高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第三章綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，離心率為，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義可求得的值，結(jié)合橢圓的離心率公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，的周長(zhǎng)為，，又因?yàn)闄E圓的離心率為，可得，，又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，因此，橢圓的方程為.故選：D.2．已知雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得的漸近線方程，根據(jù)沒(méi)有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.3．已知為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)作圓：的切線，則切線長(zhǎng)最短為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，求出點(diǎn)到圓的圓心距離最小值即可作答.【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為，圓的圓心，半徑，因此點(diǎn)與圓心距離的最小值為，

令過(guò)點(diǎn)向圓所作切線的切點(diǎn)為，于是，，所以切線長(zhǎng)最短為.故選：A4．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，P、Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓方程整理得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)，則，可得，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，可得，即，所以C的離心率.故選：A.

5．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)出坐標(biāo)，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程，求出答案.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為.由得，.

設(shè)，則.因?yàn)?，整理得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：D.6．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，點(diǎn)到直線的距離為2，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得，，再由橢圓的定義可得，根據(jù)等面積法得點(diǎn)到的距離為，代入可求得，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)?，所以，解?又，當(dāng)時(shí)，可得，即有，由橢圓的定義可得，，則點(diǎn)到的距離為.由題意，，得，所以由，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵在于分析已知條件中所反應(yīng)的邊角間的關(guān)系，并將其關(guān)系轉(zhuǎn)化到橢圓中的中，屬于中檔題.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．若，，則到的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分析出為等邊三角形，并求出，從而可求得，即為所求.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，由拋物線的定義可知，所以，，故，所以，，則，即點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.8．已知雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率可得，根據(jù)雙曲線定義推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)A在C上，故不妨設(shè)為左、右焦點(diǎn)，由可知A在雙曲線右支上，則，故，由于雙曲線C的離心率為，則，即，在中，，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為點(diǎn)在上，且弦的中點(diǎn)到直線的距離為5，則（

）A． B．線段的長(zhǎng)為定值C．兩點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離之和為14 D．的最大值為49【答案】CD【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)拋物線的定義及性質(zhì)求線段的長(zhǎng)即可判斷選項(xiàng)B，利用拋物線定義即可判斷選項(xiàng)C，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，所以，則，A錯(cuò)誤；設(shè)，，則由弦的中點(diǎn)到直線的距離為5，可得，所以，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，由拋物線的定義可得；當(dāng)時(shí)，，所以的長(zhǎng)不是定值，B錯(cuò)誤；兩點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離之和與相等，值為14，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為49，D正確．故選：CD．10．設(shè)雙曲線，其離心率為，虛軸長(zhǎng)為，則（

）A．上任意一點(diǎn)到的距離之差的絕對(duì)值為定值B．雙曲線與雙曲線：共漸近線C．上的任意一點(diǎn)（不在軸上）與兩頂點(diǎn)所成的直線的斜率之積為D．過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，不可能是弦中點(diǎn)【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件可以求得雙曲線的方程，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】雙曲線的離心率為，虛軸長(zhǎng)為，所以，解得，所以雙曲線，所以兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由雙曲線定義知，故A正確；雙曲線的漸近線方程是，雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；上的任意一點(diǎn)（不在軸上）設(shè)為，則，即，又兩頂點(diǎn)為，所以斜率之積為，故C錯(cuò)誤；易知點(diǎn)在雙曲線的右側(cè)，此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點(diǎn)，使是弦中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為P，若過(guò)且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長(zhǎng)為4C． D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)離心率可得，進(jìn)而可得，結(jié)合斜率公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得關(guān)于直線l對(duì)稱，結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解；對(duì)于D：聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求面積即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?，解得，可知，直線的斜率為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：，且，則為等邊三角形，由題意可知：，即直線l為的角平分線，則點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，所以的周長(zhǎng)為8，則，可得，所以橢圓E的短軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€l的方程為，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，則，點(diǎn)直線l的距離為，所以四邊形的面積為，故D正確；故選：ACD.

12．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由直線，可化為，可得直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A正確；對(duì)于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．若的面積最大為12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】由題意可知當(dāng)在軸上時(shí)的面積最大，從而可求出，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】如圖，當(dāng)在軸上時(shí)的面積最大，所以，所以．又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：

14．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a＝.【答案】【分析】由拋物線定義求出，再計(jì)算出，根據(jù)直線垂直，利用斜率之積為求解.【詳解】根據(jù)拋物線的定義得，代入解得p＝8，故，代入M(1，m)，解得m＝±4，不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，則直線AM的斜率為2，由雙曲線知其漸近線由已知得－×2＝－1，解得.故答案為：15．設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與在第一象限相交于一點(diǎn)P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．【答案】【分析】設(shè)直線的傾斜角為α，可得，由P在第一象限內(nèi)，且，可得，根據(jù)余弦定理可得的齊次方程，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為α，則，由P在第一象限內(nèi)，且，則，∴，由余弦定理可得，整理得，則，解得或（舍去）.

故答案為：16．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若是正三角形，則該橢圓的離心率為．【答案】/【分析】根據(jù)是正三角形，且直線與橢圓長(zhǎng)軸垂直，得到是正三角形的高，．在△中，設(shè)，可得，所以，用勾股定理算出，得到橢圓的長(zhǎng)軸，焦距，即可求出橢圓的離心率；【詳解】

是正三角形，，直線與橢圓長(zhǎng)軸垂直，是正三角形的高，，△中，設(shè)，，，因此，橢圓的長(zhǎng)軸，焦距橢圓的離心率為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和離心率列方程求解；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由題意可得，解得故橢圓的方程為．（2）不妨設(shè)，

聯(lián)立消去，得，易得，則由韋達(dá)定理，故．18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，雙曲線與共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程：（2）已知點(diǎn)P在雙曲線上，且，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先求焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義，求雙曲線方程；（2）結(jié)合余弦定理和雙曲線的定義，求.【詳解】（1）由橢圓方程可知，，，,，，雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，并且設(shè)，，，變形為，19．已知點(diǎn)M為直線l1：x＝－1上的動(dòng)點(diǎn)，N(1，0)，過(guò)M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點(diǎn)D，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且D為線段AB的中點(diǎn)，求直線l2的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1），點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，說(shuō)明點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，求解拋物線方程即可．（2）設(shè)，，，，，，直線斜率為，顯然，由得，，求出D的坐標(biāo)，再利用與圓切于D求解即可．(1)由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．(2)設(shè)，，，，，，直線斜率為，顯然，由得，，．所以，，即，．因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)，所以；，從而且，整理可得，即．所以，故的方程為或．20．已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；（2）根據(jù)題意求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去后由韋達(dá)定理得，從而由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求出到直線距離后即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長(zhǎng)公式得，又點(diǎn)到直線的距離，所以．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程，并說(shuō)明E為何種曲線；(2)已知及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)E的方程為，曲線E是拋物線.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4列式可得結(jié)果；（2）設(shè)直線：，代入得，，再利用斜率公式和推出，從而可得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

22．已知橢圓，A為右頂點(diǎn)，為原點(diǎn)，為的中點(diǎn)．橢圓上一點(diǎn)在第一象限，已知為正三角形．橢圓上點(diǎn)在第一象限且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)射線與橢圓交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）寫出，代入橢圓方程，得到，結(jié)合，求出離心率；（