2025年高考上海卷數(shù)學(xué)真題

一、填空題

1．已知全集?={?∣2≤?≤5,?∈R}，集合?={?∣2≤?<4,?∈?}，則??=．

【答案】{?|4≤?≤5,?∈R}/[4,5]

【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的含義知?={?|4≤?≤5,?∈R}.

答案為：{?|4≤?≤5,?∈R}.

??1

2．不等式<0的解集為．

??3

【答案】(1,3)

【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(??1)(??3)<0，解出即可.

【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為(??1)(??3)<0，解得1<?<3，

則其解集為(1,3).

答案為：(1,3).

3．己知等差數(shù)列{??}的首項(xiàng)?1=?3，公差?=2，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為．

【答案】12

6×5

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，?=6?+?=12.

612

答案為：12

4．在二項(xiàng)式(2??1)5的展開(kāi)式中，?3的系數(shù)為．

【答案】80

?5??5?????5??5??

【詳解】由通項(xiàng)公式??+1=C5?2???(?1)=C5?(?1)?2?，

令5??=3，得?=2，

3225?2

可得?項(xiàng)的系數(shù)為C5?(?1)?2=80.

答案為：80.

ππ

5．函數(shù)?=cos?在[?,]上的值域?yàn)椋?/p>

24

【答案】[0,1]

ππ

【詳解】由函數(shù)?=cos?在[?,0]上單調(diào)遞增，在[0,]單調(diào)遞減，

24

ππ2

且?(?)=0,?(0)=1,?()=√，

242

ππ

故函數(shù)?=cos?在[?,]上的值域?yàn)閇0,1].

24

答案為：[0,1].

567

6．已知隨機(jī)變量X的分布為()，則期望?[?]=．

0.20.30.5

【答案】6.3

【詳解】由題設(shè)有?[?]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.

答案為：6.3.

7．如圖，在正四棱柱??????1?1?1?1中，??=4√2,??1=9，則該正四棱柱的體積為．

【答案】112

【詳解】因?yàn)??=4√2且四邊形????為正方形，故??=4，

22

而??1=9，故??1+??=81，故??1=7，

故所求體積為7×16=112，

答案為：112.

11

8．設(shè)?,?>0,?+=1，則?+的最小值為．

??

【答案】4

111

【分析】靈活利用“1”將?+=(?+)(?+)展開(kāi)利用基本不等式計(jì)算即可.

???

11111

【詳解】易知?+=(?+)(?+)=??++2≥2√???+2=4，

???????

1

當(dāng)且僅當(dāng)??=1，即?=,?=2時(shí)取得最小值.

2

答案為：4

9．4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有

種．

【答案】288

24

【詳解】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有P4=12種排法；再排對(duì)中的四人有P4=24種排法，

故有12×24=288種排法.

答案為：288

10．已知復(fù)數(shù)z滿足?2=(??)2,|?|≤1，則|??2?3i|的最小值是．

【答案】2√2

【分析】先設(shè)?=?+?i，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及概念確定??=0，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)?=?+?i(?,?∈R),∴??=???i，

由題意可知?2=?2+2??i??2=??2=?2?2??i??2，則??=0，

又|?|=√?2+?2≤1，由復(fù)數(shù)的幾何意義知?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)?(?,?)在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，

如圖所示即線段??,??上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)?(2,3)，則|??2?3i|=|??|，由圖象可知|??|=√10>|??|=2√2，

所以|??|min=2√2.

答案為：2√2

11．小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長(zhǎng)為1米的垂直于水平面放

置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B，它們?cè)陉?yáng)光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽(yáng)光可視為平行光：其中一根桿子的

影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長(zhǎng)度為0.45米．則斜面的底角?=．（結(jié)

果用角度制表示，精確到0．01°）

【答案】12.58°

【分析】先根據(jù)在?處的旗桿算出陽(yáng)光和水平面的夾角，然后結(jié)合?處的旗桿算出斜面角.

1

【詳解】如圖，在?處，tan?==2.5，在?處滿足tan∠???=2.5，

0.4

（其中??//水平面，??是射過(guò)?處桿子最高點(diǎn)的光線，光線交斜面于?），

1+?

故設(shè)??=?，則??=，

2.5

1+?2

由勾股定理，?2+()=0.452，解得?≈0.098，

2.5

0.098

于是?=arcsin≈12.58°

0.45

答案為：12.58°

1,?>0

12．已知?(?)={0,?=0，??、???、??是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若?(??????)+?(??????)+?(?????)=0，則|??+

?1,?<0

???+??|可的取值范圍是．

【答案】(1,√5)

【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得{?(??????),?(??????),?(?????)}={?1,0,1}，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出??,???,??坐標(biāo)，

利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.

【詳解】若?(??????)=?(??????)=?(?????)=0，則??????=??????=?????=0，

又三個(gè)向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量??,???,??兩兩垂直，顯然不成立；

故{?(??????),?(??????),?(?????)}={?1,0,1}.

?(??????)=1

不妨設(shè){?(??????)=0，則??????>0,??????=0,?????<0，

?(?????)=?1

不妨設(shè)???=(1,0),??=(0,1)，??=(cos?,sin?),?∈[0,2π)，

??3

則{????=cos?>0，則?∈(π,2π)，

?????=sin?<02

則|??+???+??|=|(1+cos?,1+sin?)|=√(1+cos?)2+(1+sin?)2=√3+2cos?+2sin?

π

=√3+2√2sin(?+)，

4

3π79

由?∈(π,2π)，?+∈(π,π)，

2444

π√2√2π

則sin(?+)∈(?,)，2√2sin(?+)∈(?2,2)

4224

故|??+???+??|∈(1,√5).

答案為：(1,√5).

二、單選題

11

13．己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為?(?)=，事件B發(fā)生的概率為?(?)=，則事件?∩?發(fā)生的

22

概率?(?∩?)為（）

111

A．B．C．D．0

842

【答案】B

111

【詳解】因?yàn)?,?相互獨(dú)立，故?(?∩?)=?(?)?(?)=×=，

224

故選B.

14．設(shè)?>0,?∈?．下列各項(xiàng)中，能推出??>?的一項(xiàng)是（）

A．?>1，且?>0B．?>1，且?<0

C．0<?<1，且?>0D．0<?<1，且?<0

【答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論?與1的關(guān)系即可判定選項(xiàng).

【詳解】∵?>0,??>?，∴???1>1=?0，

當(dāng)?∈(0,1)時(shí)，?=??定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

此時(shí)若??1<0，則一定有???1>1=?0成立，故D正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)?∈(1,+∞)時(shí)，?=??定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增，要滿足???1>1=?0，需?>1，即A、B錯(cuò)誤.

故選D

15．已知?(0,1),?(1,2)，C在Γ:?2??2=1(?≥1,?≥0)上，則△???的面積（）

A．有最大值，但沒(méi)有最小值B．沒(méi)有最大值，但有最小值

C．既有最大值，也有最小值D．既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值

【答案】A

【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為(?,?)，得出?=√?2+1，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于?的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.

【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為(?,?)，則?2??2=1，則?=√?2+1，

2?1

?==1，??方程為：??1=?，即???+1=0，

??1?0

|???+1||√?2+1??+1|√?2+1??+1

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，(?,?)到??的距離為：==，

√2√2√2

1

設(shè)?(?)=√?2+1??=，

√?2+1+?

由于?≥0，顯然?(?)關(guān)于?單調(diào)遞減，?(?)max=?(0)，無(wú)最小值，

即△???中，??邊上的高有最大值，無(wú)最小值，

又??一定，故面積有最大值，無(wú)最小值.

故選A

?

16．已知數(shù)列{??}、{??}、{??}的通項(xiàng)公式分別為??=10??9，??=2、，??=???+(1??)??.若對(duì)任意的?∈[0,1]，

??、??、??的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)?有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．1個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】B

【分析】由??=???+(1??)??可知??范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得??,??,??的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解不等

式可得.

【詳解】由題意??,??,??>0，不妨設(shè)?(?,??),?(?,??),?(?,??)，

三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由??=???+(1??)??可知，????????=?????????,?∈[0,1]，

故點(diǎn)?恒在線段??上，則有min{??,??}≤??≤max{??,??}<??+??.

即對(duì)任意的?∈[0,1]，??<??+??恒成立，

令10??9=2?，構(gòu)造函數(shù)?(?)=2??10?+9,?>0，

則?′(?)=2?ln2?10，由?′(?)單調(diào)遞增，

′′′

又?(3)<0,?(4)>0，存在?0∈(3,4)，使?(?0)=0，

′

即當(dāng)0<?<?0時(shí)，?(?)<0，?(?)單調(diào)遞減；

′

當(dāng)?>?0時(shí)，?(?)>0，?(?)單調(diào)遞增；

故?(?)至多2個(gè)零點(diǎn)，

又由?(1)>0,?(2)<0,?(5)<0,?(6)>0，

可知?(?)存在2個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)?1,?2(?1<?2)，且?1∈(1,2),?2∈(5,6).

?

①若??≤??，即10??9≤2時(shí)，此時(shí)?=1或?≥6.

則??≤??≤??，可知??+??>??成立，

要使??、??、??的值均能構(gòu)成三角形，

所以??+??>??恒成立，故??<2??，

10??9≤2?

所以有{，解得?=6；

2?<2(10??9)

?

②若??≥??，即10??9≥2時(shí)，此時(shí)?=2,3,4,5.

則??≥??≥??，可知??+??>??成立，

要使??、??、??的值均能構(gòu)成三角形，

所以??+??>??恒成立，故??<2??，

10??9≥2?

所以有{，解得?=4或5；

10??9<2?+1

綜上可知，正整數(shù)?的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選B.

三、解答題

17．2024年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子4×100米混合泳接力

項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

(2)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；

(3)若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為?=?0.311?+??，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)（精

確到0.01秒）．

【答案】(1)10.15；210.015；

3

(2)

10

(3)204.56

【分析】

（1）由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；

（2）由古典概型概率公式可得；

（3）先求成績(jī)平均數(shù)?，再由(??,??)在回歸直線上，代入方程可得??，再代入年份預(yù)測(cè)可得.

【詳解】

（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為216.93，最小值為206.78，

則極差為216.93?206.78=10.15；

數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為209.35與210.78，

209.35+210.68

則中位數(shù)為=210.015.

2

故極差為10.15，中位數(shù)為210.015；

（2）由題意，數(shù)據(jù)共10個(gè)，211以上數(shù)據(jù)共有4個(gè)，

故設(shè)事件?=“恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上”，

21

C4?C63

則?(?)=3=，

C1010

3

故恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率為；

10

（3）由題意，成績(jī)的平均數(shù)

206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211.399，

由直線?=?0.311?+??過(guò)(2006,211.399)，

則??=211.399+0.311×2006=835.265，

故回歸直線方程為?=?0.311?+835.265.

當(dāng)?=2028時(shí),?=?0.311×2028+835.265=204.557≈204.56.

故預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)?04.56秒.

18．如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且??=2．

π

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；

3

π

(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，??∥??．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直

3

線??∥平面PBD．

【答案】

(1)2π

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.

（2）證明平面???//平面???，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.

π

【詳解】（1）由題知，∠???=，即軸截面△???是等邊三角形，故??=??=2，

3

1

底面周長(zhǎng)為2π×1=2π，則側(cè)面積為：×2×2π=2π;

2

（2）由題知??=??,??=??，則根據(jù)中位線性質(zhì)，??∥??，

又???平面???，???平面???，則??//平面???

πππ

由于???=，底面圓半徑是1，則∠???=，又??∥??，則∠???=，

333

又??=??，則△???為等邊三角形，則??=1，

于是??∥??且??=??，則四邊形????是平行四邊形，故??∥??，

又???平面???，???平面???，故??//平面???.

又??∩??=?,??,???平面???，

根據(jù)面面平行的判定，于是平面???//平面???，

又?∈??，則???平面???，則??//平面???

19．已知?(?)=?2?(?+2)?+?ln?,?∈?．

(1)若?(1)=0，求不等式?(?)≤?2?1的解集；

(2)若函數(shù)?=?(?)滿足在(0,+∞)上存在極大值，求m的取值范圍；

【答案】

(1)[1,+∞)

(2)?>0且?≠2.

【分析】

（1）先求出?，從而原不等式即為?+ln?>1，構(gòu)建新函數(shù)?(?)=?+ln?,?>0，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式

的解；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就?≤0,0<?<2,?=2,?>2分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】（

1）因?yàn)?(1)=0，故1???2+0=0，故?=?1，故?(?)=?2???ln?，

故?(?)≤?2?1即為?+ln?≥1，

1

設(shè)?(?)=?+ln?,?>0，則?′(?)=1+>0，故?(?)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

?

而?+ln?≥1即為?(?)≥?(1)，故?≥1，

故原不等式的解為[1,+∞).

（2）?(?)在(0,+∞)有極大值即為有極大值點(diǎn).

?2?2?(?+2)?+?(2???)(??1)

?′(?)=2??(?+2)+==，

???

若?≤0，則?∈(0,1)時(shí)，?′(?)<0，?∈(1,+∞)時(shí)，?′(?)>0，

故?=1為?(?)的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，故舍；

??

若0<<1即0<?<2，則?∈(,1)時(shí)，?′(?)<0，

22

?

?∈(0,)∪(1,+∞)時(shí)，?′(?)>0，

2

?

故?=為?(?)的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；

2

若?=2，則?∈(0,+∞)時(shí)，?′(?)≥0，?(?)無(wú)極值點(diǎn)，舍；

??

若>1即?>2，則?∈(1,)時(shí)，?′(?)<0，

22

?

?∈(0,1)∪(,+∞)時(shí)，?′(?)>0，

2

故?=1為?(?)的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；

綜上，?>0且?≠2.

?2?2

20．已知橢圓Γ:+=1(?>√5)，?(0,?)(?>0)，A是Γ的右頂點(diǎn)．

?25

(1)若Γ的焦點(diǎn)(2,0)，求離心率e；

(2)若?=4，且Γ上存在一點(diǎn)P，滿足????????=2?????????，求m；

(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與Γ交于C、D兩點(diǎn)，∠???為鈍角，求a的取值范圍．

【答案】

2

(1)

3

(2)√10

(3)(√5,√11)

【分析】

（1）由方程可得?2=5，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)得?，從而求出?得離心率；

（2）設(shè)點(diǎn)?坐標(biāo)，由向量關(guān)系????????=2?????????坐標(biāo)化可解得?坐標(biāo)，代入橢圓方程可得?；

（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)得直線?方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式??????????

?????????<0，再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)不等式求解可得?范圍.

【詳解】

?2?2

（1）由題意知，Γ:+=1(?>√5)，則?2=5，

?25

由右焦點(diǎn)(2,0)，可知?=2，則?=√5+?2=3，

?2

故離心率?==.

?3

（2）由題意?(4,0),?(0,?)(?>0)，?(??,??)

4??=2?

由????????=2?????????得，{??，

???=2???2?

42??2?2

解得?(,)，代入+=1，

33165

14?2

得+=1，又?>0，解得?=√10.

945

1

（3）由線段??的中垂線?的斜率為2，所以直線??的斜率為?，

2

??01?

則=?，解得?=，

0??22

???

由?(?,0),?(0,)得??中點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，

224

33

故直線?:?=2???，顯然直線?過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)(?,0)，

48

故直線與橢圓恒有兩不同交點(diǎn)，

設(shè)?(?1,?1),?(?2,?2)，

3

?=2???9

由{4消?得(4?2+5)?2?3?3?+?4?5?2=0，

5?2+?2?2=5?216

942

3?3??5?

由韋達(dá)定理得?+?=,??=16，

124?2+5124?2+5

?

因?yàn)椤???為鈍角，則???????????????????<0，且?(0,)，

2

??

則有??+(??)(??)<0，

121222

5?5?525

所以??+(2??)(2??)=5????(?+?)+?2<0，

1214241221216

95?25

即5(?4?5?2)?×3?3+?2(4?2+5)<0，解得?2<11，

16216

又?>√5，

故√5<?<√11，即?的取值范圍是(√5,√11).

21．已知函數(shù)?=?(?)的定義域?yàn)?．對(duì)于正實(shí)數(shù)a，定義集合??={?∣?(?+?)=?(?)}．

π

(1)若?(?)=sin?，判斷是否是?中的元素，請(qǐng)說(shuō)明理由；

3π

?+2,?<0

(2)若?(?)={,?≠?，求a的取值范圍；

√?,?≥0?

(3)若?=?(?)是偶函數(shù)，當(dāng)?∈(0,1]時(shí)，?(?)=1??，且對(duì)任意?∈(0,2)，均有????2．寫(xiě)出?=?(?)，?∈(1,2)

解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)?=?(?)??在[?3,3]上至多有9個(gè)零點(diǎn)．

【答案】

(1)不是；

7

(2)[,4)；

4

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

??

（1）直接代入計(jì)算?()和?(+?)即可；

33

327

（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)?使得?(?+?)=?(?)，分析得?+2=?+?，再計(jì)算得?=(?+)+，最后

0000√0024

根據(jù)?0的范圍即可得到答案；法二：畫(huà)出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線?=?與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將?用?表示，最后利用

二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；

（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出?∈(1,2)時(shí)解析式，再分析出?(?3)?(0,1)，最后對(duì)?的范圍進(jìn)行分類

討論即可.

【詳解】

??3??3?

（1）（1）?()=sin=√，?(+?)=?sin=?√，則不是?中的元素.

3323323?

（2）法一：因?yàn)??≠?，則存在實(shí)數(shù)?0使得?(?0+?)=?(?0)，且?>0，

當(dāng)?<0時(shí)，?(?)=?+2，其在(?∞，0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，

當(dāng)?≥0時(shí)，?(?)=√?，其在[0,+∞)上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，

則?0<0≤?0+?，則?0+2=√?0+?，

令?+2=0，解得?=?2，則?2≤?0<0，

23277

則?=(?+?)??=(?+2)2??=(?+)+∈[,4).

√00000244

法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線?=?與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖知0≤?<2，假設(shè)交點(diǎn)分別為?(?,?)，?(?,?)，