高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)第五章綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．若角，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母有理化再利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得解.【詳解】解：.故選：C2．已知函數(shù)，其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足兩條件：①區(qū)間的長(zhǎng)度超過；②的整體范圍在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)，取合適的整數(shù)求出的取值范圍.【詳解】，

∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)取其它值時(shí)不滿足，

∴的取值范圍為，故選：D3．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小正周期為B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．的值域?yàn)镈．不等式的解集為【答案】C【分析】把函數(shù)用分段函數(shù)表示，再作出的圖象，觀察圖象即可判斷選項(xiàng)A，B，C，解不等式即可判斷選項(xiàng)D而作答.【詳解】，作出的圖象，如圖，觀察圖象，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；的圖象沒有對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；的值域?yàn)?，C正確；不等式，即時(shí)，，得，解得，所以的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：C4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由最值可求得，根據(jù)最小正周期可求得，由可求得，從而得到解析式；由三角函數(shù)平移和伸縮變換原則可得.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得：；將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜茫?故選：A.5．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出m的取值范圍.【詳解】方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)?shù)茫海Y(jié)合函數(shù)的圖象可知，，解得：.故選：D6．已知函數(shù)，則以下結(jié)論：①的周期為；②的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；③的最小值為；④在上單調(diào)，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)于①，利用誘導(dǎo)公式證昨，故的周期為；對(duì)于②，研究在上的函數(shù)，利用余弦的函數(shù)性質(zhì)及誘導(dǎo)公式證得，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；對(duì)于③，分類討論與兩種情況，發(fā)現(xiàn)都不成立，故的最小值不為；對(duì)于④，直接計(jì)算發(fā)現(xiàn)，故在上不單調(diào).【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋鶕?jù)函數(shù)周期性的定義可知①正確；對(duì)于②，由得，研究1個(gè)周期上的函數(shù)圖像即可，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，，，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，若，則，此時(shí)，；同理：若，則，此時(shí)，；故最小值不能取，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，即，所以函?shù)在上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；綜上：正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B.7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋渲?，，由于函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以，故選：C.8．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意，都存在，使得，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判斷值域的包含關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)排除即可【詳解】由題，，又對(duì)任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又當(dāng)時(shí)，，即在上的值域包含.又當(dāng)時(shí)，，且有解，故區(qū)間包含，排除AB；又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故不包含不合題意排除D；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故，故此時(shí)在上的值域包含滿足條件.綜上所述滿足條件故選：C多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式逐項(xiàng)檢驗(yàn)函數(shù)是否滿足相應(yīng)的性質(zhì)，必要時(shí)可利用反例.【詳解】對(duì)于A，，故A正確.對(duì)于B，，故，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，所以.故D正確.故選：AD.10．設(shè)函數(shù)，，則下列敘述正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上的最小值為 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【分析】利用可求得，從而得到；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求法可知A正確；利用代入檢驗(yàn)法可知BD正誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法可知C正確.【詳解】，，又，，；對(duì)于A，的最小正周期，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選：ACD.11．若定義在R上的函數(shù)滿足：（?。┐嬖冢沟?；（ⅱ）存在，使得；（ⅲ）任意恒有．則下列關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．任意恒有 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù) D．函數(shù)最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，從而得到；B選項(xiàng)，令得到，再令得到，B正確；C選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，令得到，令，則，由，得到，故可得，求出函數(shù)最大值是1，最小值是-1.【詳解】令得，故，上式中，用代替得：，即，從而，故，A正確；，令得：，即，∵，不恒為0，∴，令，得，即，又的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，B正確；不妨令，滿足，故，此時(shí)存在，使得，且存在，使得；但函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；令得：，即，所以，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故函?shù)最大值是1，最小值是-1.故選：ABD12．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期是B．的值域?yàn)镃．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AB【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，的值域?yàn)椋蔅正確；的單調(diào)遞增區(qū)間是和，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；結(jié)合的圖象可知的最小正周期是，故A正確.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則______．【答案】【分析】利用三角恒等變換及兩角和差公式即可求得的值.【詳解】，即，即，則，又，則，，則，即．（寫成90°也給分）故答案為：或90°.14．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為，則其面積是______．【答案】【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由條件可知，弧長(zhǎng)，等邊三角形的邊長(zhǎng)，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對(duì)的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：15．已知，在函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則ω的值為______.【答案】【分析】先由題意，得到為使兩交點(diǎn)距離最小，只需兩交點(diǎn)在同一周期內(nèi)；作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，由勾股定理，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，為使兩交點(diǎn)距離最小，只需兩交點(diǎn)在同一周期內(nèi)；由題意，令，可得，則，所以，，即；當(dāng)，，，當(dāng)，，，如圖所示，由勾股定理得，即，即，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，確定兩交點(diǎn)在同一周期內(nèi)，結(jié)合函數(shù)圖象列出方方程，即可求解，求解此類題目，要熟記三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).16．已知函數(shù)圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離小于，且，則的最小值為___________.【答案】13【分析】先由對(duì)稱軸間的距離確定了，再利用得到，依次利用誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式求得、、的關(guān)于表達(dá)式，求出的值，進(jìn)而得到，即可得到結(jié)果.【詳解】，，因?yàn)閮蓷l相鄰對(duì)稱軸之間的距離小于，即，故，所以，因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，又，所以，解得，又，所以的最小值?3.故答案為：13.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（）部分圖象如圖所示，函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)及周期公式得，再由點(diǎn)在圖象上求得、，即可得解析式；（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式、輔助角公式得，根據(jù)自變量范圍及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，所以.由，則，，解得，，所以.由，則，所以.（2），因?yàn)?，所以，則.所以函數(shù)值域?yàn)?18．已知，.(1)當(dāng)且是第四象限角時(shí)，求的值；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.注：立方差公式【答案】(1)；(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出、的值，再結(jié)合立方差公式可求得所求代數(shù)式的值；（2）由已知可得出，，分、兩種情況討論，在時(shí)直接驗(yàn)證即可，在時(shí)，由參變量分離法可得出，結(jié)合基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?，即，則，即，所以.因?yàn)槭堑谒南笙藿牵瑒t，，所以，所以，所以.（2）解：由，可得，則方程可化為，.①當(dāng)時(shí)，，顯然方程無解；②當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于.當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，故，所以要使得關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則.故的取值范圍是.19．已知函數(shù)的最大值為．（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1);(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)取最大值,取最小值-3.【詳解】試題分析：(1)利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn)，得到的形式，在計(jì)算所求.（2）利用正弦函數(shù)的最值，求在的最值.(3)求三角函數(shù)的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.(4)求解較復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化成形式，再的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，注意先把化為正數(shù),這是容易出錯(cuò)的地方.試題解析：解：（1），（2）由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，取最大值當(dāng)時(shí)，，取最小值-3.考點(diǎn)：（1）求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.20．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在的值域；(2)若函數(shù)，且對(duì)任意的，都存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意可得，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，依題意，令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解，參變分離可得，再令，最后利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】(1)解：因?yàn)椋?/p>

因?yàn)?，?/p>

而在上單調(diào)遞增

，

所以，即

所以在的值域?yàn)?2)解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，

所以在，

，對(duì)任意的，都存在使得不等式成立，即，因?yàn)?，令，所以在上有解，即在上有?/p>

因?yàn)?，所以，令，，所以，設(shè)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，所以

綜上可得21．設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下：(1)求的對(duì)稱軸方程；(2)將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像．證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，結(jié)合圖像可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)圖像變換規(guī)律可得，然后根據(jù)三角恒等變換即得.【詳解】（1）因?yàn)?，由題可知函數(shù)的最小正周期，即，由圖像可知時(shí)，，所以，又，則，，由，可得，的對(duì)稱軸方程為；（2）∵，．22．已知函數(shù)，其圖像一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且．(1)求函數(shù)的解析式：(2)若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，求出，再由平移后的圖象特征求出并判斷作答.（2）由給定方程可得或，根據(jù)根的情況結(jié)合圖形求解作答.【詳解】(1)因函數(shù)圖像一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差