解為整數(shù)得出，，最后求解并檢驗即可．【詳解】（1）解：去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，當(dāng)時，得，解得；當(dāng)時，得，解得，∴若方程有增根，的取值為或；∵，∴當(dāng)時原分式方程無解，∴，∵當(dāng)或時方程有增根，∴若方程無解，的取值為或或；（2）解：∵，∴，∵方程的解為整數(shù)，∴，，當(dāng)時，（舍去）；當(dāng)時，（舍去）；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴或．66．關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)為何值時，分式方程有增根；(2)當(dāng)為何值時，分式方程無解．【答案】(1)或(2)或或【分析】本題考查解分式方程、分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)分式方程的增根的定義解決此題．(2)根據(jù)分式方程的解的定義解決此題．【詳解】（1）解：，去分母，得)．去括號，得．移項，得．合并同類項，得(．∵分式方程有增根，∴∴或．（2）解：由()得，．∵分式方程無解，∴無解或該分式方程有增根．∴或或．67．已知關(guān)于的分式方程．(1)若表示的數(shù)是2，解這個分式方程；(2)查詢發(fā)現(xiàn)正確答案為“原分式方程無解”，請你求出原分式方程中代表的數(shù)是多少．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解分式方程，分式方程無解問題，熟練掌握解分式方程的步驟，正確的計算，是解題的關(guān)鍵：（1）去分母，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗即可；（2）去分母，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分整式方程無解和分式方程有增根兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，方程化為：，去分母，得：，解得：；經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴方程的解為．（2），去分母，得：，整理，得：，∵分式方程無解，∴方程有增根，∴，∴，∴，∴．題型二十二與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題68．閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可以化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如．解決下列問題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)先化簡，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．【答案】(1)真分式(2)(3)化簡得；當(dāng)時，該式的值為整數(shù)．【分析】本題考查分式的化簡及分式的分離整數(shù)法，理解材料并掌握分式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)真分式的定義判斷即可；（2）根據(jù)材料給出的方法運(yùn)算即可；（3）先化簡，再將分式化為帶分式，最后再求解，注意分式有意義的條件．【詳解】（1）解：因為分式的分子次數(shù)0小于分母次數(shù)1，所以分式是真分式，故答案為：真分式；（2）解：；（3）解：，∵是整數(shù)，∴，解得：或，∵，，或3時，原分式無意義，∴，即當(dāng)時，該式的值為整數(shù)．69．已知a，b均為不等于0的實數(shù)，我們定義新運(yùn)算“※”：．例如：．(1)驗證新運(yùn)算“※”是否滿足乘法交換律？若滿足，請寫出推導(dǎo)過程；若不滿足，請舉反例說明．(2)計算：．(3)當(dāng)時，若，嘗試求出x的值．【答案】(1)滿足，推導(dǎo)過程見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了異分母分式加減法，新定義下的實數(shù)運(yùn)算，解分式方程等知識點(diǎn)，弄清題中的新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算“※”，計算出和，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)定義的新運(yùn)算“※”，直接列式計算即可得出答案；（3）根據(jù)定義的新運(yùn)算“※”，得出關(guān)于的分式方程，解之并檢驗即可．【詳解】（1）解：新運(yùn)算“※”滿足乘法交換律，理由如下：，，；（2）解：；（3）解：，當(dāng)時，，即：，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，的值為．70．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是______；（只填序號）①；

②；

③；

④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式：______；(3)判斷的結(jié)果是否為“和諧分式”，并說明理由．【答案】(1)①③(2)(3)是，理由見解析【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)和諧分式的意義逐個判斷即可得解；（2）依據(jù)題意，分子進(jìn)而變形可以得解；（3）依據(jù)題意，首先通過分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再依據(jù)和諧分式的意義判斷即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴①是和諧分式；∵分式分子的次數(shù)低于分母次數(shù)，∴該分式不等化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的性質(zhì)，∴②不是和諧分式；∵，∴③是和諧分式；∵，∴④不是和諧分式；（2）解：；（3）解：的結(jié)果是“和諧分式”．∴該分式是和諧分式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，解題時要能熟練掌握并理解．題型二十三從統(tǒng)計圖中獲取信息71．下面兩個統(tǒng)計圖反映的是某超市5月份甲、乙兩種洗衣粉的銷售情況和顧客滿意情況．

看圖回答以下問題：(1)從折線統(tǒng)計圖看出甲的最大周銷售量是_______，在第_______周達(dá)到；乙的最大周銷量是_______，在第_______周達(dá)到．(2)從折線統(tǒng)計圖看出_______的銷量在整體提升；從條形統(tǒng)計圖看出_______的滿意情況不好．(3)通過觀察兩個統(tǒng)計圖，顧客滿意度和洗衣粉的銷售量有何關(guān)系？【答案】(1)120袋，四；102袋，二(2)甲，乙(3)顧客滿意度越高，洗衣粉銷量越大【分析】（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)即可解答；（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖即可解答；（3）通過觀察兩個統(tǒng)計圖即可解答．【詳解】（1