高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市和平區(qū)2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則z的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】復數(shù)，所以的共軛復數(shù)．故選：C．2.若，下列選項中，使“”成立的一個必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式等價于，使“”成立的一個必要不充分條件，對應的集合為，則是的真子集，由此對照各項，可知只有A項符合題意．故選：A．3.為響應黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學校開展讀書活動，組織同學從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．4.已知函數(shù)定義域為，且函數(shù)與均為偶函數(shù)，當時，是減函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則，，且當時，是減函數(shù)，由可得，即.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則以下說法中，正確的為（）A.B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象的對稱中心為【答案】C【解析】由圖象可知，，所以，所以，所以，將代入得：，所以，由于，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；由，所以，所以，解得，即不等式解集為，故C正確；令，解得，所以的圖象的對稱中心為，故D錯誤.故選：C.6.如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出四棱錐，如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐高為，設這個正四棱錐的內切球的球心為，半徑為，與側面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個正四棱錐的內切球的體積為．故選：B．7.過直線上的點P作圓C：的兩條切線，，當直線，關于直線對稱時，點P的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，直線關于直線對稱時，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.8.已知拋物線：的焦點為點，雙曲線的右焦點為點，線段與在第一象限的交點為點，若的焦距為6，且在點處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線：的焦點為，依題意可得，直線方程為，即，聯(lián)立，可得，解得或，又線段與在第一象限的交點為點，的橫坐標為，由，所以，在點處的切線斜率為，又在點處的切線平行于的一條漸近線，雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為．故選：D．9.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點共圓，如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓瑑牲c），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時點在劣弧的中點位置），即的最小值為．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.設集合，，，則______．【答案】【解析】，，故.11.在的展開式中，常數(shù)項為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】二項式的展開式通項公式為．令，解得，故展開式的常數(shù)項為．12.過點作曲線y=2xx∈R【答案】【解析】設切點的坐標為，由，y'=2所以過切點的切線方程為：，把代入得：-2t=-t?2所以t=1ln2，則切點坐標為：即13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為______；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，設甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率．14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為______，若數(shù)列的前項和為，記，則數(shù)列的最大項為第______項．【答案】【解析】因為，當時，，解得；當時，，兩式相減得，即，經(jīng)檢驗當時也成立，所以；因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號．所以數(shù)列的最大項為第項.15.已知函數(shù)，若關于x的方程有2個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】,,．【解析】方程，即，結合，得，原方程可化為，①時，原方程變?yōu)?，只有一個實數(shù)根，不符合題意；②，記，的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，因為在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為，結合圖象可知：此時與的圖象有兩個交點，符合題意；③，則，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，當時，即時，函數(shù)的最小值，觀察圖象可知：此時與的圖象有兩個交點，符合題意；當時，函數(shù)的最小值，方程即的根的判別式△，且方程即的根的判別式△，結合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個交點，不符合題意．綜上所述，或，即實數(shù)的取值范圍是,,．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，．（1）求角B的大小；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因為，由正弦定理有，因為,所以，所以，即，由于B∈0,π,所以，故，解得；（2）因為，所以由余弦定理，即，解得；（3）由正弦定理有，有，因為，所以為銳角，故，又，則，．17.如圖，三棱臺中，為等邊三角形，，平面ABC，點M，N，D分別為AB，AC，BC的中點，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點D到平面的距離．（1）證明：因為側棱底面，為等邊三角形，所以過點作，則以為點A為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設長為，則，，因為，所以，則有，．所以，，，，，，．因為，，設平面的法向量為，則，令，則，又因為．所以，所以，又因為平面，所以平面．（2）解：因為為中點，所以，則，有，又，設直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：因為，平面的法向量為，所以，點D到平面的距離為．18.已知為等差數(shù)列的前n項和，，．（1）若為數(shù)列的前n項和，求；（2）等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（i）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（ii）求．解：（1）設數(shù)列an公差為，由公式，，有，求得，即，所以．設，前項和為，．當時，．當時，．所以（2）（?。┰O數(shù)列bn公差為，由（1）得，又，即，解得，所以．.（ⅱ），設，，①，②①－②得，．所以，．設，所以，．．所以，．19.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的右焦點為點F，橢圓上頂點為點A，右頂點為點B，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）是否存在過原點O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點為點C，且與直線AF交于點D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．解：（1）依題意，，解得，又因為，所以．（2）設直線的方程為，橢圓的方程為，設點，聯(lián)立方程組，整理得，解得，①，直線AF方程為，設點，，聯(lián)立方程組，解得，②，又因為，設，則有，即，所以，所以．所以，則有，代入①②有，解得，由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．20.已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，設，，且an>0.求證：當，且時，不等式成立.（1）解：當時，函數(shù)，函數(shù)定義域為，且，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.（2）解：由已知有恒成立，設，即，又函數(shù)定義域為，，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以，即，解得，即的取值范圍為.（3）證明：由，，an>0，因為等價于.一方面，要證明，由（2）可知當時，有，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，又an>0，所以，因為，所以，因此當時，.所以，當時，時成立，即成立.天津市和平區(qū)2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則z的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】復數(shù)，所以的共軛復數(shù)．故選：C．2.若，下列選項中，使“”成立的一個必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式等價于，使“”成立的一個必要不充分條件，對應的集合為，則是的真子集，由此對照各項，可知只有A項符合題意．故選：A．3.為響應黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學校開展讀書活動，組織同學從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．4.已知函數(shù)定義域為，且函數(shù)與均為偶函數(shù)，當時，是減函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則，，且當時，是減函數(shù)，由可得，即.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則以下說法中，正確的為（）A.B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象的對稱中心為【答案】C【解析】由圖象可知，，所以，所以，所以，將代入得：，所以，由于，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；由，所以，所以，解得，即不等式解集為，故C正確；令，解得，所以的圖象的對稱中心為，故D錯誤.故選：C.6.如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出四棱錐，如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐高為，設這個正四棱錐的內切球的球心為，半徑為，與側面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個正四棱錐的內切球的體積為．故選：B．7.過直線上的點P作圓C：的兩條切線，，當直線，關于直線對稱時，點P的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，直線關于直線對稱時，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.8.已知拋物線：的焦點為點，雙曲線的右焦點為點，線段與在第一象限的交點為點，若的焦距為6，且在點處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線：的焦點為，依題意可得，直線方程為，即，聯(lián)立，可得，解得或，又線段與在第一象限的交點為點，的橫坐標為，由，所以，在點處的切線斜率為，又在點處的切線平行于的一條漸近線，雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為．故選：D．9.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點共圓，如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時點在劣弧的中點位置），即的最小值為．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.設集合，，，則______．【答案】【解析】，，故.11.在的展開式中，常數(shù)項為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】二項式的展開式通項公式為．令，解得，故展開式的常數(shù)項為．12.過點作曲線y=2xx∈R【答案】【解析】設切點的坐標為，由，y'=2所以過切點的切線方程為：，把代入得：-2t=-t?2所以t=1ln2，則切點坐標為：即13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為______；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，設甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率．14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為______，若數(shù)列的前項和為，記，則數(shù)列的最大項為第______項．【答案】【解析】因為，當時，，解得；當時，，兩式相減得，即，經(jīng)檢驗當時也成立，所以；因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號．所以數(shù)列的最大項為第項.15.已知函數(shù)，若關于x的方程有2個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】,,．【解析】方程，即，結合，得，原方程可化為，①時，原方程變?yōu)椋挥幸粋€實數(shù)根，不符合題意；②，記，的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，因為在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為，結合圖象可知：此時與的圖象有兩個交點，符合題意；③，則，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，當時，即時，函數(shù)的最小值，觀察圖象可知：此時與的圖象有兩個交點，符合題意；當時，函數(shù)的最小值，方程即的根的判別式△，且方程即的根的判別式△，結合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個交點，不符合題意．綜上所述，或，即實數(shù)的取值范圍是,,．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，．（1）求角B的大??；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因為，由正弦定理有，因為,所以，所以，即，由于B∈0,π,所以，故，解得；（2）因為，所以由余弦定理，即，解得；（3）由正弦定理有，有，因為，所以為銳角，故，又，則，．17.如圖，三棱臺中，為等邊三角形，，平面ABC，點M，N，D分別為AB，AC，BC的中點，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點D到平面的距離．（1）證明：因為側棱底面，為等邊三角形，所以過點作，則以為點A為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設長為，則，，因為，所以，則有，．所以，，，，，，．因為，，設平面的法向量為，則，令，則，又因為．所以，所以，又因為平面，所以平面．（2）解：因為為中點，所以，則，有，又，設直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的正弦