案例二十四——橢圓濾波器設(shè)計(jì)內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟橢圓低通濾波器設(shè)計(jì)驗(yàn)證濾波器幅頻特性思考題總結(jié)報(bào)告要求案例設(shè)置目的通過step-by-step模式設(shè)計(jì)模擬橢圓濾波器，掌握該類模擬濾波器設(shè)計(jì)方法與步驟，理解橢圓濾波的通帶、阻帶特性，理解MATLAB關(guān)于橢圓濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)的算法原理。相關(guān)基礎(chǔ)理論Cauer濾波器通常又稱為橢圓濾波器，其特點(diǎn)是通帶和阻帶都是等波紋波動(dòng)的，進(jìn)一步降低了所設(shè)計(jì)濾波器與目標(biāo)濾波器之間的指標(biāo)富余量。事實(shí)證明，在階數(shù)一定的情況下，橢圓濾波器與Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器相比，過渡帶最窄，另外在所有能滿足指標(biāo)要求的三種濾波器中，橢圓濾波器的階數(shù)最低。而且與同階數(shù)的Chebyshev濾波器相比，同為有波動(dòng)的頻帶內(nèi)，橢圓濾波器的波動(dòng)要小。橢圓濾波器也是由平方幅度函數(shù)描述的：（24.1）其中，RN(

)(

=

/

p)

為雅克比（Jacobi）橢圓函數(shù)。RN(

)有兩個(gè)非常重要的性質(zhì)：（1）RN(

)是階數(shù)N的有理函數(shù)，且滿足RN(1/

)=1/RN(

)。（2）分子多項(xiàng)式的根均落在0<λ<1的區(qū)間內(nèi)，分母多項(xiàng)式的根均落在區(qū)間1<λ<∞內(nèi)。對(duì)于低通濾波器而言，通帶內(nèi)（0≤λ<1）都是盡可能地保留對(duì)應(yīng)頻率分量信號(hào)，所以RN(

)都是非常小的數(shù)。性質(zhì)（1）表明，1/λ>1或阻帶內(nèi)，1/RN(1/

)取值非常大，因此使得幅頻響應(yīng)曲線在阻帶衰減很快。相關(guān)基礎(chǔ)理論N階橢圓濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)H(j

)中既包含零點(diǎn)，又包含極點(diǎn)。因雅克比橢圓函數(shù)涉及更多純數(shù)學(xué)理論，這里就不再給出零極點(diǎn)表達(dá)式，而是直接給出歸一化傳遞函數(shù)H(j

)的表達(dá)式：（24.2）中

zk、

pk分別是歸一化傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)；K為增益調(diào)節(jié)系數(shù)。歸一化傳遞函數(shù)H(j

)確定后，通過去歸一化得到模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)：（24.3）相關(guān)基礎(chǔ)理論橢圓濾波器的設(shè)計(jì)方法（AnalogCauer-typefilterDesign--ACD）與步驟與Butterworth濾波器、Chebyshev濾波的相同，包括以下幾個(gè)步驟。ACDStep1：求解濾波器的階數(shù)N。ACDStep2：確定歸一化傳遞函數(shù)Ha(

j

)。ACDStep3：去歸一化確定傳遞函數(shù)的Ha(s)。情境任務(wù)及步驟設(shè)計(jì)一橢圓低通濾波器，具體指標(biāo)為：通帶范圍為0～40Hz，通帶最大衰減為1dB（

p=1dB），150Hz以上為阻帶，最小衰減為60dB（

st=60dB）。1．橢圓低通濾波器設(shè)計(jì)1）確定橢圓濾波器階數(shù)N調(diào)用MATLAB函數(shù)ellipord確定模擬橢圓濾波器的階數(shù)N，注意函數(shù)輸入?yún)?shù)和選項(xiàng)要求。該函數(shù)還會(huì)返回截止頻率Wn，對(duì)比查看Wn與題目中哪個(gè)濾波器指標(biāo)一致。與式（24.1）給出的用于進(jìn)行歸一化的頻率一致嗎？并將兩個(gè)結(jié)論記于報(bào)告中。2）確定濾波器的歸一化傳遞函數(shù)H(j

)基于MATLAB函數(shù)確定歸一化傳遞函數(shù)時(shí)有兩種方式，分別是按照先求極點(diǎn)再確定多項(xiàng)式系數(shù)的方法和直接調(diào)用一個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的方法，通過這種方式來拆解ellip函數(shù)的功能。（1）分步實(shí)現(xiàn)。首先調(diào)用MATLAB函數(shù)ellipap確定歸一化傳遞函數(shù)Ha(j

)的零極點(diǎn)，繼而調(diào)用函數(shù)zp2tf直接獲得H(j

)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣，分別記為b1和a1。情境任務(wù)及步驟（2）一步到位。調(diào)用MATLAB函數(shù)ellip，邊界頻率Wn=1，確定模擬橢圓濾波器歸一化傳遞函數(shù)H(

j

)

的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣，分別記為b2和a2。分別比較兩種方法得到的H(

j

)

的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)矩陣的異同，并將結(jié)論記于報(bào)告中。3）對(duì)歸一化傳遞函數(shù)H(j

)去歸一化，得到濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)基于MATLAB函數(shù)確定傳遞函數(shù)時(shí)有三種方式，前兩種方式延續(xù)了2）中的步驟，第三種方式基于H(j

)通過調(diào)用lp2lp函數(shù)實(shí)現(xiàn)。先來看前兩種方式。方式一和方式二上述情況類似，只是輸入?yún)?shù)不同。重復(fù)2）中的步驟，只是有兩點(diǎn)區(qū)別：步驟（1）內(nèi)zp2tf函數(shù)所使用的極點(diǎn)均需乘以

p。步驟（2）內(nèi)調(diào)用MATLAB函數(shù)ellip，邊界頻率Wn=

p。兩種方法所得Ha(s)

分母多項(xiàng)式系數(shù)分別記為as3和as4，分子多項(xiàng)式系數(shù)分別記為bs3和bs4，并計(jì)算系數(shù)差as3-as4，通過差值分析兩種方法的異同，并將結(jié)論記于報(bào)告中。方式三：由模擬歸一化傳遞函數(shù)H(j

)轉(zhuǎn)化為去歸一化的傳遞函數(shù)Ha(s)，在MATLAB環(huán)境下，更簡(jiǎn)單的方法是調(diào)用lp2lp函數(shù)。情境任務(wù)及步驟2．驗(yàn)證濾波器幅頻特性這里的驗(yàn)證主要是考察所設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)在邊界頻率處是否滿足指標(biāo)要求。1）傳遞函數(shù)頻域分析調(diào)用MATLAB函數(shù)freqs分析bs3和as3決定的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H1、bs4和as4決定的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H2，分析的頻率范圍f為0～300Hz，步進(jìn)為10Hz。2）確定幅頻響應(yīng)調(diào)用函數(shù)abs計(jì)算H1的幅頻響應(yīng)AH1和H2的幅頻響應(yīng)AH2，調(diào)用函數(shù)max計(jì)算AH1的最大值maxAH1、AH2的最大值maxAH2。3）畫出歸一化對(duì)數(shù)比例幅頻特性圖用maxAH1對(duì)AH1進(jìn)行歸一化處理，并畫出20lg(AH1/maxAH1)和f的關(guān)系曲線，即縱軸顯示對(duì)數(shù)形式。在同一幅圖中用紅虛線顯示20lg(AH2/maxAH2)和f的關(guān)系曲線。4）畫出比較基準(zhǔn)線調(diào)用line函數(shù)在圖上分別畫(

1,0)

(

1,250)、(

60,0)

(

60,250)、(40,

60)

(40,0)、(200,

60)

(200,0)四條直線，比較設(shè)計(jì)出濾波器指標(biāo)的富余度，比較H1和H2的異同，并將結(jié)論記于總結(jié)報(bào)告中。思考題（1）橢圓濾波器是以哪個(gè)頻率為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行頻率歸一化的？（2）橢圓濾波器的幅頻特性函數(shù)的特點(diǎn)有哪些？（3）在熟悉橢圓低通濾波器設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)上，結(jié)合上述情境任務(wù)進(jìn)行總結(jié)，借助MATLAB函數(shù)最少通過幾步才能完成橢圓低通濾波器的設(shè)計(jì)？其中又分別調(diào)用了哪幾個(gè)函數(shù)？總結(jié)報(bào)告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報(bào)告中原理部分要簡(jiǎn)要描述橢圓低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟，書寫情境任務(wù)時(shí)可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少要列出【情境任務(wù)及步驟】相關(guān)內(nèi)容的各級(jí)標(biāo)題。（2）情境任務(wù)的程序清單除在報(bào)告中出現(xiàn)外，還必須以獨(dú)立的m文件