高等代數(shù)考試題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(|A|=0\)且\(|B|=0\)D.\(A+B=0\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組中任意一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.向量組中至少有一個(gè)零向量3.\(n\)階方陣\(A\)可相似對(duì)角化的充要條件是（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值B.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)D.\(A\)是實(shí)對(duì)稱矩陣4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)有非零解5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^2+2A+E\)的一個(gè)特征值為（）A.\(\lambda^2+2\lambda+1\)B.\(\lambda^2+2\lambda\)C.\(\lambda^2+1\)D.\(2\lambda+1\)6.設(shè)\(f(x),g(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，且\((f(x),g(x))=1\)，則（）A.存在\(u(x),v(x)\inP[x]\)，使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)B.\(f(x)\)與\(g(x)\)沒有公共根C.\(f(x)g(x)\)的次數(shù)等于\(f(x)\)的次數(shù)與\(g(x)\)的次數(shù)之和D.以上都對(duì)7.設(shè)\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則（）A.\(|A|=1\)B.\(A^TA=E\)C.\(A\)的列向量組是單位正交向量組D.以上都對(duì)8.設(shè)\(V\)是數(shù)域\(P\)上的\(n\)維線性空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基，\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)是\(V\)中的\(n\)個(gè)向量，且\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A\)，則\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)是\(V\)的一組基的充要條件是（）A.\(A\)可逆B.\(|A|\neq0\)C.\(A\)的秩為\(n\)D.以上都對(duì)9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)\)為（）A.\(n\)B.\(r\)C.\(\begin{cases}n,&r=n\\1,&r=n-1\\0,&r\ltn-1\end{cases}\)D.\(0\)10.設(shè)\(f(x)=x^3+2x^2-3x+1\)，則\(f(2)\)的值為（）A.\(11\)B.\(9\)C.\(13\)D.\(15\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算的說法正確的是（）A.矩陣乘法滿足結(jié)合律B.矩陣加法滿足交換律C.對(duì)于任意\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.若\(AB=AC\)，且\(A\)可逆，則\(B=C\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，以下向量組中線性無關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.對(duì)于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量C.\(\lambda\)滿足特征方程\(|\lambdaE-A|=0\)D.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4.以下關(guān)于線性方程組的說法正確的是（）A.齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解B.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A|b)\)C.若齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含有\(zhòng)(s\)個(gè)解向量，則\(s=n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）D.非齊次線性方程組\(Ax=b\)的通解是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解加上它的一個(gè)特解5.設(shè)\(A\)和\(B\)是\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)和\(B\)有相同的特征值B.\(A\)和\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(A\)和\(B\)有相同的秩D.\(A\)和\(B\)都可相似對(duì)角化6.以下關(guān)于多項(xiàng)式的說法正確的是（）A.數(shù)域\(P\)上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式都有最大公因式B.不可約多項(xiàng)式\(p(x)\)與任意多項(xiàng)式\(f(x)\)，要么\((p(x),f(x))=1\)，要么\(p(x)\midf(x)\)C.多項(xiàng)式\(f(x)\)沒有重因式的充要條件是\((f(x),f^\prime(x))=1\)D.次數(shù)大于零的多項(xiàng)式\(f(x)\)都可以唯一分解成不可約多項(xiàng)式的乘積7.設(shè)\(V\)是數(shù)域\(P\)上的線性空間，以下說法正確的是（）A.線性空間\(V\)中零向量是唯一的B.對(duì)于\(V\)中任意向量\(\alpha\)，\(-\alpha\)是唯一的C.若\(V\)有一組基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，則\(V\)中任意向量\(\beta\)都可由這組基唯一線性表示D.線性空間\(V\)的子空間的交與和仍是\(V\)的子空間8.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對(duì)角矩陣D.\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交9.以下關(guān)于矩陣的秩的說法正確的是（）A.矩陣\(A\)的秩等于\(A\)的行向量組的秩，也等于\(A\)的列向量組的秩B.若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timess\)矩陣，則\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.對(duì)矩陣\(A\)進(jìn)行初等行變換不改變矩陣的秩D.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)10.設(shè)\(f(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，以下說法正確的是（）A.若\(f(x)\)是一次多項(xiàng)式，則\(f(x)\)不可約B.若\(f(x)\)是二次多項(xiàng)式，且在\(P\)中沒有根，則\(f(x)\)不可約C.零多項(xiàng)式與任意多項(xiàng)式都不互素D.單位多項(xiàng)式與任意多項(xiàng)式都互素三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)和\(B\)都是\(n\)階方陣，則\(|A+B|=|A|+|B|\)。（）2.向量組中若有一個(gè)向量為零向量，則該向量組線性相關(guān)。（）3.若\(n\)階方陣\(A\)的行列式\(|A|\neq0\)，則\(A\)可相似對(duì)角化。（）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(r(A)\ltn\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）。（）5.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）6.數(shù)域\(P\)上的兩個(gè)多項(xiàng)式\(f(x)\)和\(g(x)\)，若\(f(x)\midg(x)\)且\(g(x)\midf(x)\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）7.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（）8.線性空間\(V\)的任意兩個(gè)子空間的并集仍是\(V\)的子空間。（）9.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩為\(1\)。（）10.多項(xiàng)式\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的次數(shù)比\(f(x)\)的次數(shù)低\(1\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述求\(n\)階方陣\(A\)的特征值和特征向量的步驟。-答案：先求特征多項(xiàng)式\(|\lambdaE-A|\)，令其為\(0\)，解出\(\lambda\)即為特征值；對(duì)于每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解就是對(duì)應(yīng)\(\lambda_i\)的特征向量。2.說明線性空間的定義中需要滿足的八條運(yùn)算規(guī)則。-答案：加法交換律、加法結(jié)合律、存在零向量、存在負(fù)向量、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘分配律（兩種形式，對(duì)數(shù)和向量分別分配）、\(1\)與向量的數(shù)乘等于向量本身。3.簡述矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件。-答案：\(n\)階方陣\(A\)可相似對(duì)角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量。4.簡述多項(xiàng)式最大公因式的定義。-答案：設(shè)\(f(x),g(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，若\(d(x)\)滿足：\(d(x)\midf(x)\)且\(d(x)\midg(x)\)，且任意能同時(shí)整除\(f(x)\)和\(g(x)\)的多項(xiàng)式都能整除\(d(x)\)，則\(d(x)\)是\(f(x)\)與\(g(x)\)的最大公因式。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論正交矩陣在實(shí)際應(yīng)用中的意義和作用。-答案：在實(shí)際中，正交矩陣常用于保持向量長度和夾角不變的變換，如在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用于圖形的旋轉(zhuǎn)、反射等變換；在數(shù)據(jù)分析的主成分分析中，正交變換可消除數(shù)據(jù)的相關(guān)性，提取主要特征，方便數(shù)據(jù)處理和理解。2.探討線性方程組理論在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用案例。-答案：在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，可用于投入產(chǎn)出模型分析各部門間的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系；在電路分析中，用來求解電路中的電流、電壓等參數(shù)；在工程測量的平差問題中，通過建立線性方程組求解測量誤差和未知量。3.說說相似矩陣在矩陣?yán)碚撝械牡匚缓蛢r(jià)值。-答案：相似矩陣是矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容，它將矩陣按相似關(guān)系分類。相似矩陣有相同的特征值等諸多性質(zhì)，簡化了矩陣的研究。通過相似對(duì)角化可方便計(jì)算矩陣的冪、行列式等，在微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。4.談?wù)劧囗?xiàng)式理論在密碼學(xué)中的可能應(yīng)用。-答案：在密碼學(xué)中，多項(xiàng)式可用于構(gòu)造公鑰密碼體制。例