案例二十三——Chebyshev型模擬濾波器設(shè)計(jì)內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟ChebyshevI型模擬低通濾波器設(shè)計(jì)ChebyshevII型模擬低通濾波器設(shè)計(jì)思考題總結(jié)報(bào)告要求案例設(shè)置目的通過step-by-step模式設(shè)計(jì)模擬Chebyshev濾波器，掌握該類模擬濾波器設(shè)計(jì)方法與步驟，理解ChebyshevI型和ChebyshevII型濾波器幅頻特性特點(diǎn)，理解MATLAB相關(guān)Chebyshev濾波器設(shè)計(jì)的算法原理。相關(guān)基礎(chǔ)理論Chebyshev原型濾波器有兩種類型，分別是ChebyshevI型和II型。ChebyshevI型低通濾波器幅頻特性曲線在通帶內(nèi)是等波紋波動(dòng)、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；ChebyshevII型低通濾波器幅頻特性曲線在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋波動(dòng)的。低通ChebyshevI型濾波器的平方幅度函數(shù)定義為（23.1）ChebyshevI型濾波器的頻率歸一化因子為通帶邊界頻率

p，令歸一化后頻率表示為

=

/

p，式（23.1）可改寫為（23.2）其中

（23.3）TN(x)

稱為Chebyshev多項(xiàng)式，具有分段函數(shù)的形式。在|x|≤1的范圍內(nèi)TN(x)

按照余弦規(guī)律波動(dòng)；|x|>1的范圍內(nèi)TN(x)按照雙曲余弦規(guī)律單調(diào)增加。ChebyshevI型濾波器通過Chebyshev多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)了通帶和阻帶衰減的單獨(dú)控制，在|x|≤1范圍呈現(xiàn)等波紋波動(dòng)性，|x|>1范圍內(nèi)呈現(xiàn)快速單調(diào)衰減。這種通、阻帶分段控制的方式對(duì)于降低濾波器階數(shù)有很重要的意義。相關(guān)基礎(chǔ)理論ChebyshevII型濾波器的平方幅度函數(shù)定義為（23.4）ChebyshevII型濾波器的頻率歸一化因子為阻帶邊界頻率

st，歸一化傳遞函數(shù)表示為（23.5）式（23.2）和式（23.5）對(duì)應(yīng)歸一化后的函數(shù)曲線如圖23.1所示。對(duì)于ChebyshevI型而言，Chebyshev多項(xiàng)式的特點(diǎn)決定了在|x|=1處TN(x)

1，將該性質(zhì)用于式（23.1）可得（25.6）式（23.6）表明，歸一化的ChebyshevI型濾波器在|

|=1處的衰減代表了通帶內(nèi)的最大波動(dòng)。相關(guān)基礎(chǔ)理論對(duì)于ChebyshevII型濾波器，根據(jù)式（23.4）有（23.7）綜上，在通帶截止頻率

p處，無論是ChebyshevI型還是ChebyshevII型，歸一化傳遞函數(shù)的幅度值|H(j

p)|僅與參數(shù)

有關(guān)，而與階數(shù)N無關(guān)。結(jié)合式（23.6）和（23.7）可知，通帶最大衰減

p與波紋參數(shù)

的關(guān)系為（23.8）ChebyshevI型和ChebyshevII型濾波器在阻帶截止頻率

st處的衰減為（23.9）在已確定波紋參數(shù)

情況下，利用給定的濾波器參數(shù)可確定ChebyshevI型和II型濾波器的階數(shù)N，即（23.10）相關(guān)基礎(chǔ)理論有了波紋參數(shù)

和階數(shù)N這兩個(gè)參數(shù)，再輔以濾波器的邊界頻率指標(biāo)，就可以用公式表示出Chebyshev濾波器的歸一化傳遞函數(shù)H(j

)和傳遞函數(shù)Ha(s)。由式（23.2）知，ChebyshevI型濾波器的歸一化傳遞函數(shù)H(

j

)本質(zhì)上是

的N階多項(xiàng)式，分解后可以得到全極點(diǎn)形式（23.11）歸一化極點(diǎn)

k可表示為其中，（23.12）（23.13）H(

j

)去歸一化后得到傳遞函數(shù)Ha(s)（23.14）相關(guān)基礎(chǔ)理論對(duì)比后容易看出，ChebyshevI型濾波器的H(j

)和Ha(s)與Butterworth濾波器對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)擁有相同的形式。ChebyshevII型濾波器的歸一化傳遞函數(shù)H(

j

)和傳遞函數(shù)Ha(s)的來歷這里不進(jìn)行詳細(xì)討論，下面直接給出結(jié)論：（23.15）其中，零點(diǎn)zk均在

軸上，且有（23.16）極點(diǎn)可表示為其中，（23.17）（23.18）上述所有式中的K均為增益控制系數(shù)。相關(guān)基礎(chǔ)理論綜上，ChebyshevI型和ChebyshevII型模擬低通濾波器（AnalogChebyshev-typeFilterDesign--ACHD）擁有相同的設(shè)計(jì)步驟。ACHDStep1：確定濾波器的波紋參數(shù)

和階數(shù)N。由給定濾波器指標(biāo)

p、

p、

st和

st，依據(jù)式（23.8）和式（23.10）分別確定

和N。ACHDStep2：求解歸一化傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，確定歸一化傳遞函數(shù)H(j

)。ChebyshevI型用式（23.12）和式（23.13）求出極點(diǎn)，ChebyshevII型用式（23.16）和式（23.17）求零極點(diǎn)。之后，ChebyshevI型用式（23.11）確定歸一化傳遞函數(shù)H(j

)，ChebyshevII型用式（23.15）確定歸一化傳遞函數(shù)H(j

)。ACHDStep3：對(duì)H(j

)去歸一化，得到Chebyshev型模擬低通濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)。ChebyshevI型利用j

=s/

p，ChebyshevII型用j

=s/

st對(duì)H(

j

)進(jìn)行去歸一化?；蛘逤hebyshevI型和ChebyshevII型分別用式（23.14）、式（23.18）直接得到Ha(s)。情境任務(wù)及步驟設(shè)計(jì)Chebyshev型模擬低通濾波器的具體指標(biāo)為：通帶范圍0～40Hz，通帶允許最大衰減1dB（

p=1dB），150Hz以上為阻帶，阻帶允許最小衰減為60dB（

st=60dB）。一、ChebyshevI型模擬低通濾波器設(shè)計(jì)1．濾波器設(shè)計(jì)1）確定滿足指標(biāo)要求的ChebyshevI型濾波器參數(shù)階數(shù)

和N（1）自編程序確定濾波器波紋參數(shù)

和階數(shù)N。根據(jù)式（23.8）和式（23.10）編制程序，利用提供的濾波器指標(biāo)確定波紋參數(shù)

和階數(shù)N。程序執(zhí)行后返回的濾波器階數(shù)記為N1。（2）調(diào)用MATLAB函數(shù)確定相關(guān)參數(shù)。調(diào)用函數(shù)cheb1ord確定模擬ChebyshevI型濾波器的階數(shù)，結(jié)果記為N2。該函數(shù)還可以選擇同時(shí)返回頻率Wn。調(diào)用函數(shù)時(shí)注意域的選擇。比較N1與N2是否相同？比較返回值Wn與

p中

st哪個(gè)頻率一致？將結(jié)果記入總結(jié)報(bào)告。情境任務(wù)及步驟2）確定歸一化傳遞函數(shù)H(j

)（1）MATLAB函數(shù)一步實(shí)現(xiàn)。調(diào)用MATLAB函數(shù)cheby1，邊界頻率設(shè)置Wn=1，確定模擬ChebyshevI型濾波器歸一化傳遞函數(shù)H(j

)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣，分別記為b1和a1。（2）自編程序?qū)崿F(xiàn)。1根據(jù)式（23.12）和式（23.13）自編程序確定N階ChebyshevI型濾波器的歸一化傳遞函數(shù)極點(diǎn)（實(shí)部和虛部）。2調(diào)用函數(shù)zp2tf函數(shù)直接獲得H(j

)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣，分別記為b2和a2。確定零極點(diǎn)后也可以通過調(diào)用函數(shù)poly依據(jù)式（23.11）確定歸一化傳遞函數(shù)H(

j

)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣。H(j

)的增益控制系數(shù)取b1的最后一個(gè)值。比較b1與b2、a1與a2的一致性，并記入報(bào)告。情境任務(wù)及步驟3）確定傳遞函數(shù)Ha(s)（1）自編程序確定模擬低通ChebyshevI型濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，即對(duì)歸一化傳遞函數(shù)Ha(

j

)去歸一化。（2）調(diào)用函數(shù)確定傳遞函數(shù)Ha(s)這里要求重復(fù)步驟2），只是有兩點(diǎn)區(qū)別：1步驟（1）的調(diào)用MATLAB函數(shù)cheby1，邊界頻率Wn=

p；2步驟（2）的zp2tf或poly函數(shù)所使用的極點(diǎn)均需乘以

p。兩種方法所得Ha(s)分母多項(xiàng)式系數(shù)分別記為as3和as4，分子多項(xiàng)式系數(shù)分別記為bs3和bs4，計(jì)算系數(shù)差as3－as4，通過差值分析兩種方法的異同，并將結(jié)果記入總結(jié)報(bào)告。由模擬歸一化傳遞函數(shù)H(

j

)轉(zhuǎn)化為去歸一化的傳遞函數(shù)Ha(s)，在MATLAB環(huán)境下，更簡(jiǎn)單的方法是調(diào)用lp2lp函數(shù)，具體方法可查閱MATLAB中的Help文件學(xué)習(xí)。情境任務(wù)及步驟2．驗(yàn)證設(shè)計(jì)的濾波器幅頻特性這里的驗(yàn)證主要是考察所設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)在邊界頻率處是否滿足指標(biāo)要求。1）進(jìn)行頻域分析調(diào)用MATLAB函數(shù)freqs分析bs3和as3決定的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，返回結(jié)果記為H1，bs4和as4決定的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，結(jié)果記為H2，分析的頻率范圍f為0～300Hz，步進(jìn)為10Hz。2）確定幅頻響應(yīng)調(diào)用函數(shù)abs計(jì)算H1的幅頻響應(yīng)AH1和H2的幅頻響應(yīng)AH2，調(diào)用函數(shù)max計(jì)算AH1的最大值maxAH1、AH2的最大值maxAH2。3）畫出歸一化對(duì)數(shù)比例幅頻特性圖用maxAH1對(duì)AH1進(jìn)行歸一化處理，并畫出20lg(AH1/maxAH1)和f的關(guān)系曲線，即縱軸顯示對(duì)數(shù)形式。在同一幅圖中用紅虛線顯示20lg(AH2/maxAH2)和f的關(guān)系曲線。4）畫出比較基準(zhǔn)線調(diào)用line函數(shù)在圖上分別畫(

1,0)

(

1,250)、(

60,0)

(

60,250)、(40,

60)

(40,0)、(200,

60)

(200,0)四條直線，比較設(shè)計(jì)出濾波器指標(biāo)的富余度，比較歸一化的H1和H2的異同，并將結(jié)論記于總結(jié)報(bào)告。情境任務(wù)及步驟二、